1.1.1空间向量及其线性运算 课件(共25张PPT)-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册 (1)

(共25张PPT)
第一章空间向量与立体几何 1.1.1空间向量及其线性运算
人教A版2019高中数学选择性必修第一册
学习目标
(1) 经历向量及其运算由平面空间推广的过程，了解空间向量的 概念，发展数学抽象素养；
(2)掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及其表示；
(3)掌握空间向量加法、减法、数乘的运算律；
(4)借助向量的线性运算的学习，提升数学运算素养.
通过“平面向量及其运用”的学习，我们知道，平面内的点、
直线可以通过平面向量及其运算来表示，它们之间的平行、垂直、 夹角、距离等关系可以通过平面运算而得到，从而有关平面图形 的问题可以利用平面向量的方法解决.
在“立体几何初步”中，我们用综合几何方法研究了空间几
何体的结构特征以及空间点、直线、平面的位置关系.一个自然 的想法是，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量 表示空间中点、直线、平面等基本元素，通过空间向量运算解决 立体几何问题.
在本章，我们就来研究这些问题.
这是一个做滑翔 伞运动的场景. 可以 想象，在滑翔过程中， 飞行员会受到来自不 同 方 向 、大小各异的
力.
情景引入
已知F =10N,F =15N, F =15N, 这三个力两两之间的夹角都为 90度，它们的合力的大小为多少N
这需要进一步来认识空间中的向量
符号表示法：a,b AB
几何表示法：有向线段
起点A
平面向量是什么 如何表示平面向量
你能类比平面向量和表示给出空间向量的 概念和空间向量的表示吗
1.空间向量的有关概念
长度(模)向量的大小，记作 a
定义：既有大小又有方向的量。
新知讲解
OA,OB,OC
表示
终点
平面向量
空间向量
零向量：长度为0的向量，记作：0
单位向量：模为1的向量.
相等向量：模相等，方向相同的向量，记作a=b
相反向量：模相等，方向相反的向量，记作a=-b
共线向量： 方向相同或相反的非 零向量，叫做共线向 量(平行向量),记 作a//b;规定，零向 量和任意向量共线.
如果表示若干空间向量的有向线
段所在直线互相平行或重合，那 么这些向量叫做共线向量或平行 向量，记作a//b;规定，零向量
和任意向量共线.
平面向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则是什么
你能类比它们得出空间向量的加法、减法和数乘运算的定义及运 算法则吗
平面向量
空间向量
加法 减法 运算 求两个平面向量的和与差的 运算 . 法 则 ：三角形法则和 平行四边形法则
2.空间向量的线性运算
2.空间向量的线性运算
平面向量
数乘 运算 实数λ与平面向量a的积 是一个向量，记作λa, 其长度和方向规定如下： (1)λā|=|a| (2)若λ>0,λa与a的方向相同； 若λ<0,λa与a的方向相反； 若λ=0,λa=0.
任意两个空间向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两向量
思考 空间两条直线可能存在怎样位置关系
平面向量
空间向量
加法 减法 运算 求两个平面向量的和与差的 运算 . 法 则 ：三角形法则和 平行四边形法则
求两个平面向量的和与差的
运算 .
法 则 ：三角形法则和
平行四边形法则
2.空间向量的线性运算
平面向量
空间向量
数乘 运算 实数λ与平面向量a的积 是一个向量，记作λa, 其长度和方向规定如下： (1)λa|=λ|a (2)若λ>0,λa与a的方向相同； 若λ<0,λa与a的方向相反； 若λ=0,λa=0.
实数λ与空间向量a的积
是一个向量，记作λa,
其长度和方向规定如下：
(1)λa|=
(2)若λ>0,λa与a的方向相同；
若λ<0,λa与a的方向相反；
若λ=0,λa=0.
2.空间向量的线性运算
λ<0)
M
2a(
λa(λ>0)
N
平面向量
空间向量
运 算 律 交换律： 结合律a 分配律(λ+μ)a=λa+μa =λa+λb
2.空间向量的线性运算
a
平面向量空间向量
运 算 律 交换律： a+b=b+a 结合律a+(b+c)=(a+b)+c λ(μa)=(λμ)a 分 配 律 (λ+μ) a=λa+μa +b)=λa+λb
由于任意两个空间向 量都可以通过平移转化为 同一平面内的向量，任意 两个空间向量的运算就可 以转化为平面向量的运算
2.空间向量的线性运算
.
一般地，对于三个不共面的向量a,b,c,
以任意点0为起点，a,b,c 为邻边作平行
六面体，则a,b,c 的和等于以O为起点的
平行六面体对角线所表示的向量.
在平行六面体ABCD-A'B'C'D '中，
AA =a , AB=b , AD=C .
如何证明空间向量的加法结合律
练习3(课本P5练习2)
2 . 如图，E,F 分别是长方体ABCD-A'B'C'D '的棱AB,CD 的中
点.化简下列表达式，并在图中标出化简结果：
(1)AA’-CB; (2)AA'+AB+BC;
(3)AB-AD+B'D; (4)AB+CF.
3.共线向量
探究 对任意两个空间向量a与b, 若a=λb,a与b有什么位置关系 反过 来 ，a与b有什么位置关系时，a=λb
对任意两个空间向量a,b(b≠0,a//b 存在实数λ, 使a=λb
0是直线上 一 点，在直线上取非零向量a, 我们把与向量a平行
的非零向量称为直线l的方向向量
对于直线l上任意一点P, 由向量共线的充要条件可知，存在唯一确
定的实数λ,使得OP=λa. 也就是说，直线可以由其上一点和它的 方向向量确定
a
P
0
4.共面向量
a
C
O
共面向量：平行于同一平面的向量，叫做共面向量.
任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能共面，也可
能不共面，那么什么情况下三个空间向量共面呢
探究 对平面内任意两个不共线向量a,b, 由平面向量基本定理可知， 这个平面内的任意一个向量p可以写成p=xa+yb, 其 中(x,y)唯一确定的有 序实数对.对两个不共线的空间向量a,b, 如果p=xa+yb, 那么向量p与 向量a,b 有什么位置关系 反过来，向量p与向量a,b 有什么位置关系 时 ，p=xa+yb
若两个向量a,b不共线，那么
向量p 与向量a,b 共面
存在唯一一组有序实数对(x,y),使p=xa+
OC, OD, 在四条射线上分别取点E,F,G,H
求证：E,F ,G, H 四点共面
分析：可以通过证明这四点构成的三个向量
共面，来证明这四点共面.
四点共面→有公共起点的三个向量共面
典例讲解
例1 如图，已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O作射线OA,OB,
, 使
又AC=AB+AD
∴EG=OG-OE=kOC-kOA
=kAC=k(AB+AD)
=k (OB- 0A+OD-OA)
=OF-OE+OH-OE
=EF+EH.
∴E ,F,G,H 四点共面.
证明：
∴OE=kOA,OF =kOB,OG=kOC,OH=kOD,
选择恰当的向量表示问题中的几何
元素，通过向量运算得出几何元素的 关系，是用向量解决立体几何问题的常 用方法.
1、空间向量的定义及表示方法
2、空间向量的线性运算
3、直线的方向向量
4、向量
小结