第三章 函数的概念与性质(单元解读) 课件(共18张PPT) 高一数学(人教A版2019必修第一册)

(共18张PPT)
第三章函数的概念与性 质单元解读
人教A版2019必修第一册
单调性(最值)
奇偶性
一：本章知识结构图
函数的基本性质
函数的概念e-
概念
表示法
幂函数
函数
教学目标
1.掌握函数的概念；
2.了解分段函数，会画分段函数的图像；
3.理解函数性质并且熟练运用；
4.能用函数与方程的思想解决实际问题.
核心素养
a.数学抽象：函数的概念；
b.逻辑推理：函数性质的由来；
c.数学运算：求定义域、值域、函数解析式等； d.直观想象：抽象函数解不等式；
e.数学建模：通过建立函数模型，借助函数与方程的思 想解决实际问题.
二：单元目标
3.1函数的概念及其表示
约4课时
3.2函数的基本性质
约3课时
3.3幂函数
约1课时
3.4函数的应用(一)
约1课时
文献阅读与数学写作函数的形成与 发展
约1课时
小结
约2课时
本章数学约需12课时，具体分配如下(仅共参考):
三：课时安排
1构建函数的研究框架
2.加强与学生已有经验的联系
3.如何完成函数概念的抽象
4.如何引导学生辨析
5.如何体现“函数的表示”的教学价值
6.函数基本性质的编写思考
7.暴函数、函数的应用(一)的编写意图
四：课标解读
主题 知识单元 核心知识 平均要求
个数
了解 理解 掌握
函数 函数概念与性质 函数概念 函数的概念 √
4
区间的概念 √
函数的表示 √
分段函数 √
函数性质 函数的单调性 √
3
函数的最大(小)值 √
函数的奇偶性 √
幂函数 幂函数的概念 √
2
五个特殊幂函数的图象与性质 √
函数应用(一) 函数模型的应用 √
1
总计 3 6 1
10
五：本章核心任务
1.核心知识评价要求
思想方法
评价要求
函数与方程
能运用函数模型观察、分析实际问题中的数量关系，并通过从实际情境中取变量，寻求 变量的变化范围及变量间的对应关系建立函数模型去描述现实世界中事物的变化规律，解决 相关实际问题。
数形结合
能分别用解析式与图象去表示函数，并在这个过程中进行直观与抽象的转化；体会函数图
象是研究函数性质的一种重要工具，能从函数的图象中发现函数的性质，利用函数的图象帮 助解决问题。
特殊与一般
能根据函数的一般概念，从具体问题中抽象出正比例函数、反比例函数、 一次函数、二 次函数与幂函数特殊函数模型；能将观察特殊函数值表现的特征发现函数的单调性与奇偶性 的研究过程，运用到研究事物发展的一般规律上去。
分类与整合
能运用分段函数、幂函数的指数对幂函数图象与性质的影响，获得需分类解决的问题中的 函数模型，并依据建模型分类去解决问题，能通过对函数定义的分划与合并，取舍函数模型 去解决问题。
关键能力
评价要求
抽象概括
能从实际问题情境中抽象出函数的三要素，并在此基础上抽象出函数概念并用数学 符号表示；能够在具体问题情境中，发现熟悉的函数模型并提出与函数有关的数学问题， 合理选择函数模型去表述变化规律和解决问题。
推理论证
能根据函数单性的定义判断函数的单调性；能根据函数单调性的定义证明某些简单函 数的单调性；能利用函数的单调性比较两个数的大小；能根据函数奇偶性的定义判断函数 的奇偶性。
直观想象
能用函数的图象表述函数，刻画用函数描述的事物运动和变化的规律；对已经学过的 基本函数，能在函数图象与函数解析式之间相互转化；能借助函数的图象探究函数的基本 性质。
运算求解
能求出简单函数的定义域；能根据函数的表示方法，求出给定自变量所对应的函数值； 能将函数单调性的证明转化为程序化的运算问题。
3.关键能力评价要求
1.做好初高中衔接
2.使学生经历完整的概念学习过程
3.要重视“事实”的教学价值
4.函数概念的教学要采用“归纳式”
5.函数性质的教学
六、单元教学建议
七、单元学习难点及其突破
1. 判断对应关系是否为函数的2个条件
(1)A,B 必须是非空实数集.
(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应.
对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的
不是函数关系.
2.判断函数相等的方法
(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；
(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同.
3.函数求值的方法
(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.
(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.
4.求函数定义域的常用方法
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零.
(2)若f(x) 是偶次根式，则被开方数大于或等于零.
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.
5.分段函数求函数值的方法：
(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间.
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x ))的形式时，应从
内到外依次求值.
6..已知函数值求字母取值的步骤：
(1)先对字母的取值范围分类讨论.
(2)然后代入不同的解析式中.
(3)通过解方程求出字母的值.
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.
提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段
上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验.
7.利用定义证明函数单调性的步骤
(1)取值：设x ,x 是该区间内的任意两个值，且x (2)作差变形：作差f(x )一f(x ), 并通过因式分解、通分、配方、有理
化等手段，转化为易判断正负的式子.
(3)定号：确定f(x )-f(x ) 的符号.
(4)结论：根据f(x )-f(x ) 的符号及定义判断单调性.
提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积
的形式.
8.函数单调性的应用
(1)函数单调性定义的“双向性”:利用定义可以判断、证明函数的单
调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.
(2)若一个函数在区间[a,b] 上是单调的，则此函数在这一单调区间内
的任意子集上也是单调的.
9. 利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性.
(2)利用单调性求出最大(小)值.
2. 函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f(x) 在区间[a,b] 上是增(减)函数，则f(x) 在区间[a,b] 上的最小(大)值是
f(a), 最大(小)值是f(b).
(2)若函数f(x) 在区间[a,b] 上是增(减)函数，在区间[b,c] 上是减(增)函数，则f(x)
在区间[a,c] 上的最大(小)值是f(b), 最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.
提醒：(1)求最值勿忘求定义域.
(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解
时一定注意.
10.解实际应用题的四个步骤
(1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因
变量的条件关系.
(2)建模：建立数学模型，列出函数关系式.
(3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变
量的取值范围).
(4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案.
11.巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数一图象关于原点对称，偶函数→ 图象关于y 轴对称.
(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇
偶函数图象的问题.
12.比较大小的求解策略，看自变量是否在同一单调区间上.
(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单
调区间上，然后利用单调性比较大小.
13.判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=x"(α 为常数)的
形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)
底数为自变量；(3)系数为1.
14.解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，
幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低);在(1,十一)上，指数越大，幂
函数图象越远离x 轴(简记为指大图高).
(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象
限内的图象(类似于y=x-1 或y=x 或y=x ) 来判断.