2.3二次函数与一元二次方程-、不等式-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件(共16张PPT)

(共16张PPT)
问题导学
预习教材P50—P54, 并思考以下问题： 1.一元二次不等式的概念是什么
2.二次函数与一元二次方程、 一元二次不等式 的解有什么对应关系
3.求解一元二次不筹式-bx +c>0(a 的过程
是什么
1.一元二次不等式的概念
只含有一个 未知数，并且未知数的最高次数是 2 的；
不等式，称为一元二次不等式.
2.一元二次不等式的一般形式
(1)ax +bx+c>0(a≠0)
(2)ax +bx+c≥0(a≠0)
(3)ax +bx+c<0(a≠0)
(4)ax +bx+c≤0(a≠0)
思考1:不等式x -y >0 是一元二次不等式吗
3.一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个 一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个
一元二次不等式的解集.
观 察 思 考
先来观察几个具体的二次函数的图象及 其相应的一元二次方程、 一元二次不等式：
①函数y=x -2x-3,x -2x-3=0,x -2x-3>0
②函数y=x -2x+1,x -2x+1=0,x -2x+1>0
③函数y=x -2x+3,x -2x+3=0,x -2x+3>0
△= △ △=0
二次函数 y=ax +bx+ 的图像
0
X
一元二次方程 ax +bx+c=( 的根 -b- x = x = 4ac 2a 2a 有两个相等实根 x =x = 无实根
ax 的解集 X R
ax* 的解集
十
-
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
y
求解一元二次不等式的过程
将原不等式化成ax +bx+c>0(a>0) 的形式
计算△=b -4ac的值
方程ax +bx+c=0 有两个不相等的 实数根，解得x , x (x 方程ax +bx+c=0 有两个相等的实 数根，解得x ,
原不等式的解集
为{xlx≠-2a}
原不等式的解集为
{xlxx }
方程ax +bx+c=0 没有实数根
原不等式的 解集为R
△>0
△=0
△<0
小试牛刀
例1 解下列不等式：
(1)x -3x+2>0 (2)2x -3x-5≤0
(3)x -3x>1 (4)3x -x+1>0
(5)-x -4x+12<0
你能总结出二次项系数为负的一元二次不等式的解法吗
二次项系数化正
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
1.化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0, 使二次项系数为正.
2.判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则 计算对应方程的判别式.
3.求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别 式说明方程有无实根.
4.画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的 二次函数的草图.
5.写解集.根据图象写出不等式的解集.
题型二含参数的一元二次不等式的解法
例2:当a<0 时，解不等式x -(a+2)x+2a<0
变式：解不等式x -(a+2)x+2a<0
点评：如果未能判断两根的大小，必须按两根的大小关系 进行分类讨论!最后应加一段总结，按参数的大小顺序分 段将结论列举出来
含参数的一元二次不等式的解法
例3 解关于x 的不等式ax —(a+1)x+1<0.
[ 解 ] 当a=0 时，原不等式可化为x>1.
当a≠0 时，原不等式可化为(ax-1)(x-1)<0.
当a<0 时，不等式可化
,∴
当a>0 时，原不等式可化为
即 a>1,则 ; 即 a=1, 则 x∈0;
即 0综上所述，当a<0 时，原不等式的解集为 当a=0 时，
原不等式的解集为{x|x>1};当 01 时，原不等式的解集为
··
讨论二次
二次项若含有参数应讨论是等于0, 小于0,还是大于0,然后将不等式
项系数
转化为二次项系数为正的形式
判断方程
判断方程的根的个数，讨论判别式
根的个数
A与0的关系
确定无根时可直接写出解集，确定
写出解集
方程有两个根时，要计论两根的大 小关系，从而确定解集形式
提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式
的解集，不能合并.
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
练习解关于x 的不等式：ax —2≥2x—ax(a<0).
[解] 原不等式移项得ax +(a-2)x-2≥0,
化简为(x+1)(ax—2)≥0.
∵a<0,∴
当 一 2当a=—2 时 ，x=—1;
当 a<-2 时 ，
综上所述，当-2当a=-2 时，解集为{x|x=-1};
当 a<-2 时，解集为
【解】 由 题 意 所以
代入不等式cx —bx+a>0 中 得
即 , 化 简 得x +5x+6<0,
解得—3所以所求不等式的解集为{x|-3题型三三个“二次”之间的关系
例 4 若 关 于x 的 一 元二次不等式ax +bx+c<0 的解集为
求关于x 的不等式cx —bx+a>0 的解集 .
或
若将本例中
变，如何求解
化简得x +5x+6>0,
解 得x>—2 或 x<—3.
所以所求不等式的解集为{xlx>—2 或x<—3}.
代入不等式 cx —bx+a>0,
其他条件不
解：由题意知
2 改
为
题型四一元二次不等式的实际应用
例 5 某小区内有一个矩形花坛ABCD, 现将这一矩形花坛扩
建成一个更大的矩形花坛AMPN, 要求点B 在 AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过 点C, 如图所示.已知AB=3 m, AD=2 m.
要使矩形AMPN 的面积大于32 m , 则 DN 的长应在什么范围
内
由S 矩形AMPN>32,
又x>0, 得 3x —20x+12>0,
解得 或x>6,
即DN 的长的取值范围是
【解】 设 DN 的长为x(x>0)m, 则 AN的长为(x+2)m.
因