2.5 圆与圆的位置关系 课件(共26张PPT)-人教A版高中数学选择性必修第一册

(共26张PPT)
人教2019 A版选择性必修一
第二章 直线和圆的方程
2.5.2圆与圆的位置关系
1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.
2.能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系
3.能综合应用圆与圆的位置关系解决问题
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情景导学
日食是一种天文现象，在民间
称此现象为天狗食日。日食只在
月球与太阳呈现合的状态时发生。
日食分为日偏食、日全食、日环
食、全环食。
我们将月亮与太阳抽象为圆，观
察到的这些圆在变化的过程中位
置关系是怎样的
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前面我们运用直线的方程，圆的方程研究了直线与圆的位置
关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算 研究圆与圆的位置关系。
问题思考
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位置 关系 外离 外切 相交 内切
内含
图 示
d与 r ,r 的 关系 d>ritI d=r +r 1
圆与圆的位置关系的判定方法
1.几何法：
圆O : ,圆
两圆的圆心距
则有
探究新知
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高 考
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2.代数法：圆O :x +y +D x+E y+F =0(D +E -4F >0), 圆
O :x +y +D x+E y+F =0(D +E2-4F >0), 两圆的方程联立得方程 组，则有
方程组解的情况 2组 1组
0组
两圆的公共点 2个 1个
0个
两圆的位置关系 相交 外切或内切
外离或内含
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1.判断下列两圆的位置关系：
①(x+2) +(y-2) =1与(x-2) +(y-5) =16.
②x +y +6x-7=0与x +y +6y-27=0.
解：①根据题意得，两圆的半径分别为r =1和r =4,两圆的圆心距
因为d=r +r ,所以两圆外切.
②将两圆的方程化为标准方程，得(x+3) +y =16,x +(y+3) =36, 故两圆的半径分别为r =4和r =6.
两圆的圆心距
d=J[o-(-3)] +(-3-O) =3√Z,因为Ir1-r I例1 已知圆C :x +y -2ax-2y+a -15=0(a>0),圆C :x +y -4ax-2y+4a =0(a>0).试求a为何值
时，两圆C ,C 的位置关系为：
(1)相切；
(2)相交；
(3)外离；
(4)内含
典例解析
思路分析：求出圆心距，与两半径的和或差比较求出a的值.
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(1)当IC C I =r +r =5,即a=5时，两圆外切；
当IC C I=r -r =3,即a=3时，两圆内切.
(2)当3(3)当IC C I>5,即a>5 时，两圆外离.
(4)当IC C I<3,即0解：圆C ,C 的方程，经配方后可得 C :(x-a) +(y-1) =16,
C :(x-2a) +(y-1) =1,
∴圆心C (a,1),C (2a,1),半径r =4,r =1.
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判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：利用两圆半径的和或差与圆心距作比较，得到两圆的位置关系；
(2)代数法：把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，转化为方程组的解
的组数问题.
归纳总结
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跟踪训练 新教材 新
跟踪训练1若两圆x +y =a与x +y +6x-8y-11=0内切，则a的值为
解析：:x +y =a表示一个圆， .∴a>0.
两圆的圆心、半径长分别为(0,0), √a与(-3,4),6.
由于两圆内切，则
解得a=121 或a=1.
答 案：121或1
典例解析 新 教 材新
例2已知圆C :x +y +6x-4=0 和圆C :x +y +6y-28=0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0 上的圆的方程.
思路分析：(1)两圆方程相减求出公共弦所在直线方程，再根据半径、弦心距、 弦长的关系求出弦长.
(2)可求出两圆的交点坐标，结合圆心在直线x-y-4=0上求出圆心坐标与半径， 也可利用圆系方程求解.
解：(1)设两圆交点为A (x1,y ),B(x ,y ),则A,B 两点坐标是方程组
的解 .
①-②,得x-y+4=0.
A,B 两点坐标都满足此方程，
.x-y+4=0 即为两圆公共弦所在直线的方程.
又圆C 的圆心(-3,0),r= √ 13,
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即两圆的公共弦长为5 √2.
C 到直线AB的距离为
(2)(方法1)解方程
得两圆的交点A(-1,3),B(-6,-2).
设所求圆的圆心为(a,b),因圆心在直线x-y-4=0上，故b=a-4.
则
解得 故圆心为 ,半径为
故圆的方程为
即x +y -x+7y-32=0.
(方法2)设所求圆的方程为x +y +6x-4+λ(x +y +6y-28)=0(λ≠-1), 其圆心为 ,代入x-y-4=0,解得λ=-7.
故所求圆的方程为x +y -x+7y-32=0.
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相交弦及圆系方程问题的解决
1.求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦
所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求 解，否则应先调整系数.
2.求两圆公共弦长的方法： 一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求
解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的 一半构成的直角三角形求解.
3.已知圆C :x +y +D x+E y+F =0 与圆C :x +y +D x+E y+F =0 相交，则过两
圆交点的圆的方程可设为x +y +D x+E y+F +λ(x +y +D x+E y+F )=0(λ≠-1).
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归纳总结
解析：由题意知直线AB 与直线x-y+c=0 垂直， ∴kAB×1=-1.
即 ,得m=5,
.AB 的中点坐标为(3,1).
AB的中点在直线x-y+c=0上，
. ∴3-1+c=0,.c=-2,
.m+c=5-2=3.
跟踪训练1两圆相交于两点A(1,3)和B(m,-1),两圆圆心都在直线x-y+c=0上，则
值为
跟踪训练
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答案：3
的
典例解析
例 3求与圆x +y -2x=0外切且与直线x+ √3y=0相切于点M(3,-√3) 的圆的方程.
思路分析：设圆的方程，利用两圆外切和直线与圆相切建立方程组求得.
解：设所求圆的方程为(x-a) +(y-b) =r (r>0),
由题知所求圆与圆x +y -2x=0外切，
则
又所求圆过点M的切线为直线x+√3y=0,
故
解由①②③组成的方程组得a=4,b=0,r=2或a=0,b=-4 √3,r=6. 故所求圆的方程为(x-4) +y =4或x +(y+4 √3) =36.
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变式探究1将本例变为“求与圆x +y -2x=0外切，圆心在x轴上，且过
点(3,- √3)的圆的方程”,如何求
解：因为圆心在x轴上，
所以可设圆心坐标为(a,0),设半径为r,
则所求圆的方程为(x-a) +y =r ,
又因为与圆x +y -2x=0外切，且过点(3,-√3),
所以
解得
所以圆的方程为(x-4) +y =4.
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变式探究2将本例改为“若圆x +y -2x=0与圆x +y -8x-8y+m=0相外切”,试
求实数m的值.
解：圆x +y -2x=0的圆心为A(1,0),半径为r =1,
圆x +y -8x-8y+m=0的圆心为B(4,4),
半径为r = √32-m.因为两圆相外切，
所 以(4-1) +(4-0) =1+ √32-m,解得m=16.
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处理两圆相切问题的两个步骤
(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考
虑分两圆内切还是外切两种情况讨论.
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径
之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).
归纳总结 新教材
解析：圆x +y -1=0表示以O (0,0)点为圆心，以R =1 为半径的圆.
圆x +y -4x+2y-4=0表示以O (2,-1)点为圆心，以R =3为半径的圆
:10 O I=√5,
∴R -R <10 0 I∴圆x +y -1=0和圆x +y -4x+2y-4=0相交.
答案：B
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1.两圆x +y -1=0和x +y -4x+2y-4=0的位置关系是( )
A.内切 B. 相交 C.外切 D.外离
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考
2.圆C :x +y -12x-2y-13=0和圆C :x +y +12x+16y-25=0的公共弦所在的直
线方程是
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解析：两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为4x+3y-2=0.
答案：4x+3y-2=0
3.半径为6的圆与x轴相切，且与圆x +(y-3) =1内切，则此圆的方程为( )
A.(x-4) +(y-6) =16
B.(x±4) +(y-6) =16
C.(x-4) +(y-6) =36
D.(x±4) +(y-6) =36
解析：设所求圆心坐标为(a,b),则Ibl=6.由题意，得a +(b-3) =(6-1) =25.
若b=6,则a=±4;若b=-6,则a无解.故所求圆方程为(x±4) +(y-6) =36.
答案：D
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4.若圆C :x +y =4与圆C,:x +y -2ax+a -1=0内切，则a等于
解析：圆C 的圆心C (0,0),半径r =2.
圆C 可化为(x-a) +y =1,即圆心C (a,0),半径r =1,若两圆内切，需
IC C I=√a +0 =2-1=1. 解得a=±1.
答案：±1
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5.已知两个圆C :x +y =4,C :x +y -2x-4y+4=0,直线l:x+2y=0,求经过C 和C 的交点且和l相 切的圆的方程.
解：设所求圆的方程为x +y +4-2x-4y+λ(x +y -4)=0,即
(1+λ)x +(1+λ)y -2x-4y+4(1-λ)=0.所以圆心为
半径为
解得λ=±1,舍去λ=-1,圆x +y =4显然不符合题意，故所求圆的方程 为x +y -x-2y=0.
外离：
外切：
相交： T
内切：
内含：
圆与圆的位置关系： 圆O
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