函数的应用(一)-【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件(共46张PPT)

(共46张PPT)
第三章
函数的概念与性质
3.4函数的应用(一)
· 【素养目标】
·1.了解函数模型(如一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等是现实
生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.(数学抽象)
·2.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题.(数
学建模)
· 【学法解读】
·1. 学生应理解如何用函数描述客观事物的变化规律，体会函数与现实
世界的联系.
·2 .会用已学过的一次函数、二次函数、幂函数、分段函数处理有关实 际应用问题
目录 CONTENTS
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
必备知识·探新知
知 k
为
型
数
模
函
数
的
函
b
次
形
识
子 米 数 模 开 其中k≠0.
知识点2 二次函数模型
(1)一般式：y=ax +bx+c c(0a≠0).
(2)顶点式：
(3)两点式：y=a(x—x )(x—x)(a≠0).
知识点3 幂函数型模型
·(1)解析式：y=axa+b(a,b,α 为 常 数 ，a≠0,α≠1).
·(2)单调性：其增长情况由xa 中的α的取值而定.
基础自测 》
·1.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品日 销量m(单位：件)与每件的销售价x (单位：元)满足m=120—2x. 若要获 得最大日销售利润，则每件商品的售价应定为( )
·[解析] 设日销售利润为y元，则y =(x-30)(120-2x),30≤x≤60,
·将上式配方得y=-2(x-45) +450,
·所以当x=45 时，日销售利润最大.
元 D. 越高越好
·A.30
·C.54
B.45 元
元
B
·2.A,B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达 B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地 .
·(1)试把汽车与A地的距离y(单位：千米)表示为时间x (单位：小时)的函 数；
·(2)根据(1)中的函数解析式，求出汽车距离A地100千米时x 的值.
7
·
时，60x=100 或
时汽车距离A 地100千米.
(2)当y=100
或
[解析] (1
解得
x=
关键能力·攻重难
某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出
社.在一个月(30天)里有20天每天可以卖出报纸400份，其余10天每天
只能卖出250份.若每天从报社买进报纸的数量相同，则每天应该从报
社买进多少份报纸，才能使每月所获得的利润最大 最大利润为多少元
题型探究
题型—一次函数模型
的价恰是毒份0.50元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报
·[分析] 设每天从报社买进报纸的数量为x份，若使每月所获得的利润最 大，则250≤x≤400, 每月所赚的钱数=卖报收入的总价一付给报社的 总价，而收入的总价分为三部分：①在可卖出的400份的20天里，收入 为(0.5x×20) 元；②在可卖出250份的10天里，在x 份报纸中，有250份 报纸可卖出，收入为(0.5×250×10)元；③没有卖掉的[(x—250)×10]份 报纸可退回报社，报社付的钱数为[(x—250)×0.08×10]元.注意要写清 楚函数的定义域.
·[解析] 设每天应从报社买进x 份报纸，由题意知250≤x≤400,设每月 所获得的利润为y元，根据题意得：
·y=0.5x×20+0.5×250×10+(x-250)×0.08×10-0.35x×30=0.3x
+1050,x∈[250,400].
·因为y=0.3x+1050 是定义域上的增函数，所以当x=400 时 ，ymax=120 +1050=1170(元) .
·故每天应该从报社买进400份报纸，才能使每月所获得的利润最大，最 大为1170元.
·[归纳提升]建立一次函数模型，常设为y= kx+b(k≠0) ,然后用待定 系数法求出k,b 的值，再根据单调性求最值，或利用方程、不等式思想 解题 .
·[解析] 因 为90 min=1.5 h,所以汽车的速度为180÷1.5=120 km/h,
则路程y(km)与时间t(h) 之间的函数解析式是y=120t(t ≥0).
·【对点练习】① 一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km, 则 这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h) 之间的函数解析式是( )
·C.y=2t(t≥0)D.y=120t(t≥0)
B.y=120 t
·A.y=2t
D
题型二二次函数模型
A,B 两城相距100 km, 拟在两城之间距A城x km处建一发电
km.已知供电费用等于供电距离(单位：km)的平方与供电量(单位：亿度)
之积的0.25倍，若每月向A城供电20亿度，每月向B城供电10亿度.
·(1)求x的取值范围；
·(2)把月供电总费用y 表示成关于x 的函数；
·(3)发电站建在距A城多远处，能使供电总费用y 最少
站给A,D 两城供电，为保证城市安全，发电站距城市的距离不得小于10
·[分析] 根据发电站与城市的距离不得少于10 km确定x的取值范围，然 后根据正比例关系确定y关于x的函数解析式，最后利用配方法求得最小 值 .
[解析] ( 1) x的取值范围为{x|10≤x≤90}.
x) (10 ≤ x≤90).
(3)由于
则当 时 ，y 取得最小值，
故发电站建在距A 处，能使供电总费用y 最小.
·[归纳提升]二次函数模型的应用
·根据实际问题建立二次函数模型后，可利用配方法、判别式法、换元法 以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用 料最省等最值问题.
【对点练习】② (2019·江苏省徐州市高一期中)某企业生产一种机器
的固定成本为0.5万元，但每生产1百台时，又需可变成本(即另增加投
入)0.25万元.市场对此商品的年需求量为5百台，销售的收入(单位：万
元)函数为： , 其 中x 是年产量(单位：百台).
(1)将利润表示为关于年产量的函数；
(2)年产量是多少时，企业所得利润最大
[解析](1)依题意得，利润函数
x +4.75x—0.5(0≤x≤5).
(2)利润函数 ,当x=4.75时，G(x)
有最大值. 故当年产量为4.75百台时，企业所得利润最大.
题型三幂函数模型
某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券
投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为
0.125万元和0.5万元.
·(1)分别写出两类产品的收益与投资额x的函数关系式；
·(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能 使投资获得最大收益，最大收益是多少万元
等稳健坐广品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与
[解析] (1)设稳健型与风险型产品的收益与投资额 x 的函数关系式
分别为f(x)=k x(x≥0),g(x)=k √x(x≥0), 结合已知得 ,g(1)
所以

。
令t= √20-x(0≤t≤2 √5),则x=20-r,
所以
所以当t=2 时，即x=16 时 ，y 取得最大值，ymax=3.
故当投资稳健型产品16万元，风险型产品4万元时，可使投资获得
最大收益，最大收益是3万元.
(2)设投资稳健型产品x 万元，则投资风险型产品(20—x)万元，
·[归纳提升]幂函数模型有两个：y=kxn(k,n 是常数),y=a(1+x)n(a,
n是常数),其中y=a(1+x) 也常常写作y=N(1+p)×( N,p 为常数),这 是一个应用范围更广的函数模型，在复利计算、工农业产值、人口增长 等方面都会用到该函数模型，我们平时用这两个函数模型时注意区分.
·【对点练习】③ 在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管 道时，其流量速率R与管道半径r 的四次方成正比.
·(1)写出函数解析式；
·(2)假设气体在半径为3 cm的管道中，流量速率为400 cm /s. 求该气体 通过半径为r cm的管道时，其流量速率R的解析式；
·(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm, 计算该气体的流量速 率.(结果保留整数)
[解析] (1)由题意，得R=kr (k 是大于0的常数).
(2)由r=3 cm,R=400 cm /s,得 k·3 =400.
所以 流量速率的解析式为
(3)因为
所以当r=5 cm时，
8×5 ≈3086(cm s.
题型四分段函数模型
例 4 (2019·南京一中期中)某公司生产一种电子仪器的固定成本
为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益(单位：元)
其中x 是仪器的产量(单位：台).
(1)将利润 f(x)(单位：元)表示为产量x 的函数(利润=总收益一总成
本);
(2)当产量x 为多少时，公司所获利润最大 最大利润是多少
·[分析] (1)利润=收益一成本，由已知分O≤x≤400和x>400两段求出利 润函数的解析式；(2)分段求最大值，两者中大者为所求利润最大值.
[解析(1)当O≤k≤400时，
+300x—20000;
当x>400时 ，f(x)=80000—100x-20000=60000-100x.
≤<400
(2)当0≤x≤400 时，
25000,
当x=300 时 ，f(x)max=25000.
当x>400 时 ，f(x)=60000—100x所以当 x=300 时 ，f(x)max=25000.
故当产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为25000元.
·[归纳提升]应用分段函数时的三个注意点
·(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏(关键词：“段”).
·(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集(关键词：定 义域).
·(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后再下结论(关键 词：值域).
·【对点练习】4 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水量不超 过4 t 时，每吨3元，当用水量超过4 t 时，超过部分每吨4元.现甲、乙 两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x t,3x t.
·(1)求y关于x 的函数关系式；
·(2)若甲、乙两户该月共交水费40元，分别求出甲、乙两户该月的用水 量和水费.
· t 过4 t, 即 5x≤4时，乙户用水量也不超过
·当甲户的用水量超过4 t而乙户的用水量不超过4 t,
x;
超
x)
用
(5
当
y
1
4
[解析]
即 5x>4且 3x≤4 时 ，y=4×3+3x×3+4×(5x—4)=29x—4;
当甲、乙两户的用水量均超过4t, 即 3x>4时，
y=4×3×2+(5x—4)×4+(3x—4)×4=32x—8.
(2)由于函数y=f(x) 在各段区间上均单调递增，
所以当 [0, 时，
当 时，
故 令32x—8=40, 解 得x=1.5,
所以5x=7.5, 甲户用水量为7.5 t, 应付水费y =4×3+(7.5-4)×4
= 26(元);3 x=4.5, 乙户用水量为4.5t, 应付水费y =4×3+(4.5-4)×4
=14(元).
·忽视实际问题中的定义域
东方旅社有100张普通客床，当每床每夜收租费10元时，客 床司 例 5租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出；若 再提高2元，便再减少10张客床租出.依此情况变化下去，为了投资少 而获租金最多，每床每夜应提高租费多少元
[错解] 设每床每夜提高租费x(x∈N+)次2元，则可租出(100—10x)
张客床，可获得利润y 元，
依题意有y=(10+2x)·(100—10x),
时 ，ymax=1125.
本题忽略了变量参数的实际意义x∈N+.
所以当
·[ 错因分析]
[正解] 设每床每夜提高租费x(x∈N+)次2元，则可租出(100—10x)
张客床，可获得利润y 元，
依题意有y=(10+2x)·(100—10x), 即 垂
因为x∈N+, 所以当x=2 或 x=3 时 ，ymax=1120.
当x=2 时，需租出客床80张；当x=3 时，需租出客床70张.
因为x=3 时的投资小于x=2 时的投资，所以取x=3, 此 时 2x=6.
即当每床每夜提高租费6元时，投资少且又能获得最高租金.
·[ 方法点拨]解函数应用题时，我们不仅要关注函数的定义域，更要关
注其中有关参数的限制条件，并使所有的量都有实际意义.
·数学建模—函数模型的选择
某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1 万欢，例 6万双，1.3万双，1.37万双.由于产品质量好、款式新颖，前 几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过 多或过少，需要估计以后几个月的产量.厂里分析，产量的增加是由于 工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工
人.假如你是厂长，就月份x, 产量为y 给出三种函数模型：y=ax+b,
y= ax +bx + c,y=abx+c, 你将利用哪一种模型去估算以后几个月的 产量
学科素养
·[分析] 本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况， 最终找出与实际最接近的函数模型.
[解析] 由题意，知将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1,1),
B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37) 这4个数据 .
(1)设模拟函数为y=ax+b 时，将B,C 两点的坐标代入函数式，
, 解 .所以有关系式y=0.1x+1.
由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升
1000双，这是不太可能的.
所以有关系式y=—0.05x +0.35x+0.7.
结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双，比实际产量少700双，
而且由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下， 对称轴为x=3.5), 不合实际.
(2)设模拟函数为y=ax +bx+c 时，将A,B,C 三点的坐标代入函
数式，得
,解得
(3)设模拟函数为y=ab +c 时，将A,B,C 三点的坐标代入函数式，
由 ① , 得ab=1—c, 代入②③,得
, 解 .则
·所以有关系式y= -0.8×0.5×+1.4.
·结论为：当把x=4 代入得y=-0.8×0.5 +1.4=1.35.
·比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的 实际，如：增产的趋势和可能性.经过筛选，以指数函数模拟为最佳， 一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高， 一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备， 产量必然趋于稳定，而指数函数模型恰好反映了这种趋势.
·因此选用指数函数y=-0.8×0.5×+1.4 模拟比较接近客观实际.
·[归纳提升] 本题是对数据进行函数模拟，选择最符合客观实际的模拟 函数.一般思路为：先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适 当的几种函数模型后，再加以验证.函数模型的建立是最大的难点，另 外运算量较大，须借助计算器或计算机进行数据处理，函数模型的可靠 性与合理性既需要数据检验，又必须符合实际.
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
演示完毕
谢谢欣赏