4.2.1 指数函数的概念 课件(共29张PPT)-高一数学人教A版(2019)必修第一册

(共29张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.2 指数函数
4.2.1 指数函数的概念
新教材人教版高中必修第带册
数学
课标要求
1.了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念.
2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用.
素养要求
1.通过理解指数函数的概念和意义，发展数学抽象素养。 2.通过指数函数的实际应用，发展数学建模素养.
要求
目录
随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越
多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，A,B 两地景区自2001 年起采取了不同的应对措施，A 地提高了景区门票价格，而B 地则取消 了景区门票.表4.2-1给出了A,B 两地景区2001年至2015年的游客人
次以及逐年增加量.
情景引入
目录
时 间 / 年 A地景区 B地景区
人 次 / 万 次 年 增 加 量 / 万 次 人 次 / 万 次
年 增 加 量 / 万 次
2001 600 278
2002 609 9 309
31
2003 620 11 344
35
2004 631 11 383
39
2005 641 10 427
44
2006 650 9 475
48
2007 661 11 528
53
2008 671 10 588
60
2009 681 10 655
67
2010 691 10 729
74
2011 702 11 811
82
2012 711 9 903
92
2013 721 10 1005
102
2014 732 11 1118
113
2015 743 11 1244
126
情景引入
目 录
表4.2-1
观察图象和表格，可以发现，A 地景区的游客人次近似于直线上升(线性 增长),年增加量大致相等(约为10万次);B地景区的游客人次则是非 线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律
目 录 N
情景引入
·比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样 的变化规律
由表4.2-1描点画出图像，并用平滑的曲线连接起来见下图。
1 300
1 100
900
700
500 增加量→变化规律
300
时间/年 2001200320052007200201120132015 时间年
人次/万次
1 300
1100
900
700
500
300
20012003200520072009201120132015
人次万次
情景引入
·从相邻两年的游客人次的差可以看出规律，对B地 景区有其他运算发现游客人次的变化规律吗 .
实例1
增长率约为1.11-1=0.11,
是一个常数.
———指数增长
增长率→变化规律
目录
x 年后，游客人次是2001年的1.11×倍.
如果设经过x 年后的游客人次为2001年的y 倍，
那么y=1.11*(x∈[0,+oo)].… ……①
这是一个函数，其中指数x 是自变量.
目录
情景引入
·你能否用函数解析式刻画B地景区游客人次随时间 指数增长的变化规律
1年后，游客人次是2001年的1.11 倍；
2年后，游客人次是2001年的1.11 倍； 3年后，游客人次是2001年的1.11 倍；
同学们归纳猜想：
x 年后，游客人次是
2001年的多少倍
●
实例2
当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按
确定的比率衰减(称为衰减率),大约每经过5730 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”,按 照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之 间有怎样的关系
设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p, 如果把刚死亡
的生物体内碳14含量看成1个单位，那么
情景引入
2.05亿年前~1.45亿年前
目录
死亡5730年后，生物体内碳14含量为(1-p)5730;
根据已知条件， 从而
所以
设生物死亡年数为x, 死亡生物体内碳14含量为y, 那 么
y=(1-p)*,即 (x∈[0,+0o)].…………②
目录
死亡1年后，生物体内碳14含量为(1-p) ; 死亡2年后，生物体内碳14含量为(1-p) ; 死亡3年后，生物体内碳14含量为(1-p) ;
情景引入
>
②也是一个函数，指数x 是自变量， 是衰减率。
衰减率为常数的变化方式，称为指数衰减.因此，死亡生物体内碳14含
量呈指数衰减。
·比较上述两个实例，B地景区游客人次增长与碳14 衰减，它们所反映的变化规律有什么共同特征
从数据看，它们的变化率(增长率、衰减率)是常数.
都形如y=ax
底数a是不等于1的正常数 指数都是自变量
y=1.11*(x∈(0,+0)).… … …①
(x∈[0,+0o)].…………②
情景引入
目录
>
指数函数
一般地，函数y=a(a>0, 且 a≠1) 叫做指数函数(exponential function),
其中指数x 是自变量，定义域是R.
特别的：在指数函数中，当x ∈N 时，
y=a*(a>1) 还可以表示为y=(1+p)×,其中p(p>0) 表示增长率；
y=a(00) 表示衰减率.
因此指数函数是刻画呈指数增长或指数衰减变化规律的函数模型.
概念引入
目录
>
指数函数y=a(a >0, 且a≠1) 和幂函数y=xa有什么不同
指数函数和幂函数的区别：两者虽然都是幂的形式，但不同之处
在于指数函数的自变量在指数上，而幂函数的自变量在底数上.
指数函数y=a(a>0, 且 a≠1) 为什么规定a>0, 且 a≠1
如果a<0, 那么x 的取值将受到极大限制，如 、4
等等时，都是没有意义的。
y=2.3* y=5x+1 y=2x—1等等都不是指数函数。
概念的理解
目录
N
分析： 要求 f(0),f(1),f(-3) 的值，应先求出f(x)=a 的解析式，
即先求a 的值.
解
因为f(x)=a*, 且f(3)=π,
则a =π, 解得 事
例1已知指数函数f(x)=a(a>0, 且 a≠1), 且f(3)=π,
求f(0),f(1),f(-3) 的值。
巩固与练习(1)
所以，f(0)=m =1,
目录
9
规律方法
(1)求指数函数的解析式时， 一般采用待定系数法，即
先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中 的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概 念是解决这类问题的关键。
(2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解
巩固与练习(1)
目录
解：
(1)设经过x 年，游客给A,B 两地带来的收入分别为f(x)和g(x),
则f(x)=1150(10x+600),
g(x)=1000×278×1.11×.
目录
例2(1)在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元
门票之外的收入，A 地景区的门票价格为150元，比较这15年间A,B 两 地旅游收入变化情况.
巩固与练习(2)
当x=0 时 ，f(0)一 g(0)=412000.
当x≈10.22 时 ，f(10.22)≈g(10.22).
41.2
g(x)=0.1·278-1.11
x 4 5678910111213141516
巩固与练习(2)
(x)-g(x) (万)
x
2 5 67 8 101 1112131415
f(x) > g(x)g(x)-1(x)=41.20000
一 年 ≈10.22
f(x)=69.00000
g(x)=27.80000
67890123415
利用计算工具可得，
代入函数
近似计算
2345
168
147
126
105
84
y (fx )、g(x )(万)
fx)=0.115-(10-x+600)
63
42
2
新圾计 psnsato
目 录
返回
x=0.00
巩固与练习(2)
168 147 126 105 fx)=0.115-(10-x+600) 84 63 42 g(x)=0.1·278-1.11 2 x 12 4 5678910111213141516 (x)-g(x) (万) 41.2 0 2 3 5 67 8 101 1112131415
x
代入函数 x=0.00 近似计算 f(x) > g(x)g(x)-1(x)=41.20000
23456789101112345 下 一 年 210.22 返回
当x<10.22 时 ，f(x)>g(x)
当x>10.22 时 ，f(x)当x=14 时 ，g(14) 一f(14)≈347303.
结合图4.2-3可知：
y (( x)、g(x)(万)
目 录
这说明，在2001年，游客给A 地带来的收
入比B 地多412000万元；
随后10年，虽然f(x)>g(x),
但g(x)的增长速度大于f(x);
根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011
年2月某个时刻就有 f(x)=g(x),这时游客 给A 地带来的收入和B 地差不多；
此后，f(x)由于g(x)增长得越来越快，在2015年，B 地的收入已经 比A 地多347303万元了.
g(x)=0.1-278-1.11
567 85iizi 4is
f(x)≈g(x)
巩固与练习(2)
f(x)=0.115-(10x+600)
H
168
147
126
105
84
g(x)
63
42
21
d
y ( x) 、g(x)(万)
目录
1234
例2(2)在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内
碳14的含量衰减为原来的百分之几
解析
(2)设生物死亡x 年后，它体内碳14含量为h(x).
如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么
当x=10000 时，利用计算工具求得 事
所以，生物死亡10000年后，它体内碳14含量衰减为原来
的约30% .
目录
巩固与练习(2)
在实际问题中，经常会遇到类似于例2(1)的指数增长模型：
设原有量为N, 每次的增长率为p, 经 过x 次增长，该量增长到 y, 则y=N(1+p)×(x∈N).形如y=ka(k∈R, 且k≠0;a>0, 且 a≠1) 的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的
函数模型.
1.解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰 减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的 增长(衰减)率.
2. 主要解法用待定系数法，根据条件确定出解析式中的系 数后，利用指数运算解题.
目录
巩固与练习(2)
规律方法
训练(1)为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年
内减少了10%,如果按此规律，设2017年的耕地面积为m, 则2022 年的耕地面积为( )
解析
(1)设每年减少的百分率为a,
由 题 意 得 ， ( 1 -a) 0=1-10%=0.9,
则 1 -a=0.950
由2017年的耕地面积为m,
得2022年的耕地面积为(1-a) m=0.90m.
巩固与练习(2)
B.0.
A.(1—0.1250)m
C.0.9250m D.
目录
M
训练(2)某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌
的繁殖规律为y=10ekt, 其 中k 为常数，t 表示时间(单位：小时),y 表
示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为( )
A.640 B.1280 C.2560
解析
(2)依题意，2=ek,
则y=10ekt=10×2.
∴当t=7 时 ，y=10×2 =1280.
巩固与练习(2)
D.5120
目录
训练(3).已知函数y=f(x),x∈R, 且f(0)=3, 9
,n∈N*, 求 函 数y=f(x)的一个解析式.
分析：因为 ● 所以f(x)是一
;
个指数增长函数，且增长比为4。
解
由题意可知函数f(x)以4为增长比例呈指数增长，
又因为f(0)=3, 即初始量为3,
所以f(x)=3×4*.
巩固与练习(2)
目录
(1)y=ka*(k>0,a>0 且 a≠1), 当 a>1 时为指数增长型函数模型.
(2)y=ka*(k>0,a>0 且 a≠1), 当 0深化与思考
目录
思考辨析 判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号
内打“ √”,错误的打“×”.
(1)y=x*(x>0)是指数函数.(×)
提示 指数函数的底数是大于0且不等于1的常数，故(1)错.
是指数衰减型函数模型.( √ )
(3)若 f(x)=a*为指数函数，则a>1.(×)
提 示 当 0深化与思考
目录
1. 判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合
y=a(a>0 且 a≠1) 这一结构形式，即a 的系数是1,指数是x 且系数为1.
2.解决增长率问题时要准确把握变量的意义，并转化为函数
模型求解。
3. 解题误区：易忽视指数函数的底数a 的限制条件： a>0 且
a≠1.
小结
目录
1. 函 数 f(x)=a*(a>0且a≠1)对于任意实数x,y 都有( )
A.f(xy)=f(x)f(y) B.f(xy)=f(x)+f(y)
C.f(x+y)=f(x)f(y) D.f(x+y)=f(x)+f(y)
2. 已知 且a≠1)是指数函数，则a= .
3.有一种树栽植5年后可成材.在栽植后5年内，该种树的产量年增长率为 20%,如果不砍伐，从第6年到第10年，该种树的产量年增长率为10%,现 有两种砍伐方案：
甲方案：栽植5年后不砍伐，等到10年后砍伐.
乙方案：栽植5年后砍伐重栽，然后过5年再砍伐一次.
请计算后回答：10年内哪一个方案可以得到较多的木材
(参考数据：1.1 ≈1.61)
限时小练
简解答：[ 1 .
3.
2.
N
目录
课下作业
1、教科书115页练习1,3
2、115阅读与思考
目录
本节内容结束THANKS
目录
M