2.1 不等式性质【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件(共32张PPT)

(共32张PPT)
第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
第2课时不等式性质
目 录 CONTENTS
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
必备知识·探新知
不等式的性质
(对称性)
a>b, b>c→ ;(传递性)
a>b→ ;(同加保序性)
a>
· 推论：a+b>c→ a+c>b+.c (移项法则)
a>c—b
知识点1
· 性 质 1
·性质2 · 性质3
基础知识
a>b,c>d→ ; (同向相加保序性)
a>b>0,c>d>0→ a+c>b+d (正数同向相乘保序性) g>b>0→ (n∈N>ba≥2). (非负乘方保序性)
· 性质4 a>b,c>0→ (乘正保序性)a>b,c<0→ac· 性质5
· 性 质 6 ●性质7
an>bn
·思考：(1)性质3的推论实际就是解不等式中的什么法则
·(2)性质4就是在不等式的两边同乘以一个不为零的数，不改变不等号的 方向，对吗 为什么
·(3)使用性质6,7时，要注意什么条件
·提示：(1)移项法则.
·(2)不对.要看两边同乘以的数的符号，同乘以正数， 不改变不等号的方 向，但是同乘以负数时，要改变不等号的方向.
·(3)各个数均为正数.
·1.判断正误(对的打“ √ ”,错的打“×”) ·(1)若a>b, 则ac >bc .( )
·(2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的.( )
·(3)设a,b∈R, 且a>b, 则a >b .( )
·(4)若a+c>b+d, 则 a>b,c>d.( )√
基础自测
[解析] ( 1)由不等式的性质，ac >bc →a>b; 反 之 ，c=0 时 ，a>b≠
ac >bc .
(2)相乘需要看是 而相加与正、负和零均无关系.
(3)符合不等式的可乘方性.
(4)取 a=4,c=5,b=6,d=2, 满足 a+c>b+d, 但不满足 a>b,
故此说法错误.
· 2 .设b·A.a—c>b—d B.ac>bd
·C.a+c>b+d D.a+d>b+c
·3.已知a<0,—1·A.a>ab>ab B.ab >ab>a D
·C.ab>a>ab D.ab>ab >a
·[解析] 由 - 1·又a<0,∴ab>ab >a, 故选D.
4. 用不等号“>”或“<”填空：
(1)如果a>b,c b—d; (2)如果a>b>0,c(3)如果a>b>0, 那
(4)如果a>b>c>0, 那
[解析](1)∵c-d,∵a>b,∴a-c>b-d.
(2)∵c—d>0. ∵a>b>0,∴—ac>—bd,∴ac(3)∵a>b>0,∴ab>0, ,∴
(4)∵a>b>0,所以ab>0, 于是
关键能力·攻重难
题型一不等式性质的应用
例 1 若 aA.a C. D.ac >bc
·[分析] 通过赋值可以排除A,D, 根据不等式的性质可判断B,C 正误.
题型探究
>
[解析] 若 a对于B 选项，等价于a>b, 故不成立；对于C 选项， 故选项正确；
对于D 选项，当c=0 时，不正确.
·[归纳提升]判断关于不等式的命题真假的两种方法
·(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考 虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断.
·(2)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然 后进行比较、判断.
【对点练习】① 设 a,b 是非零实数，若a是(C)
A.a D.
[解析] 当a<0,b>0 时 ，a =ab(b—a),b-a>0,ab 符号不确定，故B 错 所以 故C 正确 .D 中 上 的大小不能确定.
题型二利用不等式的性质证明不等式
例 2 设 a>b>c,求证：
·[分析] 不等式证明，就是利用不等式性质或已知条件，推出不等式成
立.
[证明] 因为a>b>c, 所以一c>-b.
所 以a—c>a—b>0, 所
所 .又b—c>0,
所 .所
·[归纳提升]利用不等式的性质证明不等式注意事项
·(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定 要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确 地加以应用.
·(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件， 且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.
[证明] 因 为c—d>0.
又因为a>b>0, 所以a—c>b—d>0.
所以(a—c) >(b—d) >0.所以
又因为e<0, 所
【对点练习】② 若 a>b>0,c题型三利用不等式的性质求范围
已知一1·(1)求x—y的取值范围.
·(2)求3x+2y 的取值范围。
·[解析](1)因为-1·所以-3<-y<-2,
·所以-4·(2)由-1·[归纳提升]利用不等式的性质求取值范围的策略
·(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式 的性质进行运算，求得待求的范围.
·(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减),这种转化不是等价变形， 如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.
【对点练习】③已知10 求 的取值
范围.
[解析]因为-30+ 3 0 , 即 2 5因为一30所 , 即
所 以
错用同向不等式性质
例4 已知12[错解]∵12.故：
误区警示
力
·[错因分析] 把不等式的同向不等式(正项)相乘的性质用到了除法，从而 导致错误.
[正解]∵15·故法点拨]若题目中指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质 进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解 题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围.
·不等关系的实际应用
·不等关系是数学中最基本的部分关系之一，在实际问题中有广泛应用， 也是高考考查的重点内容.
学科素养
<
·A.ax+by+cz B.az+by+cx
·C.ay+bz+cx D.ay+bx+cz B
·[分析] 本题考查实际问题中不等关系的建立及利用不等式的性质比较 大小.
有 三 个 房 间 需 要 粉 刷 ， 粉 刷 方 案 要 求 ： 每 个 房 间 只 用 一 种 颜
色，例5房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分
别为x,y,z, 且x·[解析] 方法一：因为xa(x-z)+c(z-x)=(x-z)(a -c)>0,故ax+by+cz>az+by+cx;同 理 ，ay +bz+cx-(ay+bx+cz)=b(z-x)+c(x-z)=(x-z)(c-b)<0, 故ay+bz+
cx-y)<0, 故az+by+cx·综上可得，最低的总费用为az+by+cx.
·方法二：采用特殊值法进行求解验证即可，若x=1,y=2,z=3,a=1,
b=2,c=3, 则ax+by+cz=14,az+by+cx=10 ,ay+bz+cx=11 ,ay
+bx+cz=13. 由此可知最低的总费用是az+by+cx.
·[归纳提升]对于不等关系判断问题的求解， 一般需要通过作差进行推 理论证，对运算能力要求较高，但对于具有明确不等关系的式子进行判 断时，特殊值法是一种非常值得推广的简便方法.
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