1-1-1空间向量及其线性运算 课件(共26张PPT)高中数学人教版(A版)选择性必修 第一册

(共26张PPT)
空间向量与立体几何
1.1空间向量及其运算
本图展示的是一个做滑翔伞运动的场景。可以想象，在滑翔 过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索 的拉力、风力、重力等， 显 熊 ，这些力不全凤一个平面内.联想 用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向 量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢 下面我门类比平面向量 研究空间向量，先从空间向量的概念和表示开始。
1.1.1空间向量及其线性运算
一、空间向量的有关概念
1.空间向量
与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做 空间向量.空间向量的大小叫做向量的长度或模 .
2.空间向量的表示
如右图，向量a的起点是A, 终点是B,则向量
a 也可以记作AB, 其模记为lāl或
右图所示的正方体中，过同一个顶点O的三条
棱上的三条有向线段表示的三个向量为0A,OB,
0C, 它们是不共面的向量，即它们是不同在任何
一个平面内的三个向量.
二 、特殊的空间向量
与平面向量一样，我们规定，长度为0的向量叫做零向量，记为0. 当有向线段的起点A 与终点B重合时，AB=0.
我们规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a,都有0//a.
模为1的向量叫做单位向量.
方向相同且模相等的非零向量叫做相等向量.因此，在空间， 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.
与向量a长度相等而方向相反的非零向量，叫做a的相反向量，记作-a.
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重 合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.
如图，已知空间向量a,b,以任意点0为起点，作向量OA=a,
OB=b, 我们就可以把它们平移到同一个平面α内.
由此，我们把平面向量的线性运算推广到空间，定义空间向 量的加法、减法以及数乘运算：
(1)OB=0A+AB=a+b
(2)CA=0A-OC=a-b
(3)当λ>0时，λa=λ0A=PQ
当λ<0时，λa=λOA=MN
当λ=0时，λa=0.
三、空间向量的线性运算
;
与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以下运算律(其中 λ,μ∈R):
交换律：a+b=b+a;
结合律：(a+b)+c=a+(b+c),λ(μa)=(λμ)a;
分配律：(λ+μ)a=Aa+μa,a(@+b)=Aa+λb.
你能证明这些运算律吗 证明结合律时，与证明平面向量的
结合律有什么不同
a+b+c
a+b
b+C
C
O
a
a+b+c
ab
a
探究! 如图，在平行六面体ABCD-A'B'CD′
中，分别标出AB+AD+AA' ,AB+AA'+AD 表
示的向量.从中你能体会向量加法运算的交
换律和结合律吗 一般地，三个不共面的向
量的和与这三个向量有什么关系
发现，AB+AD+AA'=AB+AA'+AD=ACi,
一般地，对于三个不共面的向量a,b,c, 以任意点0为起点，
a,b,c 为邻边作平行六面体，则a+b+c 等于以O为起点的平行六 面体对角线所表示的向量.
C
B'
C
F
E B
(1)AA -CB;
→ —→ —→
(2)AA′+AB+B'Ci;
(3)AB-AD+B'D;
(4)AB+CF.
如 图 ，E,F 分别是长方体
ABCD-A'B'C'D '的棱AB,CD 的中点.
化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量
A2
D'
D'
A
【题目】如图，已知四面体ABCD,E,F 分别是BC
,cD 的中点.化简下列表达式，并在图中标出化简 结果的向量：
(1)AB+BC+CD;
探究!对任意两个空间向量a 与b,如 果a=λb(λ∈R).a与b有什
么位置关系 反过来，a 与b 有什么位置关系时，a=λb
类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量
a,b(b≠0),a11b 的充要条件是存在实数λ,使a=λb.
如图，0是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a, 则对于直线 l 上任意一点P,由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，
存在实数λ,使得OP=λa.
我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l的方向向量，这样，直线l上任意一点都可以由 直线l 上的一点和它的方向向量表示，也就是说， 直线可以由其上一点和它的方向向量确定 0
a
P
a
设e ,e 是空间两个不共线的向量，已知AB=ei+ker,BC=5e +4er,DC=-ei-2e ,且A,B,D 三点共 线，实数k=
1
中，E 在AD 上，且AE=2ED ,F 在对角线AC 上，且 若
如图，在正方体ABCD-AB C D
AB=a,AD=5.A4=E.
(1)用a,5,さ表示EB.
(2)求证：E,F,B 三点共线
EB.所以E,F,B 三点共线.
··
四 、共 面 向 量
如图，如果表示向量a的有向线段OA所在的直线OA 与直线l平
行或重合，那么称向量a平行于直线1.
如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于
平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量，
我们知道，任意两个空间向量总是共
面的，但三个空间向量既可能是共面的，
也可能是不共面的.那么,什么情况下三
个空间向量共面呢
探究!对平面内任意两个不共线向量a,b, 由平面向量基本
定理可知，这个平面内的任意一个向量p可以写成p=xa+yb, 其中(x,y)是唯一确定的有序实数对.
对两个不共线的空间向量a,b,如果p=xa+yb, 那么向量p
与向量a,b有什么位置关系 反过来，向量p 与向量a,b 有什么位 置关系时，p=xa+yb
可以发现，如果两个向量a, 不共线，那么向量与向量
a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使
p=xa+yb.
共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，那么向量与向量
a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使
p=xa+yb.
已知非零向量ei, 不共线，如果AB=ei+e ,AC=2ei+8e ,AD=3ei-3e ,则A,B,C,D 四点( )
A. 一定共线 B. 恰是空间四边形的四个顶点
C. 一定共面 D. 一定不共面
1.C 因为非零向量ei,e 不共线，AB=e +e ,AC=2e +
8e ,AD=3e -3ez, 所以5 AB-AD=5e +5e -3e +3e =
2e +8e =AC, 所以AC=5 AB-AD. 由向量共面的充要条件可 知，A,B,C,D 四点共面。
例 1如图，已知oABCD, 过 平 面AC外 一 点O, 作 射 线 OA,OB,OC,OD, 在四条射线上分别取点E,F,G,H,
使 求证：E,F ,G,H 四点共面。
分析：欲证E,F,G,H 四点共面，只需证
明EH,EF,EG 共面.而由已知AD,AB,AC 共
面，可以利用向量运算由AD,AB,AC 共面的
表达式推得EH,EF,EG 共面的表达式.
OE=kOA,OF=kOB,OG=kOC,OH=kOD.
因为ABCD是口，所以AC=AB+AD.
因此EG=OG-OE=kOC-kOA=kAC
=k(AB+AD)=k(OB-OA+0D-0A)
=OF-OE+OH-OE=EF+EH
例 1如图，已知oABCD, 过平面AC外 一 点O, 作射线 OA,OB,OC,OD, 在四条射线上分别取点E,F,G,H ,
使
证明：因为
求证：E,F,G ,H 四点共面。
例 1如图，已知oABCD, 过平面AC外 一 点O, 作射线 OA,OB,OC,OD, 在四条射线上分别取点E,F,G,H,
使 求证：E,F,G,H 四点共面.
因此EG=0G-OE=kOC-kOA=kAC
=k(AB+AD)=k(OB-OA+0D-0A)
=OF-OE+OH-OE=EF+EH
由向量共面可知，EH,EF,EG 共面，
又EH,EF,EG 过同一点E,
从而E,F,G,H 四点共面.
6.如图，已知E,F,G,H 分别为四面体ABCD 的 棱AB,BC,CD,DA 的中点，求证：E,
F,G,H 四点共面
( 第 6 题 )
平面向量
空间向量
定义 具有大小和方向的量.
在空间，具有大小 和方向的量.
表示法 几何表示法一→ 字母表示法a AB
几何表示法
字母表示法a AB
向量的模 向量的大小lal AB
向量的大小ā AB
五、归纳小结
空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，因此凡是涉
及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.
1、空间向量的基本概念
平面向量
空间向量
相等向量 方向相同且模相等 的向量
方向相同且模相等 的向量
相反向量 长度相等且方向 相反的向量
长度相等且方向相 反的向量
单位向量 模为1的向量
模为1的向量
零向量 长度为零的向量
长度为零的向量
平面向量
空间向量
加法减 法运算 加法：三角形法则或 平行四边形法则 减法：三角形法则
加法：三角形法则或 平行四边形法则
减法：三角形法则
运算律 加法交换律 a+b=b+a 加法结合律
加法交换律
a+b=
加法结合律
2、空间向量的加法、减法运算