8.4.1平面-人教A版(2019)高中数学必修第二册课件(共44张PPT)

(共44张PPT)
第八章立体几何初步
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1 平 面
学习目标
素养要求
1.了解平面的概念，会用图形与字母表示平面
直观想象
2.能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之 间的位置关系
直观想象
3.了解基本事实1,2,3,理解基本事实1,2,3的地位 与作用
直观想象、逻辑推理
数学必修第二册配人版A版 第八章立体几何初步
自学导引 课堂互动 素养达成 课后提能训练|
自学导引 课堂互动 素养达成 课后提能训练
数学必修第二册配人版A版 第八章立体几何初步
自学导引|
1.平面的概念
几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物
体中抽象出来的.几何里的平面是向四周无限延展_的 .
2.平面的画法
(1)我们常用平行四边形 表示平面，当平面水平放置时，常把平行
四边形的一边画成_ 横向，当平面竖直放置时，常把平行四边形一边画 成 竖 向.水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常 画成45°,且横边长等于其邻边长的2倍.如图1.
自学导引 课堂互动 素养达成 课后提能训练|
数学必修第二册配人版A版
知识点1 平面
第八章立体几何初步
(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被
遮挡部分用 虚线_画出来.如图2.
图1的平面可表示为平 面a 、平 面ABCD、平 面AC 或_平面BD .
数学必修第二册配人版A版 第八章立体几何初步
自学导引 课堂互动 素养达成 课后提能训练|
3. 平面的表示法
图 1
图2
数学必修第二册配人版A版 第八章立体几何初步
【预习自测】
下列说法：
①书桌面是平面；②8个平面重叠后，要比6个平面重叠后厚；③有
一个平面的长是100 m, 宽是90 m;④ 平面是绝对平滑，无厚度，无限 延展的抽象概念.
其中正确的个数为 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
自学导引 课堂互动 素养达成 课后提能训练
【答案】B
【解析】①错误，因为平面具有延展性；②错误，平面无厚度；③
错误，因为平面无厚度、大小之分；④正确，符合平面的概念.
数学必修第二册配人版A版 第八章立体几何初步
自学导引 课堂互动 素养达成 课后提能训练
基本事实 内容 图形
符号
基本事实 1 过不在一条直线上的三点， 有且只有一个平面
A,B, C三点不共线 →
存在唯一的α使A,B,
C∈a
基本事实 2 如果一条直线上的两点 在一个平面内，那么这条直 线在此平面内
A∈1,B∈1,且A a,
B∈ ca
数学必修第二册配人版A版
知识点2 平面的基本性质
自学导引 课堂互动 素养达成| 课后提能训练|
第八章立体几何初步
基本事实 内容 图形
符号
基本事实 3 如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么它们有且只有一 条过该点的_公共直线
=l,且
自学导引 课堂互动 素养达成 课后提能训练|
数学必修第二册配人版A版 第八章立体几何初步
特别提醒
三个推论：
推论1:经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面.
推论2:经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面.
数学必修第二册配人版A版 第八章立体几何初步
自学导引 课堂互动 素养达成| 课后提能训练
(1)三点可以确定一个平面.
(2)一条直线和一个点可以确定一个平面.
(3)四边形是平面图形.
(4)两条相交直线可以确定一个平面.
【预习自测】判断下列命题是否正确.(正确的画 “√ ”,错误的画
“×”)
数学必修第二册配人版A版 第八章立体几何初步
( )
( )
( )
( )
自学导引 课堂互动 素养达成 课后提能训练
【答案】(1)×(2)× (3)×(4) √
【解析】(1)不共线的三点可以确定一个平面.
(2)一条直线和直线外一个点可以确定一个平面. (3)四边形不一定是平面图形.
(4)两条相交直线可以确定一个平面.
数学必修第二册配人版A版 第八章立体几何初步
自学导引 课堂互动 素养达成 课后提能训练
数学必修第二册配人版A版 第八章立体几何初步
|课堂互动
自学导引 课堂互动 素养达成| 课后提能训练
题型1 立体几何三种语言的相互转化
例 1 用符号表示下列语句，并画出图形.
(1)平面α与β相交于直线l,直线a与α,β分别相交于点A,B;
(2)点A,B 在平面α内，直线a 与平面α交于点C, 点C 不在直线AB
上 .
素养点睛：本题考查了直观想象的核心素养.
自学导引 课堂互动 素养达成 课后提能训练
数学必修第二册配人版A版 第八章立体几何初步
解：(1)用符号表示：anβ=1,aNa=A,an β=B, 如图1.
(2)用符号表示：A∈a,B∈a,aNa=C,C4AB, 如图2.
自学导引 课堂互动 素养达成 课后提能训练|
数学必修第二册配人版A版 第八章立体几何初步
图 1
图 2
数学必修第二册配人版A版 第八章立体几何初步
规律方法-
三种语言的转换的注意点
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先注意观察图形有几
个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着先用文字语言表示 再用符号语言表示
(2)要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或
“年”,直线与平面的位置关系只能用“c” 或“4” .
(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区
别 .
自学导引 课堂互动 素养达成 课后提能训练|
跟踪训练
1. 用符号语言表示下列语句，并画出图形：
(1)三个平面α,β,y相交于一点P, 且平面α与平面β相交于PA, 平 面
α与平面γ相交于PB, 平面β与平面y相交于PC;
(2)平面ABD与平面BDC相交于BD, 平面ABC与平面ADC相交于
AC.
数学必修第二册配人版A版 第八章立体几何初步
自学导引 课堂互动 素养达成 课后提能训练|
解：(1)符号语言表示：anβ∩y=P,anβ=PA,any=PB,βNy=
PC, 图形表示：如图1.
(2)符号语言表示：平面ABDN 平面BDC=BD,
平面ABCN 平面ADC=AC, 图形表示：如图2.
自学导引 课堂互动 素养达成 课后提能训练|
第八章立体几何初步
数学必修第二册配人版A版
图2
图 1
A
题型2 点线共面问题
例2 如图，已知： aca,bca,a∩b=A,P∈b,PQ//a.
素养点睛：本题考查了直观想象和逻辑推理的核心素养.
自学导引 课堂互动 素养达成 课后提能训练|
数学必修第二册配人版A版 第八章立体几何初步
PQca.
求证：
证明：∵PQ//a, ∴PQ 与a确定一个平面β. ∴直线acβ, 点P∈β .
∵P∈b,bca,∴P∈a.
又∵aca,∴α 与重合.∴PQca.
数学必修第二册配人版A版 第八章立体几何初步
自学导引 课堂互动 素养达成 课后提能训练
规律方法
解决点线共面问题的基本方法
由基本事实1 确定出平面 其余点线在
及其推论 该平面内
点线共面
一部分点线确 另一部分点线确 两个平
定一个平面 定另一个平面 面重合
数学必修第二册配人版A版 第八章立体几何初步
自学导引 课堂互动 素养达成| 课后提能训练|
2.求证：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内.
解： 已 知 ：AB∩AC=A,AB∩BC=B,ACNBC=C.
求证：直线AB,BC,AC 共面 .
证明：(方法一)因为ACNAB=A, 所以直线AB,AC 可确定一个平面
所以B∈a,C∈a, 故BCca.
都在平面α内，
共面 .
因为B∈AB,C∈AC,
因此直线AB,BC,AC 所以直线AB,BC,AC
数学必修第二册配人版A版 第八章立体几何初步
自学导引 课堂互动 素养达成 课后提能训练
a.
(方法二)因为A不在直线BC上，所以点A和直线BC可确定一个平面α.
因为B∈BC, 所以B∈a, 又A∈a, 所以ABca.
同理ACca, 故直线AB,BC,AC 共面 .
(方法三)因为A,B,C 三点不在同一条直线上，所以A,B,C 三点
可以确定一个平面a.
因为A∈a,B∈a, 所以ABca.
同理BCca,ACca, 故直线AB,BC,AC 共面 .
数学必修第二册配人版A版 第八章立体几何初步
自学导引 课堂互动 素养达成 课后提能训练
数学必修第二册配人版A版 第八章立体几何初步
题型3 点共线、线共点问题
例3如图，已知平面α,β,且anβ=1.设梯形ABCD 中 ，AD//BC,
且ABCa,CDcβ.
求证：AB,CD,l 共点(相交于一点).
素养点睛：本题考查了直观想象和逻辑推理的核心素养.
自学导引 课堂互动 素养达成 课后提能训练|
数学必修第二册配人版A版
证明：因为梯形ABCD 中，AD//BC,
所以AB,CD 是梯形ABCD 的两腰 .
所以AB,CD 必定相交于一点.
设AB∩CD=M.
又因为ABca,CDCcβ, 所 以M∈a, M∈β . 所以M∈anβ .
又因为anβ=1, 所 以M∈1.
即AB,CD,l 共点(相交于一点).
自学导引 课堂互动
第八章立体几何初步
素养达成 课后提能训练
数学必修第二册配人版A版
【例题迁移】 (变换条件和问法) 本例变为：如图
所示，在空间四边形各边AD,AB,BC,CD 上分别取E,
F,G,H 四点，如果EF,GH 交于一点P, 求证：点P
在直线BD上.
证明： 若EF,GH 交于一点P, 则 E,F,G,H 四点共面.又因为
EFc 平面ABD,GHc 平面CBD, 平面ABDN平面CBD=BD, 所以P∈平
面ABD, 且P∈平面CBD. 由基本事实3可得P∈BD.
自学导引 课堂互动 素养达成 课后提能训练
第八章立体几何初步
规律方法
证明点共线的方法
(1)首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，
根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上.
(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在此直线上.
数学必修第二册配人版A版 第八章立体几何初步
自学导引 课堂互动 素养达成| 课后提能训练
证明三线共点的步骤
(1)首先说明两条直线共面且交于一点.
(2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交.
(3)得到交线也过此点，从而得到三线共点.
数学必修第二册配人版A版 第八章立体几何初步
自学导引 课堂互动 素养达成| 课后提能训练|
数学必修第二册配人版A版 第八章立体几何初步
跟踪训练
3. 如图，在四边形ABCD 中，已知AB//CD, 直线AB,BC,AD,
DC 分别与平面α相交于点E,G,H,F. 求证：E,F,G,H 四点必定共
自学导引 课堂互动 素养达成 课后提能训练
线 .
证明： ∵AB//CD,∴AB, CD 确定一个平面β.又∵ABNa=E,
ABcβ,∴E∈a,E∈β, 即 E为平面α与平面的一个公共点.
同理可证F,G,H 均为平面α与的公共点.
∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，
∴E,F,G,H 四点必定共线.
数学必修第二册配人版A版 第八章立体几何初步
自学导引 课堂互动 素养达成 课后提能训练
数学必修第二册配人版A版 第八章立体几何初步
易错警示 应用公理或其推论时忽略条件致误
例 4 已知A,B,C,D,E 五点中，A,B,C,D 共 面 ，B,C,D,
E共面，则A,B,C,D,E 五点一定共面吗
错解：A,B,C,D,E 五点一定共面.
因为A,B,C,D 共面，所以点A在B,C,D 所确定的平面内.因为
B,C,D,E 共面，所以点E也在B,C,D 所确定的平面内.所以点A,
E都在B,C,D 所确定的平面内，即A,B,C,D,E 五点一定共面.
自学导引 课堂互动 素养达成 课后提能训练
易错防范： 错解忽略了基本事实1中“不在一条直线上的三点”这
个重要条件.实际上B,C,D 三点有可能共线.
正解：(1)如果B,C,D 三点不共线，则B 、C 、D三点确定一个平面
a.
因为A,B,C,D 共面，所以点A在平面α内.
因为B,C,D,E 共面，所以点E在平面α内.
所以点A,E 都在平面α内，即A,B,C,D,E 五点一定共面.
数学必修第二册配人版A版 第八章立体几何初步
自学导引 课堂互动 素养达成 课后提能训练
(2)如果B,C,D 三点共线于l,
若A∈1,E∈1, 则 A,B,C,D,E 五点一定共面；
若A,E 中有且只有一个在1上，则A,B,C,D,E 五点一定共面；
若A,E 都不在1上，则A,B,C,D,E 五点可能不共面.
数学必修第二册配人版A版 第八章立体几何初步
自学导引 课堂互动 素养达成 课后提能训练
数学必修第二册配人版A版 第八章立体几何初步
素养达成
自学导引 课堂互动 素养达成| 课后提能训练
课堂 归纳
1. 立体几何的三种语言(体现逻辑推理、直观想象的核心素养).
图形语言、符号语言、文字语言是立体几何的三大语言，要准确实
现这三种语言的相互转换.
数学必修第二册配人版A版 第八章立体几何初步
自学导引 课堂互动 素养达成 课后提能训练|
2.三个基本事实的作用：
基本事实1— —判定点共面、线共面的依据；
基本事实2——判定直线在平面内的依据；
基本事实3——判定点共线、线共点的依据.
3. 证明几点共线的方法：首先考虑两个平面的交线，再证有关的
点都是这两个平面的公共点.或先由某两点作一条直线，再证明其他点 也在这条直线上.
数学必修第二册配人版A版 第八章立体几何初步
自学导引 课堂互动 素养达成 课后提能训练
1.下列说法中正确的是
A. 三点确定一个平面
B. 四边形一定是平面图形
C. 梯形一定是平面图形
D. 两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点
【答案】C
数学必修第二册配人版A版
素养训练
自学导引 课堂互动 素养达成 课后提能训练|
第八章立体几何初步
( )
【解析】不共线的三点确定一个平面，故A 不正确；四边形有时指
空间四边形，故B不正确；梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面， 故C正确；两个平面如果相交， 一定有一条交线，所有这两个平面的公 共点都在这条交线上，故D不正确.故选C.
数学必修第二册配人版A版 第八章立体几何初步
自学导引 课堂互动 素养达成 课后提能训练
2.用符号表示“点A在直线1上，l 在平面α外”,正确的是( )
A.A∈1,lfa B.A∈1,l4a
C.Acl,l4a D.Acl,l∈a
【答案】B
【解析】点与直线，直线与平面间的关系分别用“∈或中”和“c 或
4”表示.
数学必修第二册配人版A版 第八章立体几何初步
自学导引 课堂互动 素养达成 课后提能训练
3 .设平面α与平面β交于直线l,A∈α,B∈a, 且直线AB∩l=C, 则
直线AB∩β= _
【答案】C
【解析】∵anβ=1,ABNl=C,∴C∈β,C∈AB.∴AB∩β=C.
数学必修第二册配人版A版 第八章立体几何初步
自学导引 课堂互动 素养达成 课后提能训练|
4. 有以下三个说法：
①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；
②直线l在平面α内，可以用符号 “l∈a” 表示；
③已知平面α与β不重合，若平面α内的一条直线a 与平面β内的一条
直线b相交，则α与β相交.
其中正确的序号是
数学必修第二册配人版A版 第八章立体几何初步
自学导引 课堂互动 素养达成 课后提能训练|
【答案】①③
【解析】若直线与平面有两个公共点，则这条直线一定在这个平面
内，故①正确；直线l在平面α内用符号“c” 表示，即lca,② 错误；由 a与b相交，说明两个平面有公共点，因此一定相交，故③正确.
数学必修第二册配人版A版 第八章立体几何初步
自学导引 课堂互动 素养达成 课后提能训练
5. 如图所示，ABNa=P,CDNa=P,A,D
的两侧，ACNa=Q,BDNa=R. 求证：P,Q,R
与B,C 分别在平面α
三点共线.
自学导引 课堂互动 素养达成 课后提能训练
第八章立体几何初步
数学必修第二册配人版A版
数学必修第二册配人版A版 第八章立体几何初步
证明：∵ABNa=P,CDNa=P,∴ABNCD=P.
∴AB,CD 可确定一个平面，设为β.
∵A∈AB,C∈CD,B∈AB,D∈CD,
∴A∈β,C∈β,B∈β,D∈β.
∴ACcβ,BDCβ.
∵ABNa=P,ACNa=Q,BDNa=R,
∴P,Q,R 三点是平面α与平面的公共点.
∴P,Q,R 都在α与的交线上，故P,Q,R 三点共线.
自学导引 课堂互动 素养达成 课后提能训练