2023-2024学年北京市中国人民大学附中高二（下）统练数学试卷（三）（含答案）

2023-2024学年北京市中国人民大学附中高二（下）统练数学试卷（三）
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在二项式的展开式中，的系数是( )
A. B. C. D.
2.对于一个自然数，如果从左往右，每一位上的数字依次增大，则称自然数是“渐升数”，那么三位数的“浙升数”共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.某校组织社会实践活动，将参加活动的名老师与名同学分成三组，每组名老师与名同学，不一样的分法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.第届夏季奥林匹克运动会预计年月日至月日在法国巴黎举办假设这届奥运会将新增个竞赛项目和个表演项目，现有三个场地，，承办这个新增项目的比赛，每个场地至少承办其中一个项目，且场地只能承办竞赛项目，则不同的安排方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.已知等差数列的前项和为，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知是数列的前项和，，，则( )
A. B. C. D.
7.此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是，那么这一刻，你答对题目的概率为( )
A. B. C. D.
8.如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角形中的换成得到的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
9.( )
A. B. C. D.
10.设，则等于( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.设，若，且，则 ______．
12.今天是星期四，经过天后还是星期四，那么经过天后是星期______．
13.在红楼梦中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有______种
14.箱子中装有个大小相同的小球，其中个红球、个白球，从中随机抽出个球，在已知抽到红球的条件下，个球都是红球的概率为______．
15.在一个抽奖游戏中，主持人从编号为，，且外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择现在已知甲选择了号箱，若用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，则 ______．
三、解答题：本题共3小题，共35分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知，其中，，，，．
且展开式中仅有第项二项式系数最大．
求值及二项式系数最大项；
求的值用数值作答．
17.本小题分
某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如表所示．
场上位置 边锋 前卫 中场
出场率
球队胜率
当甲出场比赛时，求球队赢球的概率；
当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率；
如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置？请说明安排理由．
18.本小题分
数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为，如果一个数列的阶差数列是等比数列，则称数列为阶等比数列
已知数列满足，．
(ⅰ)求，，；
(ⅱ)证明：是一阶等比数列；
已知数列为二阶等比数列，其前项分别为，求及满足为整数的所有值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.五
13.
14.
15.
16.解：因为展开式中仅有第项二项式系数最大，
即仅有最大，所以，
所以；
令，得，
令，得．
两式相加可得．
17.解：设表示“甲球员担当边锋”，表示“甲球员担当前卫”，表示“甲球员担当中场”，表示“球队赢了某场比赛”，
则
，
球队某场比赛赢球的概率为．
由知，
，
球员甲担当前卫的概率．
同，
，
由于，
应多安排甲球员担任前卫，来增大赢球的几率．
18.解：由，易得，，，
由一阶等差数列的定义得：，，．
证明：(ⅱ)因为，所以当时有，
所以，即，
即，又因为，故是以为首项，为公比的等比数列，
即是一阶等比数列．
解：由题意的二阶等差数列为等比数列，设公比为，
则，，所以．
由题意，所以，
所以，
即．
所以为整数当且仅当为整数．
由已知时符合题意，，，，时不合题意，
当时，，
所以原题等价于为整数，
因为，
显然含质因子，所以必为的倍数，
设，，则，将代入式，
当为奇数时，为偶数，式为的倍数；
当为偶数时，为奇数，为偶数，式为的倍数，
又因为与互质，所以为整数．
综上，当，时，为整数．
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