眉山市22级高二下学期县级高中校期末联考
数学参考答案
1．A
【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程.
【详解】由直线的倾斜角为知，直线的斜率，
因此，其直线方程为，即.
故选：A
2．C
【分析】利用下标和性质求得，然后由等差数列求和公式和下标和性质可解.
【详解】根据等差数列下标和性质可知，得，
所以．
3．C
【分析】根据求出和，得到答案.
【详解】当时，，解得，
当时，，
故，
故.
4．D
【分析】运用点差法，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解判断即可.
【详解】设该弦为， 设，
则有，两式相减，得，
因为双曲线C的一条弦的中点为，
所以，
因此由，
即这条弦所在直线的斜率为，方程为，
代入双曲线方程中，得，
因为，
所以该弦存在，
故选：D
5．C
6．A
【分析】根据题意以SA，SB，SC为棱构造长方体，建系，利用空间向量求点到面的距离.
【详解】因为三棱锥的三条侧棱SA，SB，SC两两相互垂直，且，，，
以SA，SB，SC为棱构造长方体，则，解得，
如图，以A为原点，AE为x轴，AG为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
可知球心O是SF的中点，则，
可得，，.
设平面ABC的法向量，则，
令，则，可得，
所以球心O到平面ABC的距离为.
7．B
【分析】分别求出O、A、P坐标，利用四点共圆可以得到，解方程即可.
【详解】如图所示，，，，所以，，
因为O、A、P、B四点共圆，所以，
所以，将代入得，，
由解得，，代入椭圆方程，
所以，整理得，所以，所以.
8．D
【分析】在直线上任意一点，作，设，，根据得出和的关系，再由模长公式得出与的关系，再求最值即可.
【详解】设为直线上任意一点，过作，垂足为，可知此时到直线距离最短，
设，，
，
，因为，所以，
即，所以，即，
所以，
所以，
所以当时，取得最小值，所以直线与的距离为.
9．ABD
【分析】根据事件发生的随机性，即可判断正误.
【详解】概率反映的是随机性的规律，但每次试验出现的结果具有不确定性，因此A、B、D错误；抛掷均匀塑料圆板出现正面与反面的概率相等，是公平的，因此C正确.
故选：ABD.
10．BC
【分析】结合椭圆和双曲线的定义即可求解.
【详解】设焦距为，椭圆的长轴长为，短轴长为，
双曲线的长轴长为，短轴长为，
则在中，，
根据对称性，设椭圆与双曲线的交点在第二象限，
由双曲线的定义知：，
由椭圆的定义知：，
则，
又，，
则，则，又，解得，
则，A错误；，B正确；，
C正确；，D错误.
故选：BC
11．ABD
【分析】利用空间向量数量积的运算律求解选项A；利用空间向量的坐标运算求线面夹角的正弦值求解选项B；利用空间向量的数量积的坐标运算以及投影向量的概念求解选项C；利用点到平面的距离公式求解.
【详解】
对A，如图，，所以
，所以，A正确；
对B，如图，连接交点为，再连接，
因为，所以均为边长为1的正三角形，
又因为，，所以，
所以，且，
所以，所以，
又因为，所以，
且平面，所以平面，
所以以为轴，建立如图所示坐标系，
则，
又因为平面，所以为平面的一个法向量，
设与平面所成角为，
所以与平面所成角的正弦值，B正确；
对C，，
所以在上的投影向量为，C错误；
对D，连接，，
所以，则，
所以点到直线的距离为，
因为，所以直线与之间的距离为，D正确.
故选：ABD.
12．BC
【分析】A选项，根据两双曲线共渐近线设出双曲线方程，代入点运算得解判断；B选项，运用点差法求得直线的斜率，即可得出直线方程可判断；C选项，设，将直线代入双曲线E方程，由，解得斜代回可得直线的方程；D选项，设出点，类比C选项，求出直线的方程，设出点代入直线，的方程比较可得直线的方程，从而得解.
【详解】因为双曲线与双曲线共渐近线，
所以可设双曲线的方程为，又双曲线过点，
所以，即，所以双曲线的标准方程是，故A错误；
设，，由，在双曲线上，得两式相减，
得，即，
又的中点为，所以，，所以，
直线的方程为，即，故B正确；
设直线，代入曲线E的方程得，，令，得
，解得，则切线方程为，
即直线的方程为，故C正确；
设，由选项C同理可得直线的方程为，由点在直线上运动，可设，
因为点在与上，所以，因此直线的方程为，
即，令，解得，
所以直线恒过点，故D错误．
故选：BC．
13．3
【解析】由结合的坐标，列出方程求出m的值．
【详解】由，可得，解得
故答案为：
【点睛】本题考查直线的斜率，考查学生计算能力，属于基础题．
14．
【分析】根据求出首项、第二项，从而得出公比，从而求出数列的通项公式.
【详解】解：当时，，
当时，，
即得到，
公比，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查了等比数列的定义、通项公式、前项的和等知识，解题的关键是熟练掌握基础知识.
15．
【分析】根据直线与单位圆相切、列方程，求得，从而求得椭圆的离心率.
【详解】椭圆，焦距为c,以椭圆短轴为直径的圆为，圆心为原点，半径为.
由于过焦点F的弦AB与以椭圆短轴为直径的圆相切，
所以直线与轴不平行，设直线的方程为，
原点到直线的距离为①，
由消去并化简得，
，设，
则，所以
，，
由于，所以，
解得（负根舍去），则，
所以椭圆的离心率为.
16．
【分析】由已知边长为1的正方形沿对角线折成直二面角后，，在翻折后的图形中，取的中点，连接，证明平面，可得，则 ，由向量数量积的运算公式，即可得出答案.
【详解】解：由题意，翻折后，，
在翻折后的图形中，取的中点，连接，则
则，
所以即为二面角的平面角，所以，即，
所以，
又因，所以平面，因为平面，所以，
则 ，
所以.
故答案为：.
17．(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意结合点到直线的距离公式求圆的半径，即可得圆的方程；
（2）先求圆心到直线l的距离，在结合点到直线的距离公式求直线l的斜率，注意讨论直线l的斜率是否存在.
【详解】（1）点到直线：的距离为，
即圆A的圆心，半径，故圆A的方程为.
（2）设圆心到直线l的距离为，则，解得，
当直线l的斜率不存在时，则，此时圆心到直线l的距离为，符合题意，成立；
当直线l的斜率存在时，设为，则，即，
∵，解得，
∴直线l：；
综上所述：直线l的方程为或.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据“3＋1＋2”考试模式为3门必考＋1门首选＋2门再选，得到基本事件的总数，再由甲所选组合恰好是原“3＋3”考试模式有2种，利用古典概型的概率求解；
（2）由甲同学不选政治，则从物理、历史中选1门，从地理、化学、生物中选2门得到基本事件数，同理得到乙同学不选化学的基本事件数，从而得到甲同学不选政治，乙同学不选化学基本事件数，再由甲乙两位同学选择了同一种组合2种，利用古典概型的概率求解.
【详解】（1）解：因为“3＋1＋2”考试模式为3门必考＋1门首选＋2门再选．
则语文、数学、外语3科不用选，从物理、历史中选1门有物理、历史2种，
从政治、地理、化学、生物中选2门有（政治、地理）、（政治、化学）、（政治、生物）、（地理、化学）、（地理、生物）、（化学、生物）共6种，
则共有种，
甲所选组合恰好是原“3＋3”考试模式有（物，化，生）、（政，史，地）共2种，
所以甲所选组合恰好是原“3＋3”考试模式的概率为；
（2）因为甲同学不选政治，则从物理、历史中选1门有物理、历史2种，
，
从地理、化学、生物中选2门有（地理、化学）、（地理、生物）、（化学、生物）3种，共有种；
同理乙同学不选化学，共有种；
所以甲同学不选政治，乙同学不选化学有种；
甲乙两位同学选择了同一种组合有（物理、地理、生物），（历史、地理、生物）2种，
所以甲乙两位同学最终选择了同一种组合的概率．
19．(1)证明过程见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而证明出面面垂直；（2）找到即为PD与平面PAB所成角，再利用边长求出余弦值；（3）作出辅助线，构造平行四边形，用相似知识进行求解.
【详解】（1）因为，，所以AD⊥AB，因为平面平面ABCD，交线为AB，所以AD⊥平面PAB，又因为平面ADP，所以平面平面ABP；
（2）由（1）知：AD⊥平面PAB，所以即为PD与平面PAB所成角，由勾股定理得：，所以
（3）过点E作EF∥AD交PD于点F，连接CF，
因为平面PCD，平面BCFE平面PCD=CF，所以BE∥CF，因为，所以EF∥BC，所以四边形BCFE是平行四边形，所以BC=EF=2，故.
20．【详解】（1）设，且，
则．
（2）由（1）知抛物线，焦点，直线，．
联立，得，
设，
则，
．
21．（1），；（2）.
【分析】（1）分别选条件①，选条件②，选条件③根据等差数列和等比数列基本量的运算，直接求解即可；
（2）等差等比数列乘积的数列可以利用错位相减法求数列和.
【详解】（1）设的公差为
选条件①：
，
或，，所以
，
选条件②：，
，即解得：，
，
选条件③：的前项和是，即
解得：．
，
设的公比为，，，，
（2）
．
22．【详解】（1）由题意知 解得，，，
所以E的方程为．
（2）显然直线AP的斜率存在，设直线AP的斜率为k，则直线AP的方程为，
又直线BC的方程为，由，解得，，
即．
由得，解得或，
当时，，即，
所以直线CP的斜率，
所以直线CP的方程为，令，得，即．
所以直线MN的斜率，
所以直线MN的方程为，
即，所以直线MN过定点．眉山市22级高二下学期县级高中校期末联考
数学试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分。第Ⅰ卷（选择题）第1页，第Ⅱ卷（非选择题）第2页，共2页；满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号写在答题卡上；
选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试卷上，非选择题部分用0.5mm的黑色签字笔在答题卡相应位置作答！
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、单选题
1．经过点，且倾斜角为的直线的一般式方程为（ ）
A．B． C． D．
2．已知等差数列的前n项和为，，则（ ）
A．60 B．120 C．180 D．240
3．已知数列的前项和，则（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
4．已知双曲线C：，若双曲线C的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．
5．同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用表示红色骰子的点数，表示绿色骰子的点数，设事件“”，事件“为奇数”，事件“”，则下列结论正确的是（ ）
A．A与对立 B． C．A与相互独立 D．与相互独立
6．设三棱锥的三条侧棱SA，SB，SC两两相互垂直，，，，其顶点都在球O的球面上，则球心O到平面ABC的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系xOy中，椭圆和抛物线交于点A，B，点P为椭圆的右顶点.若O、A、P、B四点共圆，则椭圆离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与的距离为（ ）
A．1 B． C． D．
二 多选题（全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．下列说法中错误的是（ ）
A．抛掷硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上
B．如果某种彩票的中奖概率为，那么买10张这种彩票一定能中奖
C．在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做公平
D．一个骰子掷一次得到点数2的概率是，这说明一个骰子掷6次会出现一次点数2
10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为，且，双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点．若，则（ ）
A． B． C． D．
11．平行六面体的棱长都为1，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．与平面所成角的正弦值为
C．在上的投影向量为 D．直线与之间的距离为
12．已知双曲线过点且与双曲线共渐近线，直线与双曲线交于，两点，分别过点，且与双曲线相切的两条直线交于点，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的标准方程是
B．若的中点为，则直线的方程为
C．若点的坐标为，则直线的方程为
D．若点在直线上运动，则直线恒过点
第Ⅱ卷（选择题共90分）
三、填空题（每题5分，共计20分）
13．若过点A(m，4)与点B(1，m)的直线与直线x-2y+4=0平行，则m的值为 .
14．已知等比数列的前项和，则数列的通项公式是 .
15．已知椭圆的一个焦点为F，若过焦点F的弦AB与以椭圆短轴为直径的圆相切，且，则该椭圆的离心率为 .
16．将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足，则的值为 ．
三、解答题（6个大题，共计70分）
17．（10分）在递增的等比数列中，，，其中.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
18．（12分）已知以点为圆心的圆与直线：相切，过点的动直线l与圆A相交于、两点.
(1)求圆A的方程；
(2)当时，求直线l的方程.
19．（12分）为建立中国特色现代教育考试招生制度，形成分类考试、综合评价、多元录取的考试招生模式，健全促进公平、科学选才、监督有力的体制机制，构建衔接沟通各级各类教育、认可多种学习成果的终身学习“立交桥”，江西省进行高考改革，2021级高一学生高考不再采用“3＋3”考试模式（即理科学生考语，数，外，物，化，生；文科学生考语，数，外，政，史，地）；而改革为“3＋1＋2”考试模式，“3＋1＋2”考试模式为3门必考＋1门首选＋2门再选．即“3”统一高考科目语文、数学、外语3科（不分文理科）；“1”普通高中学业水平考试选择性考试物理、历史2门首选科目中所选择的1门科目，“2”政治、地理、化学、生物4门中选择的2门科目．
(1)若甲同学随机选择任何学科，且相互没有影响，求：他选择的组合恰好是原“3＋3”考试模式的概率；
(2)若甲同学不选政治，乙同学不选化学，求：甲乙两位同学最终选择了同一种组合的概率．
20．（12分）已知为抛物线上一点，点到抛物线的焦点的距离为12，点到轴的距离为9．
(1)求的值；
(2)若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点．求线段的长．
21．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，，，，，.
(1)证明：平面平面ABP；
(2)求PD与平面PAB所成角的余弦值；
(3)若点E在棱PA上，且平面PCD，求的值.
22．（12分）已知椭圆E：的离心率为，上、下顶点分别为A，B，右顶点为C，且的面积为6．
(1)求E的方程；
(2)若点P为E上异于顶点的一点，直线是AP与BC交于点M，直线CP交y轴于点N，试判断直线MN是否过定点 若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
