抚州市 2023—2024 学年度下学期学生学业发展水平测试
1．A
2. B 1+ 9 1+ 19
3.【答案】D
【分析】
分别计算出任选两门的种类数，再得出化学和地理都没有被选中的情况，即可得出结果.
【详解】依题意从从政治、地理、化学、生物 4门学科中任选 2门共有C24 = 6 种情况，
其中化学和地理都没有被选中共有C22 = 1 种，
因此化学和地理至少有一门被选中的概率是 = 1 1 = 5.
6 6
故选：D
4. 【答案】C
【分析】根据方差公式求出方差，再判断即可.
【详解】由分布列可得 ( ) = (1 ) + ( + 1) = + ，
故 ( ) = (1 )[ ( + )]2 + [ + 1 ( + )]2 = 2.
故选：C
5. 【答案】D
【分析】根据题意，设 = 2 + 3 ， = + 1 ，由 5 = 5 4， 10 = 10 9
即可求解结果．
【详解】因为 2 +3 ， 为等差数列，且 = ， +1
所以可设 = 2 + 3 ， = + 1 ，
则 5 = 5 4 = 65 44 = 21 ， 10 = 10 9 = 10 × 11 9 × 10 = 20 ，
∴ 5 = 21.
10 20
故选：D.
6.B【解析】因为 f x ln x x a 2 f x 1a R ，则 2x 2a，因为函数 f x 在区x
1
间 1, 上存在单调递增区间，则存在 x 1, ，使得 f (x) > 0，即 2x 2a 0，可x
a x 1 g x x 1 1得 ，设 ，因为函数 y x、 y 在 1, 上均为增函数，则函数
2x 2x 2x
g x 在 1, 上为增函数，
{#{QQABBYCEogggAJIAAQhCQQFoCAOQkBEACQgOhBAMMAIAgQFABAA=}#}
当 x 1时， g x g 1 1 1 1 ，故 a 1 min .故选 B.2 2 2
7. A因为 2023 = 1 + 2 + + 2022 + 2023，
所以 2023 + 2 = 1 + 2 + 2 + + 2022 + 2023 = 3 + 2 + + 2022 + 2023
= 4 + 3 + + 2022 + 2023 = = 2024 + 2023 = 2025，
所以 2023 + 1 = 2025，所以 2025 = + 1，
2 + 21 2 + 23 + + 22024 = 1 2 + 22 + 23 + + 22024 = 2 22 1 + 2 + 3 + + 2024
= 2 3 + 23 + + 22024 = = 2024 2025
所以 2024 2025 = ，所以 2024 = = ， 2025 +1
故选：A
8.C【解析】由 f (x) aex 1 ln x ln a 1移项得： aex 1 ln a ln x 1
即 eln a x 1 ln a ln x 1，两边同时加（x－1）得 eln a x 1 x ln a 1 ln x x
即 eln a x 1 x ln a 1 ln x eln x ，设 g(x) x ex，则 g (x) 1 ex 0，所以 g(x)单增
所以 ln a x 1 ln x，即 x ln x ln a 1 0，
设 h(x) x ln x ln a 1 1，则 h (x) 1 ，所以 h(x)在 (0,1)单减，在 (1, )单增，
x
所以 h(x)min h(1) ln a 1 0，所以 a 1 .故选 C.
9．BC
【分析】由已知结合导数与单调性及极值关系，函数性质检验各选项即可判断.
【详解】结合导函数图象可知，当 2 x 1时， f x 0， f (x)单调递减，
当 1 x 2时， f x 0， f (x)单调递增，
当 2 x 4时， f x 0， f (x)单调递减，
当 4 x 5时， f x 0， f (x)单调递增，
所以，函数的单调递减区间为 2, 1 ， 2,4 ，单调递增区间为 1, 2 ， 4,5 ，A错误，B
正确，
所以函数在 x= 1， x 4时取得极小值，在 x 2时，函数取得极大值，C正确；
因为无法确定 f ( 1)， f 2 ， f (4)的正负，从而无法确定函数的零点个数，D错误.
故选：BC
{#{QQABBYCEogggAJIAAQhCQQFoCAOQkBEACQgOhBAMMAIAgQFABAA=}#}
10．BC
【分析】根据互斥事件与对立事件的概念判断 A，根据正态分布的对称性求解概率判断 B，
根据条件概率及独立事件的概念判断 C，根据独立性检验的试验结果判断 D.
【详解】对于 A，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故 A错误；
对于 B 2，因为 X N 1, ，所以正态曲线的对称轴为 x 1，则
P 0 X 1 P 1 X 2 0.5 P X 2 0.3，故 B正确；
P MN
对于 C，因为 P M N P M 1，所以 P M N 1 P M ，即 P M P N ，
则 P MN P M P N ，则事件 M，N相互独立，故 C正确；
对于 D，因为3.712 3.841，所以不能根据 0.05 3.841作出 D中的判断，故 D错误；
故选：BC
11．BD
【分析】
求导后，结合 f x 正负可得 f x 单调性；利用零点存在定理可说明 f x 零点个数，知 A
错误；根据极值定义可知 B正确；采用数形结合的方式可求得 CD正误.
x2 x 2 x 2 x 1
【详解】 f x 定义域为R ， f x x x ，e e
当 x , 1 2, 时， f x 0；当 x 1,2 时， f x 0；
f x 在 , 1 ， 2, 上单调递减，在 1,2 上单调递增；
对于 A， f 1 e 0， f 2 5 2 0， f 2 e
2 0，
e
f x 在区间 2, 1 和 1,2 内各存在一个零点；
当 x 2时， x2 x 1 0， ex 0， f x 0恒成立；
f x 有且仅有两个不同的零点，A错误；
5
对于 B，由 f x 单调性可知： f x 的极小值为 f 1 e，极大值为 f 2 2 ，B正确；e
对于 C， f 2 5 2 ， 作出 f x
5
图象如下图所示，可知方程 f x 2 存在另一个解 xe e 0，
{#{QQABBYCEogggAJIAAQhCQQFoCAOQkBEACQgOhBAMMAIAgQFABAA=}#}
若当 x t, 时， f x 5 2 ，则 t max x , 2 ，C错误；e 0
对于 D，方程 f x k有两个实根等价于 f x 与 y k有两个不同交点，
作出 f x 图象如下图所示，
结合图象可知： k e,0 5 2 ，D正确. e
故选：BD.
12． 2
9
13． /0.9
10
【分析】
借助条件概率公式计算即可得.
【详解】设其周末晚间去吃火锅的概率为 P A ，下午去逛街的概率为 P B ，
P A = 3 + 2 1 = 2 3则 ， P AB = 1= 3，
5 5 6 3 5 5
3
P AB 则 P B A = 9 5
P A 2 .10
3
9
故答案为： .
10
14. 【答案】 2
【分析】先求出 , 到直线 = 0 ( ) 2的距离 = ，则 ≥ = ( ) ，
2 2
再利用导数求出函数 = 的最小值，即可得解.
{#{QQABBYCEogggAJIAAQhCQQFoCAOQkBEACQgOhBAMMAIAgQFABAA=}#}
【详解】
点 , 到直线 = 0 的距离 = ( ) ，
2
则 ≥ = 2 ( ) ，
2
又 ( ) = + e ln(e + 1) = (e + 1) ln(e + 1) + 1，
由 > 0知， = e 和 = 在 R上单调递增，
所以 = + e 1在 R上单调递增，其值域为 R，
又 + e 1 > 0，令 = e + 1( > 0)，
令 ( ) = ln + 1, '( ) = 1 1 = 1 > 0 ，
当 0 < < 1时， ' < 0，当 > 1 时， ' > 0，
所以函数 在 0,1 上单调递减，在 1, + ∞ 上单调递增，
所以 ( )min = (1) = 2，
所以 ≥ = 2 ( ) ≥ 2，
2
因为对任意的 > 0，都有 ≥ 恒成立，所以 ≤ 2，
所以实数 的最大值为 2.
故答案为： 2.
15．【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，
由题意，得 1 1 + 4 = 1 + 2
解得 = 2 1 = 2 或 = 0（舍）
∴ = 1 + 2 1 = 2 1；
（2） = 2 1， = 2 1 2 ，
此时 = 1 × 21 + 3 × 22 + 5 × 23 + . . . + 2 1 2 ；
2 = 1 × 22 + 3 × 23 + . . . + 2 3 2 + 2 1 2 +1，
∴ = 1 × 21 + 2 × 22 + 2 × 23 + . . . + 2 × 2 2 1 2 +1，
= 2 + 8 1 + 2 + . . 2 2 2 1 2 +1，
= 3 2 2 +1 6，
所以 +1 = 2 3 2 + 6.
1
16. (1)单调递增区间为 , 1 ， , 3 ；
{#{QQABBYCEogggAJIAAQhCQQFoCAOQkBEACQgOhBAMMAIAgQFABAA=}#}
m 22(2) ,11
27
【详解】（1） f x x3 x2 x 1的定义域为 R，
f x 3x2 2x 1 x 1 3x 1 ，
x , 1 1 1当 , 3 时，
f (x) > 0； x 1, 时， f x 0；
3
故 f x 单调增区间为 , 1 1 ， ,
3
；
1, 1 1f x , 2 （2）由（1）知，函数 在区间 3
， 上单调递增，
3
1, 1 在区间 3
上单调递减，
1 22
∵， f ， f 1 2， f 2 11，
3 27
故函数 f x 在区间 1,2 上的最大值为 11，最小值为 22，
27
f x 22 ,11 ∴ ，
27
m 22 ,11 ∴ 27
.
17. 【详解】（1）因为 = + 1 1， ≥ 2
∴ = 1 ，且 1 = 1，
+1 2
∴ 数列 是以每一项均为 1的常数列，
+1
则 = 1，即 = + 1 ∈ N* ； +1
（2）由（1）得 = + 1，
∴ 1 = 1 < 1 = 1 1 ，
2 +1 2 +1 +1
{#{QQABBYCEogggAJIAAQhCQQFoCAOQkBEACQgOhBAMMAIAgQFABAA=}#}
1 1 1 1 1 1 1
∴ < 1 + + + + 2 2 3 3 4 + 1
= 1 1 < 1.
+1
18. 【详解】（1）因为 ~ (45,225)，所以 = 15，
则 ( ≥ 60) = ( ≥ + ) = 1 0.6827 = 0.15865，
2
所以现场年龄不低于 60岁的人数大约为 1000 × 0.15865 ≈ 159(人)．
（2）依题意可得， ( ) = C 200.4 × 0.620 ，
( ) ≥ ( + 1)
设 ( ) ≥ ( 1)，
C 200.4 × 0.620 ≥ C +10.4 +1 × 0.619 所以 20
C
，
200.4 × 0.620 ≥ C 120 0.4 1 × 0.621
20 0.4 ≤ 1,
所以 +1 0.621 0.4 ≥ 1,
0.6
37
所以 ≤ ≤ 42，因 为整数，所以 = 8，
5 5
所以当 P 取得最大值时 的值为 8．
19. 【详解】（1）由 ( ) = e 1，得 '( ) = e ．
又 '(0) = 1 = 1，所以 = 2．所以 ( ) = e 2 1， '( ) = e 2．
由 '( ) = e 2 > 0，得 > ln2．
所以函数 ( )的单调递减区间为( ∞, ln2)，单调递增区间为(ln2, + ∞).
（2）证明：由（1）知 ( )min = (ln2) = eln2 2ln2 1 = 1 ln4．
所以 ( ) ≥ 1 ln4，即e 2 1 ≥ 1 ln4，所以e 2 ≥ 2 ln4 > 0．
令 ( ) = e 2 1，则 '( ) = e 2 > 0．
所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增，所以 ( ) = e 2 1 > (0) = 0，
即e > 2 + 1．
（3）首先证明：当 > 0 1时，恒有e > 3．
3
1
证明如下：令 ( ) = e 3，则 '( ) = e 2．
3
由（2）知，当 > 0 时，e > 2，所以 ( ) > 0，所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) > (0) = 1 > 0，所以e > 1 3．
3
{#{QQABBYCEogggAJIAAQhCQQFoCAOQkBEACQgOhBAMMAIAgQFABAA=}#}
> ln( 1所以 3)，即 + ln3 > 3ln ．
3
依次取 = 2 , 3 , , +1，代入上式，则
1 2
2 + ln3 > 3ln 2，
1 1
3 + ln3 > 3ln 3，
2 2
……
+1 + ln3 > 3ln +1．
2 3
以上各式相加，有 + + + +1 + ln3 > 3ln( 2 × 3 × × +1 )
1 2 1 2
所以 + (1 + 1 + 1 + + 1 ) + ln3 > 3ln( + 1)，
2 3
1 + 1 + 1 + + 1
3
所以 > 3ln( + 1) ln3 1 1 1，即 1 + + + + > ln ( +1) .
2 3 2 3 3 e
{#{QQABBYCEogggAJIAAQhCQQFoCAOQkBEACQgOhBAMMAIAgQFABAA=}#}抚州市2023一2024学年度下学期学生学业质量监测
高二数学试题卷
说明：1.本卷共有4大题，19个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟.
2.本卷分为试题卷和答题卡，答策要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则
不给分，
3.所有考试结束3天后，考生可凭准考证号登录智学网(nw.)查询考
试成绩，密码与准考证号相同，
一、
单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，仅有一项符
合题目要求，
1.已知函数/()-，则im2+)-2等于()
1
A
B.
C.
D.
4
4
2
.4
2.在数列{an}中，若a1=1,am1=
2-an
，则a2024=
4
A.-2
B.4
c.1
D.
3
3.
2024年是安徽省实施“3+2+1”选科方案后的第一年新高考，该方案中的“2"指的是从政
治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么化学
和地理至少有一门被选中的概率是（)
A.
1
D
6
4.设0
随机变量X的分布列是()
X
n
n+1
p1-a a
则方差D(X)()
A.既与n有关，也与a有关
”
B.与n有关，但与a无关
C.与a有关，但与n无关
D.既与n无关，也与a无关
5.已知等差数列{，}与色}的前n项和分别为3，T,且兰=
2n+3
a+a
n+1,则
+
之的值为()
A吕
13
B.
21
C.
D.
21
1
22
20
6.已知函数f(x)=lnx-(x-a'(aeR)在区间1，+o)上存在单调递增区间，则实数a的取值
范围是()
高二数学试卷第1页，共4页
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A[3*o）B.(侵
·C.[1,+o∞)
D.(（1,+o)
7.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5，
8,13,….其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组
成的数列{an}称为“斐波那契数列：记Sn为“斐波那契数列{a}的前n项和，若S=a,
a+a+a时+…+a3o24=b,则a4=.（,）
A.
b
B.
b-1
b
b+1
C.
D.
a+1
a+1
2a+1
2a+1
8.已知函数f(x)=ae--lnx+lna,若f(x)≥1，则a的取值范围是
A.(-o,1]
、B(0,1]
C.[1,+)
D.(1,+o)
二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分.
9.函数y=f(x),x∈[-2,5]的导函数图象如图所示，下列结论中一定正确的是()
A.f(x)的减区间是[1,3]
今g要6
B.f(x)的增区间是[-1,2][4,5]
C.∫(x)有一个极大值点，两个极小值点
D.f(x)有三个零点
10.下列说法正确的是（)
A.互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
B.若X-N(1,o2),P(X≥2)=0.2，则P(0C.已知0立
D.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到x2=3.712,依据a=0.05的
独立性检验(xos=3.841),可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05
1.已知函数∫(x)=+x-1,则下列结论正确的是()
er
高二数学试卷第2页共4页
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