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第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方 程.(重点)
1.通过椭圆标准方程及椭圆
焦点三角形的有关问题的学
2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆 的标准方程.(重点)
习,培养学生的数学运算素
养 .
3.理解椭圆标准方程的推导过程,并 能运用标准方程解决相关问题.(难 点 )
2.借助轨迹方程的学习,培
养学生的逻辑推理及直观想 象的核心素养.
情境引入·助学助教
2008年9月25日21时10分,“神舟七号”载人飞船顺利升空,
实现多人飞行和出舱活动,标志着我国航天事业又上了一个新台 阶.请问,“神舟七号”飞船的运行轨道是什么
下面请你固定两个图钉,拉一根无弹性的细绳,两端系在图钉上
(如图),用铅笔抵住细绳并上下左右转动,看铅笔留的轨迹是否是椭 圆
一 新知初探一
1. 椭圆的定义
把平面内与两个定点F ,F 的距离的和等于常数(大于F F I) 的
点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离 叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距.
数,其他条件不变,点的轨迹是什么
(2)椭圆定义中将“大于|F F l”改为“小于 F| F I”的常数,其他
条件不变,动点的轨迹是什么
[提示] (1)点的轨迹是线段F F .
(2)当距离之和小于|F F |时,动点的轨迹不存在.
思考:(1)椭圆定义中将“大于|F F l”改为“等于|F F l”的常
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
焦点
, c的关 系
2. 椭圆的标准方程
初试身手一
1. 思考辨析(正确的打“ √ ”,错误的打“×”)
(1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆.( )
(2)已知椭圆的焦点是 F ,F ,P 是椭圆上的一动点,如果延长
F P 到 Q, 使得 |PQ|=|PF |, 则动点Q 的轨迹为圆. ( )
(3)方 ,b>0) 表示的曲线是椭圆. ( )
[提示] (1)×(2) √ (3)×
2 . 设P 是椭圆
则|PF |+|PF | 等于( )
A.4
C.8
D [由椭圆方程知a =25,
B.5
D.10
则a=5,|PF |+|PF |=2a=10.]
上的点,若F ,F 是椭圆的两个焦点,
3. 椭圆的两个焦点坐标分别为 F (0,—8),F (0,8), 且椭圆上
一点到两个焦点的距离之和为20,则此椭圆的标准方程为( )
A.
C [由条件知,焦点在y 轴上,且a=10,c=8,
所以b =a —c =36,
所以椭圆的标准方程
范围是
(-6,一2)U(3,十一)[由a >a+6>0 得a>3 或-6
2.]
4 . 方 表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数a 的取值
【 例 1】 求满足下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别为F (一4,0),F (4,0), 并且椭圆上一点P
与两焦点的距离的和等于10;
(2)焦点坐标分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,3 √2);
(3)经过两点(2,一 √2),
类 型 1 求椭圆的标准方程
[解](1)因为椭圆的焦点在x 轴上,且c=4,2a=10, 所以a=5,
b=√a -c =√25- 16=3, 所以椭圆的标准方程
(2)因为椭圆的焦点在y 轴上,所以可设它的标准方程
1(a>b>0).
法一:由椭圆的定义知2a= √ (4-0) +(3√2+2) + √ (4-0) +(3 √2-2) =12,解得a=6.又c=2,所以b=√a -c =4√2.
所以椭圆的标准方程
法二:因为所求椭圆过点(4,3 √2),所
又c =a —b =4, 可解得a =36,b =32.
所以椭圆的标准方程
>0).由已知条件得
(3)法一:若焦点在x 轴上,设椭圆的标准方程
所以所求椭圆的标准方程
解
若焦点在y 轴上,设椭圆的标准方程
由已知条件得 解
则a b>0 矛盾,舍去.
综上可知,所求椭圆的标准方程
别将两点的坐标(2, - √2), 代入椭圆的一般方程,得
法二:设椭圆的一般方程为
分
所以所求椭圆的标准方程
解
用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤
(1)定位置:根据条件判断椭圆的焦点是在x 轴上,还是在y 轴上,
还是两个坐标轴都有可能.
(2)设方程:根据上述判断设方
b>0) 或整式形式mx +ny =1(m>0,n>0,m≠n).
● 规律方法
(3)找关系:根据已知条件建立关于 a,b,c (或m,n) 的方程组.
(4)得方程:解方程组,将解代入所设方程,写出标准形式即为
所求.
规律方法
准方程.
[解] 法一:因为所求椭圆与椭圆 的焦点相同,所以
其焦点在x 轴上,且c =25—9=16.
设所求椭圆的标准方程
[跟进训练]
1. 求与椭圆
有相同焦点,且过点(3, √ 15)的椭圆的标
因为c =16, 且c =a —b , 故a —b =16
又点(3, √ 15)在所求椭圆上,所!
由①②得a =36,b =20,
所以所求椭圆的标准方程
①.
②.
法二:由题意可设所求椭圆的标准方程
又椭圆过点(3, √ 15),将x=3,y=√ 15 代入方程
1,解得λ=11或λ=—21(舍去).
故所求椭圆的标准方程
类 型2 椭圆中的焦点三角形
【例2】 (1)已知椭[ 的左焦点是F , 右焦点是F , 点
P 在椭圆上,如果线段PF 的中点在y 轴上,那么|PF |:|PF I=( )
A.3:5 B.3:4
C.5:3 D.4:3
(2)已知椭 中,点P 是椭圆上一点,F ,F 是椭圆的
焦点,且∠PF F,=120°, 则△PF F, 的面积为
[思路探究] ( 1)借助PF 的中点在y 轴上,且O 为 F F 的中点,
所以PF ⊥x 轴,再用定义和勾股定理解决.
(2)利用椭圆的定义和余弦定理,建立关于|PF |,|PF |的方程,通
过解方程求解.
(1)C (2) [(1)依题意知,线段 PF 的中点在y 轴上,又
原点为F F 的中点,易得y 轴//PF , 所以PF ⊥x 轴,则有|PF 一
PF l =4c =16, 又根据椭圆定义知|PF |+|PF |=8, 所以|PF |-|PF
=2,
从而|PF |=5,|PF |=3, 即 |PF |:|PF |=5:3.
F F |=2c=2.
在△PF F 中,由余弦定理得 |PF = |PF +|F F — 2|PF |F F |cos ∠PF F ,即|PF =|PF +4+2|PF |. ①
由椭圆定义得|PF |+|PF |=2a=4. ②
由①②联立可得
可知a=2,b= √3,所以c= √a -b =1,从而
(2)由
椭圆定义在焦点三角形中的应用技巧
(1)椭圆的定义具有双向作用,即若|MF |+|MF |=2
则 点M 的轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点M 到两焦点的距离之
和必为2a.
(2)涉及焦点三角形面积时,可把|PF |,|PF | 看作一个整体,运用
PF +|PF l =(PF |+|PF |) —2|PF ||PF | 及余弦定理求出
|PF ||PF |,而无需单独求解.
●规 律 方 法
[ 母题探究]
1.本例(2)中,把“∠PF F =120°”改为“∠PF F =90°”,求
△F PF 的面积 .
[解]由椭圆方 知a=2,c=1,由椭圆定义,得
+PF |=2a=4,且F F |=2,在△PF F 中,∠PF F =90° .
.1
从而(4— +4,
则 因此 ·F F l
故所求△PF F 的面积为
2.本例(2)中方程改为 且“∠PF F =120°” 改为“∠F PF =120°”,若△PF F 的面积为 √ 3,求b的值. [解] 由∠F PF =120°,△PF F 的面积为 √ 3,可得
的定义可得 a.再利用余弦定理可得
.根据椭圆
)
=1.
[探究问题]
1. 用定义法求椭圆的方程应注意什么
[提示] 用定义法求椭圆的方程,首先要利用平面几何知识将题目
条件转化为到两定点的距离之和为定值,然后判断椭圆的中心是否在原 点、对称轴是否为坐标轴,最后由定义确定椭圆的基本量a,b,c.
类 型 3与椭圆有关的轨迹问题
上动点坐标为P(x ,y ).
(2)求关系式:用点 M 的坐标表示出点 P 的坐标,即得关系式
2.利用代入法求轨迹方程的步骤是什么
[提示] (1)设点:设所求轨迹上动点坐标为M(x,y), 已知曲线
(3)代换:将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的
方程,并把所得方程化简即可.
则线段OP中点Q 的轨迹方程为
(2)如图所示,圆C:(x+1) +y =25 及点A(1,0),Q 为圆上一点,
【例3】 (1)已知P 是椭圆 上一动点,O 为坐标原点,
AQ的垂直平分线交CQ于点M, 求 点M的轨迹方程.
[思路探究] ( 1)点Q 为 OP 的中点 → 点Q 与 点P 的坐标关系 →
代入法求解.
(2)由垂直平分线的性质和椭圆的定义进行求解.
[设Q(x,y),P(x ,yo), 由点Q 是线段OP 的中点
所!
知xo=2x,yo=2y,
即
(2)[解]由垂直平分线的性质可知|MQ|=|MA|,
∴|CM|+|MA|=|CM|+|MQ|=|CQ|,
∴|CM|+|MA|=5.
∴点M 的轨迹为椭圆,其中2a=5, 焦点为C(—1,0),A(1,0),
,c=1 ,
∴所求点M的轨迹方程
··
重
事
规律方法
1.与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有:直接法、定义法
和代入法,本例(1)所用方法为代入法,例(2)所用方法为定义法.
2. 对定义法求轨迹方程的认识
如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可以利
用这种已知曲线的定义直接写出其方程,这种求轨迹方程的方法称为 定义法.定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用,
是一种重要的解题方法.
规律方法
3.代入法(相关点法)
若所求轨迹上的动点 P(x,y) 与另一个已知曲线 C:F(x,y)=0
上的动点Q(x ,y ) 存在着某种联系,可以把点Q 的坐标用点P 的 坐
标表示出来,然后代入已知曲线C 的方程 F(x,y)=0, 化简即得所 求轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法).
2. 已 知x 轴上一定点A(1,0),Q 为椭圆 上任一点,求
线 段AQ 中 点M 的轨迹方程.
[跟进训练]
[解]设中点M 的坐标为(x,y), 点 Q 的坐标为(xo,yo).
利用中点坐标公式,
故所求AQ的中点M 的轨迹方程
将xo=2x—1,yo=2y 代入上式,
上,∴
∵Q(xo,yo)在椭
事
必备素养一
1.平面内到两定点 F ,F 的距离之和为常数,即|MF |+|MF |
=2a, 当 2a>|F F | 时,轨迹是椭圆;当2a=|F F | 时,轨迹是一条线 段F F ; 当 2a<|F F | 时,轨迹不存在.
2.由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标,或求参数的值(或取值
范围).
(1)求椭圆的焦点坐标时,若方程不为标准方程,应先将其化为
标准方程,确定 a ,b 的值和焦点所在的坐标轴,再利用关系式 a =b +c 求出c, 即可写出焦点坐标.
(2)已知方程求参数的值(或取值范围)时,需注意:对于方
当 m>n>0 时,方程表示焦点在x 轴上的椭圆;当n>m>0 时,方程表示焦点在y 轴上的椭圆.特别地,当 n=m>0 时,方程 表示圆心在原点的圆.若已知方程不是标准方程,需先进行转化.
3.椭圆上的点P 与两焦点F ,F 构成的三角形叫做焦点三角形,
在焦点三角形中,令∠F PF =θ, 如图 .
(1)当点P 与B 或B 重合时,∠F PF 最大.
(2)焦点△PF F 的周长为2(a+c).
(3)|F F I =|PF +|PF P -2|PF |PF |cos θ.
4 ,且当P 与B 或B 重合时,面积最
大.
4. 求与椭圆有关的轨迹方程的方法一般有:定义法、直接法和
代入法(相关点法).
1 . 椭 上一点P 到一个焦点的距离为2,则点P 到另
一个焦点的距离为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
D [根据椭圆的定义知,P 到另一个焦点的距离为2a—2=2×5
—2=8.]
学以致用一
B [椭圆方程可化为
=2.]
是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知椭圆4x +ky =4的一个焦点坐标是(0,1),则实数k的值
解析答案
由题意知
解得 k
3. 若 方 表示椭圆,则实数 m 满足的条件是
解得
m≠1.]
表 示 椭 圆 , 得
由 方 程
4.椭圆的两焦点为F (一4,0),F (4,0),点 P 在椭圆上,若△PF F
的面积最大为12,则椭圆方程为 ·
[如图,当P 在y 轴上时△PF F 的面积最大,
, ∴b=3.
又∵c=4,∴a =b +c =25.
∴椭圆的标准方程
··
设椭圆C 上 一 两焦点F ,F 的距离和等于4,写出椭圆
C 的方程和焦点坐标.
[解] ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4,
∴2a=4,a =4,
是椭圆上的一点,
5. 设 F ,F 分别是椭圆C: 的左、右焦点,
, ∴b =3,∴c =1,
∴椭圆C 的方程
焦点坐标分别为(一1,0),(1,0).
··