4.4.2 对数函数的图象和性质【新教材】人教A版高中数学必修第一册优秀课件(共34张PPT)

(共34张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.4 对数函数
4.4.2 对数函数的图象和性质
[学习目标] 1.能借助描点法或信息技术作出具体对数
函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点，发展直 观想象素养.
2.知道对数函数 y=log x 与指数函数y=a 互为反函数(其
中a>0, 且a≠1).
函数y=logax(a>0,且a≠1)与 且 a≠1)的图
象间的关系
函数y=logax(a>0,且a≠1)与y=logir(a>0,且a≠1)的图
象关于 对称.
一 、函 数y=logax与 y=log
[知识梳理]
预 习导学思维启动
的图象间的关系
【思考】
如何从数的角度说明函数y=logx 与y=log x 的图象关于
a
x 轴对称
提示：因为点(x,y)与点(x,y)关于x 轴对称，且
所以y=log x图象上任一点P(x,y)关于x 轴的对称点P (x,-y)都 在y=logix的图象上，反之亦然，由此可知，底数互为倒数的两个
a
对数函数的图象关于x 轴对称.
[基础测试]
1.函数y=1gx与y=log1的图象关于 对称.
2.若函数 f(x)的图象与函数 y=In x的图象关于x 轴对称，
对数函数
图象
定义域
值域 R
性质 过定点 即当
时
预习导学思维启动
二、对数函数的图象和性质
[知识梳理]
对数函数的图象和性质
【思考】
1)在第一象限内观察函数 的 图象，你能发现底数的大小与图象左右位置的关系吗
(2)你能解释为什么对数函数y=logax的图象恒过定点(1,0)吗
由此类推函数 y=loga(x-1)的图象恒过哪个定点
[基础测试]
3.若对数函数y=log x(a>0, 且a≠1) 在(0,+oo)上是减函数，
则 a 的取值范围是
4.函 数y=log (x+1)(a>0,且a≠1)的图象恒过定点
预习导学思维启动-
三、反函数
[知识梳理]
反函数
指数函数y=a*(a>0,且a≠1) 与对数函数 y=logax(a>0,
且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.
【思考】
若指数函数y=a*(a>0,且a≠1)的图象过点(1,3),则对数函
数y=logax(a>0,且a≠1)的图象也过点(1,3)吗
[基础测试]
5.函数y=In x的反函数是
6.函数y=10*的反函数是
(1)若a=log .70.9,b=log .10.7,c=1.10.9,则a,b,c的
)
B.aD.c【例1】
大小关系为(
A.aC.b探索点一比较对数值的大小
(2)下列不等式成立的是(其中a>0, 且a≠1)( )
A.log .1(a+1)C.log 2.9解析：对于选项A,函数y=log .1x是增函数，
则log .1(a+1)>log .1a,故选项A 不成立；
对于选项B, 因为a 与1的大小关系不确定， 所以loga5.1与 loga5.2的大小关系不确定，
故选项B 不一定成立.对于选项C,log 2.9>0,log .52.2<0, 故选项C 不成立；
对于选项D,由 log .57即 log 0.5(3)若a=log,3,b=log 2,c=log 6,则下列结论正确的是( )
A.bC.c方法规律
对数值比较大小的常用方法
(1)比较大小的对数式的底数是同一常数，真数不同， 可根据对数函数的单调性直接进行判断.
(2)在比较底数不同，真数相同的两对数的大小时，可 以用图象法，还可以利用换底公式转化为分子为1,分母上 为底数相同，真数不同的形式，再利用函数的单调性比较两 个分母的大小，来完成比较两对数值的大小.
(3)若两个对数的底数与真数都不相同，则需借助中间 量间接地比较两对数值的大小，常用的中间量有0,1,-1等.
A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>b>a
解析：因为1 ,所以a>c>b,故选C.
2.若a=log 2,b=log 2,c=log 3,则 ( )
A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b
解析：由1 得
即1>log 2>log 2.又因为log 3>1,
所以log 3>log 2>log 2,即c>a>b, 故选D.
【跟踪训练】
探索点二解对数不等式
【例2】 (1)不等式 的解集为
解析：原不等式可化为 解得-2(2)若 a 的取值范围是
解析： ,得
当a>1 时 ，y=log x是增函数，解得 所以a>1; 当 0所以 综上所述， a>1.
②当 0综上可得，当a>1 时，不等式的解集为
当 0。
(3)解不等式loga(x-1)≤loga(6-2x)(a>0,且a≠1).
解：①当a>1 时，不等式等价于 解得
方法规律
两类对数不等式的解法
(1)形如logaf(x)①当 0g(x)>0;
②当 a>1 时，可转化为0(2)形如logaf(x)①当 0a ;
②当a>1 时，可转化为0【跟踪训练】
3.变式练本例(1)中不等式变为log .7(2x)<1求解
解析：原不等式可化为log .7(2x)所以
解得1,则a 的取值范围是
解析：原不等式可化为
当a>1 时可得 此时原不等式无解.
当 0综上，知a 的取值范围是
5.拔高练已知函数 若f(a)>f(-a), 则实数
a 的取值范围是( )
A.(-1,0)U(1,+) B.(-○0,-1)U(0,1)
C.(-1,0)U(0,1) D.(-00,-1)U(1,+o)
解析：当 时
由f(a)>f(-a),得 所以 所以a>1. 当a<0 时 ,由f(a)>f(-a), 得 所以 ,所以-1综上，得-11.故 选A.
y=logix的图象向左平移1个单位长度即可得到f(x)的图
a
象，故选C.
探索点三对数函数的图象及应用
【例3】 (1)如果函数y=a*(a>0, 且a≠1) 是单调递减
。
A B C D
解析：由 ,且函数为减函数，知
函数，那么函数 的图象大致是( )
解析：令x+3=1,得x=-2,y=-1,即定点为A(-2,-1).
因为点A 在函数f(x)=3*+b的图象上，所以f(-2)=3 +b=-1,得
所以 ,所以
(2)已知函数y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A 也在
函数f(x)=3*+b的图象上，则f(log 2)= 9
(3)如图所示，四条曲线是对数函数 y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logax的图象，则 a,b,c,d及1的大小关系为
y=logax
y=log,x
- x y=logax
解析：由对数函数底数大小与图象位置的关系，知b>a>1>d>c.
y
0
方法规律
1.对数函数的图象过定点问题
当所求函数y=m+logf(x)(a>0,且a≠1)的图象过定点时
只需令f(x)=1 求 出x, 即得定点为(x,m).
2.根据对数函数的图象判断底数大小的方法
作直线y=1, 与所给图象相交，交点的横坐标即为各个
底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的 底数逐渐变大，可比较底数的大小.
【跟踪训练】
6.函数y=x+a 与y=logax的图象只可能是下面选项中的( )
A B C D
孽
7.函数f(x)=loga(2x+1)+2(a>0,且a≠1)的图象必过
定点
【例4】 (1)若函数f(x)=log (x+ √x +a )是奇函数，
则 a=
解析：由函数f(x)是奇函数，得f(-x)=-f(x),
所以log ( √x +a -x)+log ( √x +a +x)=0,
即log a =0, 所以a =1, 解得a=±1.
探索点四对数函数性质的综合应用
(3)函数f(x)=In(x -2x-8)的单调递增区间是
解析：由x -2x-8>0,得x>4或x<-2,即x ∈(-00,-2)U(4,+oo). 令u=x -2x-8,则u=(x-1) -9,
则u 在区间(-0o,-2)上单调递减，在区间(4,+0o)上单调递增.
又因为当u∈(0,+o)时，y=In u单调递增，
所以当x ∈(4,+0o)时，y=In(x -2x-8)单调递增.
(2)函数 的值域是
解析：设u=8+2x-x ,则u=-(x-1) +9≤9,由题意，知 u>0,所以0又因为 在区间(0,+oo)上为减函数，所以 所以 的值域为[-2,+oo].
方法规律
1.形 如 y=log f(x)的函数的值域或最值问题的解法
先求f(x)的值域，取大于零的部分.再根据y=logau(u=f(x))
的单调性求y=logf(x)的值域或最值
2.形如y=log.f(x)的函数的单调性问题的解法
要确保f(x)>0,当a>1 时 ，y=log f(x)的单调性在f(x)>0的 前提下与y=f(x) 的单调性一致.
当 00 的前提下与
y=f(x)的单调性相反.
【跟踪训练】
是( )
A.奇函数 B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
解析：因为√x +1+x>0,所以f(x)的定义域为R.
所以 f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.
因为(x+1) +2≥2,所以lo
所以函数f(x) 的值域是(-00,-1).
10.若函数f(x)=log (ax-2)在区间[1,3]上是增函数，则实数a 的取
值范围是
解析：由题意， 解得a>2.
的值域是 .
9.函数
比较对数值大小的方法
解对数不等式的方法
求函数y=log。f(x)的值 域、单调区间的方法
数学抽象
直观想象 分类讨论
a>1时的图象
0对数函数
性质
课堂建构
素养或思想
方 法
知识
图象