2023-2024学年广东省珠海二中高一（下）第二次段考数学试卷（含答案）

2023-2024学年广东省珠海二中高一（下）第二次段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.如图是水平放置的的直观图，是中边的中点，，，，三条线段对应原图形中的线段，，，那么( )
A. 最短的是
B. 最短的是
C. 最短的是
D. 无法确定谁最短
3.将一个圆台的侧面展开，得到的扇环的内弧长为，外弧长为，若该圆台的体积为，则圆台的母线长为( )
A. B. C. D.
4.设，，且，则( )
A. B. C. D.
5.下列命题正确的为( )
A. 已知，，为三条直线，若，异面，，异面，则，异面
B. 已知，，为三条直线，若，，则
C. 若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，，，则，，三点共线
D. 底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
6.如图圆中，若，，则的值等于( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，在四面体中，，，若用一个与，都平行的平面截该四面体，下列说法中错误的( )
A. 异面直线与所成的角为
B. 平面截四面体所得截面周长不变
C. 平面截四面体所得截面不可能为正方形
D. 该四面体的外接球半径为
8.中，，，当取最大值时，的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于中，有如下判断，其中正确的判断是( )
A. 若，，，则符合条件的有两个
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，，则当周长最大时，面积为
D. 若点在所在平面且，，则点的轨迹经过的外心
10.函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于，两点，且在轴上，则下列说法中正确的是( )
A. 函数的最小正周期是
B. 函数的图象关于点成中心对称
C. 函数在单调递增
D. 函数的图象上所有的点横坐标扩大到原来的倍纵坐标不变，再向右平移后关于轴对称
11.如图，正方体的棱长为，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是( )
A. 当时，为四边形
B. 当时，为等腰梯形
C. 当时，与的交点，满足
D. 当时，为四边形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.方程在复数范围内的解是______．
13.已知，，三点都在表面积为的球的表面上，若，，则球心到平面的距离等于______．
14.如图，在边长为的棱形中，，，点是内部包括边界的一动点，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，；
若，求的值；
若，求向量在向量上的投影向量的坐标．
16.本小题分
如图，正方体的棱长是．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
函数．
Ⅰ求函数的最小正周期及单调递减区间；
Ⅱ将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，得到函数的图象当时，求函数的值域．
18.本小题分
如图在中，，，分别是角，，所对的边，是边上的一点．
若，，，，求的面积．
试利用“”证明：“”；
已知，是的角平分线，且，，求的面积．
19.本小题分
如图，等腰中，，，点，，为线段的四等分点，且现沿，，折叠成图所示的几何体，使．
证明：平面；
求几何体的体积．
参考答案
1.
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14.
15.解：因为向量，，，
所以，即，
则．
因为，所以，
所以在上的投影向量为
16.解：证明：连接D、，如下图所示：
因为四边形为正方形，则，
平面，平面，
，
，平面，平面，
平面，
平面，
，
四边形为正方形，则，
平面，平面，
，
，平面，平面，
平面，
平面，
，
又因为，平面，平面，
平面．
设点到平面的距离为，，
，
易知，则是边长为的正三角形，
所以，，
所以，，解得，
因此，点到平面的距离为，
因为，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：Ⅰ，
，的最小正周期为，
令，解得，
函数的单调减区间为；
Ⅱ的图象先向左平移个单位得到，
将横坐标缩短为原来的纵坐标不变，得到，
时，，
函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以函数的最大值为，
又因为，，所以函数的最小值为，
所以的值域为．
18.解：因为，所以，
又，，，
所以，
所以的面积为；
证明：因为，所以，
所以，
即，
所以，
即，
所以；
因为，
根据正弦定理有，即，
因为，所以，所以，即，
因为，所以，即，
因为是的角平分线，所以，
因为，
所以，
即，
整理得，
在中，，
即，
联立解得舍或，
所以，
所以的面积为．
19.解：证明：由，可知四边形是菱形，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
因为，平面，平面，
所以平面，
又，所以平面平面，
又平面，所以平面．
解：连接，，取的中点，连接，，
则，
由图知，所以，，
所以平面，平面，
又，所以几何体为直三棱柱，平面．
由图，直角三角形中，，，所以，
所以，
由，，知三角形为正三角形，则，
所以几何体的体积为：
．
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