人教A版高中数学必修第一册 同角三角函数的基本关系 课件(2)(共35张PPT)

(共34张PPT)
人教2019版必修第一册
第五章三角函数
5.2.2同角三角函数的基本关系
课程目标
1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及 应用.
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、 求值与恒等式证明.
数学学科素养
1.数学抽象：理解同角三角函数基本关系式；
2.逻辑推理： “sin α±cos α” 同 “sin acos α” 间的关 系；
3.数学运算：利用同角三角函数的基本关系式进行化 简、求值与恒等式证明.
自主预习，回答问题
阅读课本182-183页，思考并完成以下问题
1. 同角三角函数的基本关系式有哪两种
2. 同角三角函数的基本关系式适合任意角吗
·要求： 学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
知识清单
同角三角函数的基本关系
(1)平方关系： sin a+cos α= 1 .
商数关系：
(2)语言叙述：同一个角a 的正弦、余弦的平方和_ 等 于 1 ,商 等
于角α的正切.
思考： “ 同角”一词的含义是什么
[提示] 一是“角相同”,如sin a+cos β=1就不一定成立.二
是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下),关系式都成立，即与 角的表达式形式无关，如sin 15°+cos 15°=1,
小试牛刀
1.判断(正确的打“ √ ”,错误的打“”.)
(1)对任意角a,sin 3a+cos 3a=1 都成立 . ( )
(2)对任意角 都成立. ( )
(3)若 则 .( )
解 析： (1) √ .符合同角三角函数的关系.
(2)×.等式 的条件
即α≠π+2kπ,k∈Z.
(3)×.因为α的范围不明确，故
答案： (1) √ (2)×(3)×
2 . 化 的结果是( )
A. B.
C. D.
解析：
答案： A
3 . 若 且α是第二象限角，则tan a的值等于( )
A. B.
c.: D.
解 析 ： 且α是第二象限角，∴
答案： A
解析： 由 tan a=2知 cos a≠0,
所 1
答案： -5
4. 已 知tan a=2, 则
题型分析 举一反三
题型一应用同角三角函数关系求值
【例1】 (1)若 求 cos a,tan a的值；
(2)已知 求 sin a,tan a的值 .
解析：(1): ,a 是第三、第四象限角，
当α是第三象限角时，
a 是第四象限角时，
:
(2) ∵
∴α是第二或第三象限的角. 如果a 是第二象限角，那么
如果α是第三象限角，同理可得
事
(1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，
要注意公式的合理选择， 一般是先选用平方关系，再用商数关系.
(2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有
一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论， 一般有两组结
果 .
提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的
判断，确定所求值的符号.
解 题 方 法(利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法)
[跟踪训练一]
1. 已知sin a+3cos a=0,求 sin a,cos a的值.
解析： ∵sin a+3cos a=0,
∴.sin a=—3cos a.
又 sin a+cos a=1,
∴(-3cos a) +cos a=1,
∴角a 的终边在第二或第四象限.
当角α的终边在第二象限时，
当角a 的终边在第四象限时，
又由sin a=—3cos a,可知 sin a 与 cos a 异号，
即10cos a=1,
事
心
●
题型二三角函数式的化简、求值
【例2】 (1)化简：
(2)若角α是第二象限角，化简：
思路点拨：( 1)利用平方关系代换“1”
构造完全平方 于 化简求值
(2)切化弦 化简求值
第二象限角，所以sin a>0,cos a<0,
解析： (1)原式=
因为α是
解 题 方 法(化简三角函数式的常用方法)
(1)切化弦，即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而
减少函数种类以便化简.
(2)对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号
达到化简的目的
(3)对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”
的代换，以降低函数次数，达到化简目的.
提醒：在应用平方关系式求 sin a 或 cos a 时，其正负号是由角a
所在的象限决定，不可凭空想象.
[跟踪训练二]
1. 化简：
题型三三角函数式的证明
【例3】 求证：
证明：由cosx≠0, 知sinx≠-1, 所以1+sinx≠0, 于是
所以，原式成立.
解 题 方 法(三角函数式解题思路及解题技巧)
1. 证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边， 一般由繁
到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差， 作比法).
2.常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式
运算技巧的应用(分解因式).
3. 解决此类问题要有整体代换思想.
[跟踪训练三]
1. 求证：
∴原等式成立.
证 明 ：
题型四“sin a±cos α”同“sin acos α”间的关系
【例4】 已知 且0求：(1)sin acos a的值；
(2)求sin a—cos a的值.
又∵0.sin a>0,cos a<0,∴sin a—cos a>0,
解析：(1): ,∴
, 即
∴1+
重
解题方法( “sin a±cos a”同“sin acos a”间的关系)
(1)已知sin θ±cosθ求 sin θcos θ,只需平方便可.
(2)已知 sin θcosθ求 sin θ±cosθ时需开方，此时要根据已知角θ的范
围，确定sinθ±cosθ 的正负.
[跟踪训练四]
1.已知 ,a∈(0,π), 则tan a= .
解 析：法 一：(构建方程组)
因为 ,①
因为α∈(0,π),所以sin a>0,cos a<0.
由①②解得
所以
4
整理得60tan a+169tan a+60=0,解得
tan
法二：(弦化切)
同法一求出
知|sin a|>|cos a,故
a=
[跟踪训练四]
2.已知
,计算下列各式的值：
(2)sin a-2sin acos a+1.
解析： 由
化简得sin a=3cos a,
所以tan a=3.
(2)