3.1.1 函数的概念(3课时)人教A版(2019)高中数学必修第一册课件(共66张PPT)

(共66张PPT)
3.1.1函数的概念(第1课时)
人教2019A版必修第一册
一 、知 识 回 顾
初中学习的函数概念是什么
设在一个变化过程中有两个变量x与y, 如果对于x
的每一个值，y都有唯一的值与它对应，则称y是x的
函数，x叫自变量，y叫因变量。(变量间的依赖关系)
正比例函数：y=kx(k≠0)
一次函数：y=kx+b(k≠0)
反比例函数：
二次函数：y=ax +bx+c(a≠0)
二 、实 例 探 究
问题1. 某“复兴号”高速列车到350km/h后保持匀速运
行半小时。这段时间内，列车行进的路程S (单位： km) 与运行时间t (单位：h) 的关系可以表示为 S=350t。
思考：根据对应关系S=350t, 这趟列车加速到350km/h
后，运行1h 就前进了350km, 这个说法正确吗
不正确。
t ∈A ={t|0≤t≤0.5},s∈B ={s|0≤s≤175}
二 、实例探究
问题2某电气维修告诉要求工人每周工作至少1天，
至多不超过6天。如果公司确定的工资标准是每人每 天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样 确定一个工人每周的工资 一个工人的工资w (单位 :元)是他工作天数d的函数吗
是函数，对应关系为w=350d, 其中，
d∈A ={1,2,3,4,5,6},
w ∈B ={350,700,1050,1400,1750,2100}.
二 、实 例 探 究
思考：在问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，
你认为它们是同一个函数吗 为什么
不是。自变量的取值范围不一样。
二 、实 例 探 究
问题3如图，是北京市2016年11月23日的空气质量指数
变化图。如何根据该图确定这一天内任一时刻th的空气 质量指数的值l 你认为这里的I是t的函数吗
是 ，t的变化范围是 A ={t|0≤t≤24} I的范围是 B ={I|0北京空气质量指数
问题4 国际上常用恩格尔系数 反映一个地区人民生
活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。上表是我国某省城镇居民
恩格尔系数变化情况，从表中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高。 你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗
恩格尔系数r是年份y的函数 y的取值范围是
A ={2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015}
r的取值范围是B ={r|0年份y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
2015
恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 29.89 29.35
28.57
二 、实 例 探 究
二、实例探究
(1)实例1、2、3有什么不同点
变量间的对应方式不同，
1是关系式，2是图像，3是表格
(2)以上3个实例有什么共同点
(1)都有两个非空数集.
(2)两个数集之间都有一种确定的对应关系.
三、 新课讲解
1、函数的概念：
设A、B 是非空数集，如果按照某种确定的对 应关系f, 使对于集合A中的任意一个数x, 在集 合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，就称
f:A→ B 为从集合A到集合B的一个函数，记作：
y=f(x),x∈A
x叫做自 变 量 ，x 的取值范围构成的集合A叫
做函数的定义域；即“自变量的取值集合”.
与x的值相对应的y 值 叫做函数值，所有函数值组成
的集合C={yly=f(x),x∈A} 叫做函数的值 域。
注意
(1)A,B 为非空数集
(2)任意x——唯一f(x)
(3)一对一，多对一(不能一对多)
(4)对应关系可以有解析式，图像，表格
三 、新 课 讲 解
知识点一函数的定义
(1)函数符号y=f(x)表 示“y是x的函数”。
(2)定义中与x对应的数用f(x)表示，f(x)不是f与x 的乘积， 表示的是x经f变化后对应的函数值。所以若对应关系用g、 G、F 等表示，则函数就可用g(x)、F(x)、G(x)等表示。
(3)集合A、B与f一起称A到B的函数，而非对应关系f或集合 A、B叫函数。
(4)函数的三要素，定义域，对应关系f, 值域。
值域由对应关系f与定义域确定
所以判定两函数是否相同
只需定义域与对应关系相同即可
三、新课讲解 函数的定义
知识复习
二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)
(1)性质：
1.开口方向 a>0,开口向上
a<0,开口向下
2.对称轴
3.顶点坐标
4.与x轴的交点由△=b -4ac 来决定
5.与y轴的交点(0,c)
函数 函数关系式 定义域 值域
正比例 函数 R R
反比例 函数
一次 函数 R
二次 函数 R
<0
常见函数的定义域和值域
例1.正比例函数y=kx(k≠0) 可以用来刻画匀速运动中的路 程与时间的关系、 一定密度的物体的质量与体积的关系、
圆的周长与半径的关系等。
试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式 y=x(10-x)来描述。
解：把y=x(10—x)看成二次函数，那么它的定义域是R, 值域是 B={yly≤25}.对应关系f:R→B, 使得R中的任意一个数x与B中 的数x(10—x) 相对应.
如果对x的取值范围作出限制，例如x ∈{x|0以构建如下情境：
长方形的边长之和为20,设一边长为x,面 积 为y,那 么y=x(10 —x). 其 中 ，x的取值范围是A={x|0三、新课讲解
区间的概念 课本P64
设a,b 是两个实数，而且a1.满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间， 表示为[a,b]
2.满足不等式a3.满足不等式a≤x半开半闭区间，表示为(a,b) 或 (a,b]
这里的实数a,b 叫做相应区间的端点
定义 名称 符号
数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b]
a b
{x|aa b
0
{x|a≤xa b
{x|aa b
0
x≥a x >a x≤b
xa,+0) (a,+0) [-0,b]
(-0,b)
实数集R可以表示为( - 0,+ )
注意：
1.区间 ( a,b) ,必须有b>a
2.区间只能表示数集
3.区间不能表示单元素集
4.区间不能表示不连续的数集
5.区间的左端点必须小于右端点；
6.区间都可以用数轴表示；
7.以“—o”或“十o”为区间的一端时，
这一端必须是小括号.
练习
1.下列对应关系中是从A到B的函数的个数为(B)
(1)A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|;
(2)A=Z,B=Z,f:x→y=x ;
①
(3)A={x|-1≤x≤1},B={0},f:x→y=0;
(4)A={1,2,3},B={a,b},对应关系如图①所示；
(5)A={1,2,3},B={4,5,6},对应关系如图②所示.
A.1 B.2 C.3 D.4
②
【解析】选 B.(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A 到B的函数.
(2)对于集合A中的任意一个整数x, 按照对应关系：f:x→y=x , 在集合B中都有唯
——个确定的整数x 与其对应，故是集合A 到集合B的函数.
(3)对于集合A中任意一个实数x,按照对应关系f:x→y=0, 在集合B中都有唯——
个确定的数0和它对应，故是集合A 到集合B的函数.
(4)集合B不是数集，故不是A 到B的函数.
(5)集合A 中的元素3在B中没有对应元素，且A 中元素2在B中有两个元素5和6与
之对应，故不是A到B的函数.
综上可知，对应关系(2)、(3)是A到B的函数.
【解析】 函数y=x的定义域为R;y=(√x) 的定义域为[0,+一];y=√x
=|x|,对应关系不同； 对应关系不同； ,且定义域
为 R.故 选D.
2.(2016·湛江高一检测)下列函数中，与函数
y=x 相等的是 (D)
A.y=(√x) B.y=√x
例题解析 课本P65
例2 已知函数
(1)求函数的定义域.
(2)求f(-3) 的值.
(3)当a>0时，求f(a),f(a-1) 的值.
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，
如前面所述的三个实例.如果只给出解析式
y=f(x), 而没有指明它的定义域，那么函数的定
义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合.
解：(1) √ ×有意义的实数x的集合是{x|x≥-3},
有意义的实数x的集合是{x|x≠-2},所以，这个函数
的定义域就是 {x|x≥-3,且x≠-2}
(3)因为a>0, 所以f(a),f(a-1) 有意义.
思考： 一个函数由哪几个部分组成 如果给定函数 的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗 两 个函数相等的条件是什么
定义域、对应关系、值域；
函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定；
定义域相同，对应关系完全一致.
解(1)y=(√x) =x(x≥0), 这个函数与y=x(x∈R)
对应一样，定义域不不同，所以和y=x(x∈R) 不相等 (2) ,这个函数和y=x(x∈R)
对应关系一样，定义域相同x ∈R, 所以和y=x(x∈R) 相等
这个函数和y=x(x∈R)
定义域相同x∈R, 但是当x<0时，它的对应关系为y=-x
例3.下列函数哪个与函数y=x 相 等
(1)y=(√x) (2)u=3v (3)y=√x (4
所以和y=x(x∈R) 不相等
分段函数
的对应关系一样，但是定义域不同，所以和y=x(x∈R) 不相
等
的定义域是{n|n≠0}, 与 函 数y=x(x∈R)
1.一枚炮弹发射后，经过26秒落到地面，
击中目标炮弹的射高为845m, 且炮弹距 地面的高度h单位m 与时间t单位s 的关系
为h=130t-5t ,求该函数的定义域与值域，并用
函数的定义描述这个函数
解：定义域为{t|O≤t≤26},值域为{h|O≤h≤845},对于数集
{t|O≤t≤26}中的任意一个数，在数集{ h|O≤h≤845}中都 有唯一确定的数h=130t-5t 与之对应
三、巩固练习P63
2.2019年11月2日8时至次日八时，北京的温度走势如图
所示。
(1)求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域
(2)根据图像求，这一天中，12时所对应的温度
(第2题)
解(1)设从今日八点起24小时内经过时间t的温度为
y℃, 则定义域为{t|O≤t≤24},值域为{y|2≤y≤12}.
(2)由图知12时的温度约为9.7℃
8时 1时 14时 17时 20时 23时
三、 巩固练习
05时 08时
3℃
02时
3.集合A,B 与对应关系f, 如图所示，
f:A→B 是否为从集合A 到集合B的函数
如果是，那么定义值域与对应关系各
是什么
解：由图知A 中的任意一个数，B 中都有唯一确
定数，与之对应，所以f:A→B 是从A 到B的函 数定义域是A={1,2,3,4,5},值域C={2,3,4,5}
三、巩固练习
函 数 1.一般地，设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中 的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合 B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f:A→B 为从集合A到集合B的一个函数对应法则f
2.函数的三要素 定义域A 值域B 对应法则f 定义域 对应法则 决定 →
值域
表 示 法 解析法、列表法和图象法
四、课重小结
函数的概念及其表示
3.1.1(2)函数的定义域
一、知识回顾
设A、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f,
对集合A中的任意一个数x, 在集合B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称f:A→B 为从集合A 到B 的一个函数。
记作y=f(x),x∈A
其中x叫做自变量，x 的取值集合A叫做函数定义域。
与x的值相对应的y的值叫函数值，
函数值的集合{f(x)|X∈A} 叫做函数的值域。
什么是函数的定义域
函数的定义域就是自变量的取值集合.这一点请大家牢牢记住：
“自变量的取值集合”.
( 一 )、 求具体函数的定义域
例1、求函数 的定义域
解：
依题有：
的定义域是{x|x≥3 或x<2}
Next
x≥3 或 x<2
解得：
。
的定义域为 C A 、{x|x<0} B 、{x|x<-1}
C 、{x|x<0, 且x≠-1} D 、{x|x≠0}
分析：函数的定义域满足
3.当k为何值时，函数 定义域是R
解：由 的定义域为一切实数，可知
分母 k x +4kx +3 ≠0 对x∈R 恒成立
综上(1)(2)知，当 时
的定义域是一切实数
(1)当k=0时，3≠0成立
( 2 ) 当k≠0 时：△<0 ,解得：
(4)y=√x -3+√5-x .
分析：解题的关键就是明确使各函数表达式有意义的条件。
解：(1)由题意有
..x≤O, 且
即该函数的定义域是{x|x≤0,
(2)y=√x-1.√ 1-x;
练习：求下列函数的定义域：
故函数的定义域为：{x|√3≤x≤√5 或-√5≤x≤-√3}
故该函数的定义域为：{x|x≤1, 且x≠0}.
故该函数的定义域为{x|x=1}
(一)、求具体函数的定义域
几类函数的定义域：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.
(2)如果f(x) 是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零 的实数的集合.
(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内 的式子大于或等于零的实数的集合.
(4)如果求 [f(x)]° , 那么函数的定义域是使f(x)
不等于0的实数的集合.
(5) 如果f(x) 是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定 义域是使各部分式子都有意义的实数集合.(即求各集合的交 集 )
(6)满足实际问题有意义
u=g(x) 内函数 —→ 以x为自变量
y=f(u) 外函数—→ 以u为自变量
y=f[g(x)] 原函数 一 以x为自变量
y=f(x)(x∈A)与y=f(u)(u∈A)
是否是同一函数
函数g(x)的值域和函数f(u)的定义域相同
二、抽象函数的定义域
复合函数： y=f[g(x)]
问题 ：
令 则
方 法 ：
0<2x —1<2
≤x≤3
故 ：f(2x-1) 的 定 义 域 是
若函数f(x) 的定义域为[a,b], 则f[g(x)]的定义域 应由不等式a≤g(x)≤b解出即得。
题型(一):已知f(x)的定义域，求f[g(x)的定义域
例1、若f(x) 的定义域是[0,2],求f(2x-1) 的定义域
解：由题意知：
总结：
练习：
1、若函数f(x) 的定义域为[1,4],则函数f(x+2)
的定义域为 _[-1,2].
2、若f(x)的定义域是[0,2],则函数f(x )
的定义域为[-√2, √2]
(题型二):已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域
例2、已知f(2x-1)的定义域[-1,5],求f(x)的定义域
解：由题意知：
-1∴-3<2x-1≤9
∴f(x)的定义域为(-3,9)
Next
例3 已知f(√x+1) 的定义域为[0,3],求f(x)的定义域。
分析：函数f(√x+1)和f(x)中的x并不是同一个量，若 设u=√x+1 则f(√x+1) 变为f(u), 那么u的取值范 围就是f(x)的定义域。
解：∵f(√x+1) 的定义域为[0,3],
∴0≤x≤3,则1≤ √x+1≤2
故f(x) 的定义域为[1,2].
练习：
已知f(2x-1)的定义域(-1,5)求f(2-5x)的定义域
解： 由题意知：
— 1∴-3<2x-1≤9 令u=2x-1,∴-3即f(u)的定义域为(-3,9),∴-3<2-5 x≤9
∴f(2-5x) 的定义域是
题型(三): 含参数问题讨论定义域
例3、 已知函数f(x)的定义域是[a,b], 且
a+b>0, 求g(x)=f(x)-f(-x)的定义域。
分析： ∵a>b>0,∴a>-b,b>-a
当a>0时，解为空，g(x)不存在
当a=0时 ，g(x)的定义域是{0}
当a<0 时 ，g(x)的定义域是[a,-a]
3.1.1(3)函数的值域
一、知识回顾
设A、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f,
对集合A 中的任意一个数x, 在集合B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称f:A→B 为从集合A到B的一个函数。
记作y=f(x),x∈A
其中x叫做自变量，x 的取值范围A叫做函数定义域。
与x的值相对应的y的值叫函数值，
函数值的集合{f(x)|X∈A}叫做函数的值域。
在函数的三要素中，对应法则是函数的核心，定义域是函 数的重要组成部分，定义域和对应法则一经确定，值域就随 之确定，因此，求函数的值域，要注意考虑函数的定义 域。
本节将通过具体例子讲授函数值域的求法
二、新课讲解
1、观察法：
例1.求下列函数的值域：
(1)y=3x+2(-1≤x≤1)(2)y=2+√4-x
解：(1)∵-1≤x≤1,∴-3≤3x≤3
∴-1≤3x+2≤5,∴1≤y≤5
所以函数的值域为： [—1,5]
(2)∵√4—x≥0
∴2+√4—x≥2
所以函数的值域为：[2,+]
总结：观察法就是利用常见函数的值域来求函数的值域.
2、配方法：
例2.已知函数y=x - ,4求它在下列区间的值域
(1)x∈R(2)[3,4] (3)[0,1] (4)[0,5]
解 ：y=(x-2) -3
总结：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法， 一般是根据函数所给x 的取值范围结合函数 的图象求得函数的值域.
(1)[-3,+00] (2)[-2,1]
(3)[-2,1] (4)[-3,6]
练习：求函数y=√-x 的值域
解：-x +4x+5≥0→-1≤x≤5,
y=√-(x-2) +9:.ye[0,3]
例3.求函数y=2x+4 的值域c
解：设t= √1-x(t则0) x=1-t
代入原函数得：
y=2(1-t )+4t 整理得：
y=-2t +4t+2=-2(t-1) +4
∴y≤4
所以函数的值域为(-0,4)
总结：换元法就是用“换元”的方法，将所给函数化成值域 容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域.
3、换元法
练习：
求函数y=x-、 的值域
X*
的值域为 所以函数的值域为{y|y≠5}
总 结 ： 形 如
4、 分离常数法
例4.求函数
即 y≠5
5、反解法：
例5.求函数 域
解：原函数整理为：
所以函数的值域为 (—1,1)
总结：利用已知函数的值域求未知函数的值域
( 1 ) 若y=1,即2x=0,则x=0 ;
(2)若y≠1,∵x∈R ∴△≥0 解得
综上：函数是值域是
∴函数的定义域为R, 原式可化为：
y(x +x+1)=x -x+1
整理得 (y-1)x +(y+1)x+y-1=0
6、判别式法
例6、求函
的值域
练习：
的值域是[- 1,4],
求实数a,b 的值。
a=±4,b=3
判别式法一般用于分式函数，其定义域应为R, 其分子或分母为二次式.
判别式法
总结：
7、图象法
例7、求函数y=|x+1|+|x-2| 的值域.
分段函数
解：将函数化为分段函数形式：
总结： 图象法(几何法)
采用“数形结合”,利用 直观图形求解的一种方法.
由图象可知，函数的值域是
(3 ,+0)
ks*
X
变式：y=|x+1|+|x-2|≥ m恒成立.求m的取值范围。
-1 O
m ∈(—
X
2
3
三个函数中的最小值，求函数f(x)的值域。
练习：
二次函数的最值
一、知识复习
二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)
(1)性质：
1.开口方向 a>0,开口向上
a<0,开口向下
2.对称轴
3.顶点坐标
4.与x轴的交点由△=b -4ac 来决定
5.与y轴的交点(0,c)
(2)二次函数解析式的三种形式：
1、一般形式： y=ax +bx+c(a≠0).
2、顶点式： y=a(x-h) +k(a≠0)
3、两根式： y=a(x-x )(x-X )(a≠0)
(3)二次函数的对称性
已知二次函数f(x),若f(a+x)=f(b-x)则
函 数f(x)的对称轴方程为
函数有最小值
函数有最大值
二 、讲授新课
1、当 x为全体实数时的最值
( 1 ) 当a>0 时，
( 2 ) 当a<0时，
1 、已知二次函数 f(x)=2x +4x+5,
求下列条件下的函数的最值 (1)-4≤x≤-2
(2)-2≤x≤0
(3)1≤x≤3
2、当x在某一范围内的最值
(1)配方法
解决问题的思路：(2)注意开口方向
(3)注意对称轴的位置
2、已知函数y=-x + 当
0≤x≤1时 ，函数y的最大值是2,
求实数a 的值。
3 、已知二次函数y=x +ax+3,
当0≤x≤3 时，有最小值-2,
求实数a 的值。
4、设a>0, 当-1≤x≤1 时，函数
f(x)=-x -ax+b 有最小值一1, 最大值1,求a,b的值。
5、已 知f(x)=x -2x+2, 当t≤x≤t+1 时，
函数f(x)的最小值为g(t),
求出g(t) 的表达式并作出图像。