8.6.1直线与直线垂直-人教A版(2019)高中数学必修第二册课件(共36张PPT)

(共36张PPT)
第八章立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.1 直线与直线垂直
学习目标
素养要求
借助长方形，通过直观感知，了解空间中直线与 直线垂直的关系；会用两条异面直线所成角的定 义，找出或作出异面直线所成的角，并求出该角
直观想象、逻辑推理
数学运算
数学必修第二册配人版A版 第八章立体几何初步
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自学导引|
知识点异面直线所成的角
1. 定义：已知两条异面直线a,b, 经过空间任 意 一点O作直线
a'//a,b′//b, 则异面直线a 与b所成的角就是直线a′ 与 b′ 所成的
锐 角 (或 _直角).
2. 异面直线所成角θ的范围： 0 °<θ≤90°.特别地，当θ= 90 °
时 ，a 与b互相垂直，记作a ⊥b .
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【预习自测】
如图，正方体ABCD-A'B′C′D′ 中异面直线
A′B′ 与BC 所成的角为 .异面直线AD′ 与
BC 所成的角为
【答案】90° 45°
【解析】∵A′B′//AB,∴∠AB C为A'B′ 与BC所成的角，又
∠ABC=90°∴A'B′ 与 BC所成的角为90°.∵BC//AD,∴∠D′AD 为
AD′ 与BC 所成的角.∵∠ D′A D=45°, 故AD′ 与BC 所成的角为45°.
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|课堂互动
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题型1 异面直线的判断
例1如图所示为正方体表面的一种展开图，则图中的AB,CD,
EF,GH 在原正方体中互为异面直线的有 对.
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素养点睛：本题考查了直观想象的核心素养.
【答案】3
【解析】平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB,
CD,EF 和GH 在原正方体中，显然AB与CD,EF 与GH,AB 与GH 都是异 面直线，而AB与EF 相交，CD 与GH 相 交 ，CD 与EF 平行.故互为异面直 线的有3对.
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规律方法一
异面直线的判定方法
(1)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的
直线是异面直线.
(2)先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设
出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异 面.此法在异面直线的判定中经常用到.
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跟踪训练
1.下面四个命题：
①若直线a,b 异面，b,c 异面，则a,c 异面；
②若直线a,b 相交，b,c 相交，则a,c 相交；
③若a,b 为异面直线，直线c//a, 则c与b异面；
④若空间三条直线满足a⊥b,b//c, 则a⊥c. 其中真命题的序号为
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第八章立体几何初步
【答案】④
【解析】①若直线a,b 异 面 ，b,c 异面，则a,c 三种位置关系都有， 所以①不正确；②若直线a,b 相 交 ，b,c 相交，则a,c 三种位置关系都 有，所以②不正确；③由空间直线的位置关系和c与b可能异面或相交， 所以③不正确；④因为a ⊥b,b//c, 所以a ⊥c, 所以④正确.
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题型2 异面直线所成的角
例2 如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心.
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求：(1)BE 与CG 所成的角；
(2)FO 与BD 所成的角.
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解 ：(1 )如图，因为CG// BF,
所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角.
又在△BEF中，∠EBF=45°, 所以BE与CG所成的角为45°
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(2)连接FH, 因为HD//EA,EA//FB, 所以HD//FB.
又HD=FB, 所以四边形HFBD为平行四边形.
所以HF//BD, 所以∠HFO (或其补角)为异面直线FO与BD所成的
角 .
连接HA,AF, 易 得FH=HA=AF, 所以△AFH为等边三角形.
又知0为AH的中点，所以∠HFO=30°, 即FO与BD所成的角为30°.
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【例题迁移1】 (变换条件)在本例正方体中，若P
是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD所成的 E< 角.
解 ：连接EG,HF, 则P为HF的中点.连接AF,AH ,
则OP//AF.
又CD//AB, 所以∠BAF(或其补角)为异面直线OP与
CD所成的角.
由于△ABF 是等腰直角三角形，所以∠BAF=45°.
故OP与CD所成的角为45°.
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【例题迁移2】 (变换条件)在本例正方体中，若M,N 分别是BF,
CG的中点，且AG和BN所成的角为θ,求AM和BN所成的角.
素养点睛：本题考查了直观想象和数学运算的核心素养.
解：连 接MG.因为四边形BCGF 是正方形，所以BF4CG. 因为M,N 分别是BF,CG 的中点，所以BMNG.
所以四边形BNGM是平行四边形.
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所以BN//MG. 所以∠AGM (或其补角)是异面直线AG 和BN 所成的角，
∠AMG(或其补角)是异面直线AM和BN所成的角.
因为AM=MG, 所以∠AGM=∠MAG=θ.
所以∠AMG=180°-20, 即 AM和BN所成的角为180°-(180°-20)=
20.
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规律方法-
求异面直线所成的角的步骤
(1)找出(或作出)适合题设的角，遇题设中有中点，常考虑中位线；
若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几 何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线.
(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的
角 .
(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为0.若0°<θ≤90°,则θ为所求
若90°<θ<180°,则180°-θ为所求.
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[提醒]求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角
形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0° <θ≤90°.
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2. 如图所示，在三棱锥A-BCD 中 ，AB=CD,AB⊥CD,E,F
为BC,AD 的中点，求EF 与AB所成的角.
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跟踪训练
分别
所以∠GFE (或其补角)就是异面直线EF 与AB 所成的角，且EG=GF.
因为AB⊥CD, 所以EG⊥GF.所以∠EGF=90°.
所以△EFG 为等腰直角三角形.
所以∠GFE=45°, 即 EF 与AB所成的角为45°.
解：如图所示，取BD 的中点G, 连 接EG,FG.
因为E,F 分别为BC,AD 的中点，AB=CD, 所以 EG//CD,GF
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//AB, 且
事
3 .在正方体ABCD-A B C D 中，求A B与B D 所成的角.
解 ：如图，连接BD,A D.∵ABCD-A B C D 是正方体，
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∴DD //BB .又DD =BB ,
∴四边形DBB D 为平行四边形，∴BD//B D .∵A B,BD,A D 是
全等的正方形的对角线，∴A B=BD=A D , 则△A BD是正三角形，
∴∠A BD=60°.
∵∠A BD 是锐角，∴∠A BD 是异面直线A B 与B D 所成的角，即
A B与B D 所成的角为60°
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易错警示 忽略空间角的范围致误
例3如图，已知空间四边形ABCD 中，AD=BC,M,N 分别为AB,
CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°,则BC与AD所成的角为
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错解： 120°
如图，连接BD, 并取中点E, 连接EN,EM, 则EN//BC,ME//AD,
故∠ENM为BC与MN所成的角，∠MEN为BC与AD所成的角，∴∠ENM
=30°.又由AD=BC, 知ME=EN, ∴∠ EMN=∠ ENM=30°,
∴∠MEN=180°—30°—30°=120°, 即BC 与AD 所成的角为120°
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易错防范： 在未判断出∠MEN 是锐角或直角还是钝角之前，不能断
定它就是两异面直线所成的角，因为异面直线所成的角α的取值范围是 0°正解：易求得∠MEN=120°, 又 ∠MEN(或其补角)是BC与AD所成
的角，∴BC与AD所成的角为60°.
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素养达成
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课堂 归纳
在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转
化为两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化，这是我们学 习立体几何的一条重要的思维途径.需要强调的是，两条异面直线所成
角的范围为(0°,90°),解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的
大小(体现直观想象与数学运算的核心素养).
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素养训练
1. 如果两条直线a 和b没有公共点，那么a 与b的位置关系是( )
A. 共面 B. 平 行
C. 异面 D. 平行或异面
【答案】D
【解析】由两条直线的位置关系，可知答案为D.
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2. 设α为两条异面直线所成的角，则α满足 ( )
A.0°C.0°≤a≤90° D.0°【答案】B
【解析】异面直线所成的角为锐角或直角.故选B.
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3. 已知两条直线a,b, 且a// 平面α,bca, 则a 与b的位置关系是
【答案】平行或异面
【解析】a //a, 则 a与α无交点，bca, 则 a与b无交点，所以a,b 是 平行或异面.
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4.如图所示，正方体ABCD-A B C D 中 ，E,F 分别是棱BC,CC
的中点，则异面直线EF与B D 所成的角为 .
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【答案】60°
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【解析】连接BC ,AD ,AB , 则EF为△BCC 的中位线，
∴EF//BC .∵AB//CD//C D , 且AB=CD=C D ,∴ 四边形ABC D 为 平行四边形 .∴BC //AD ∴EF//AD .
∴∠AD B 为异面直线EF和B D 所成的角或其补角.在△AB D 中 ，
易知AB =B D =AD ,∴△AB D 为正三角形，∴∠AD B =60° .
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∴EF与B D 所成的角为60° .
5. 如图所示，点A 是△BCD 所在平面外一点，AD=BC,E,F 分
别是AB,CD 的中点，当 时，求异面直线AD 和 BC 所成的
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角 .
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∵E,F,G 分别为AB,CD,AC
∴EG//BC, 且
解：如图所示，设G 为AC 的中点，连接EG,FG.
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FG//AD,且
的中点，
∴EG 与 GF 所成的锐角(或直角)即为AD 与 BC 所成的角.
在△EFG中，∵ 事
∴EG +FG =EF , 即EG⊥FG.
∴∠EGF=90°.故 AD 与BC 所成角为90°.
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又AD=BC,∴