2023-2024学年河北省沧州市部分学校高一（下）联考数学试卷（含答案）

2023-2024学年河北省沧州市部分学校高一（下）联考数学试卷
一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，则( )
A. B. C. D.
2.如果直线和没有公共点，那么直线与的位置关系是( )
A. 异面 B. 平行 C. 相交 D. 平行或异面
3.已知一组数据：，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是( )
A. B. C. D.
4.若向量，则在上的投影向量的坐标是( )
A. B. C. D.
5.已知正四棱台的上、下底面的边长分别为和，若该正四棱台的体积为，则侧棱长为( )
A. B. C. D.
6.设向量，的夹角的余弦值为，，，则( )
A. B. C. D.
7.在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.已知复数为虚数单位，复数的共轭复数为，则下列结论正确的是( )
A. 在复平面内复数所对应的点位于第四象限
B.
C.
D.
9.为了研究“同时处理多任务时男女的表现差异”课题，研究组随机抽取男、女志愿者各名，要求他们同时完成“解题、读地图、接电话”等任务，志愿者完成任务所需时间的分布如图所示，则下列表述正确的是( )
A. 总体上女性处理多任务平均用时较短
B. 处理多任务的能力存在性别差异
C. 男性的用时中位数比女性用时中位数大
D. 女性处理多任务的用时为正数，男性处理多任务的用时为负数
10.在棱长为的正方体中，为侧面内的一个动点含边界，则下列说法正确的是( )
A. 随着点移动，三棱锥的体积有最小值为
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 直线与平面所成角的余弦值为
D. 作体对角线的垂面，则平面截此正方体所得截面图形的面积越大，其周长越大
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
11.已知，，，，，则______．
12.在正方体中，直线与所成角的大小为______用角度表示
13.在三棱锥中，已知平面，，，与平面所成的角为，与平面所成的角为，则 ______用角度表示
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若的面积为，，求的周长．
15.本小题分
如图，在三棱锥中，是线段的中点，是线段上的一点．
若平面，试确定在上的位置，并说明理由；
若，证明：．
16.本小题分
已知函数．
求的单调递增区间；
在锐角中，角，，所对的边分别为，，，，且，求面积的取值范围．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，为的中点，，．
求直线与平面所成角的正弦值；
求二面角的大小．
18.本小题分
如图，在矩形中，点在边上，，将沿进行翻折，翻折后点到达点位置，且满足平面平面，如图．
若点在棱上，平面，求证：；
求点到平面的距离．
参考答案
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14.解：中，由，得，
由余弦定理得，
即，
由正弦定理得，
又，，
可得，
因为，
所以；
若的面积为，
则，得，
因为，
由余弦定理，可得，
解得，
所以的周长为．
15.解：是的中点，理由如下：
若平面，由平面，平面平面，
得，又是的中点，在上，
所以是的中点；
证明：取的中点，连接，，
因为，为中点，
所以，，
因为，所以平面，
因为平面，
所以．
16.解：因为，
所以，
即．
令，解得，
所以的单调递增区间为．
结合问，因为
所以，即，
所以，即，．
因为在锐角中，，所以．
因为，所以．
在中，由正弦定理可得，即，
在中易得，
，
因为为锐角三角形，且，且易得，
所以，得，所以，
易得，即，
所以．
故面积的取值范围为．
17.解：取的中点，连接，，在中，，，，
，
平面，平面，
，
，分别为，的中点，
，，，又，
平面，
直线与平面所成角为，
在中，，，
，
故直线与平面所成角的正弦值为；
取的中点，连接，取的中点，连接，，
由，，可得，
，，
，又，
平面，又平面，
，
是二面角的平面角，
在中，，，
，
即，
故二面角的大小为．
18.解：证明：如图，若点在棱上，过作，且，连接，
又，，又平面，
平面即为平面，
故CE；
取中点连接，为等腰直角三角形，且，
，且，
又平面平面，平面，平面平面，
平面，过作于点，连接，
则由三垂线定理可得平面，又平面，
平面平面，在平面内过作于点，
则平面，
又易知，，，
，又为的中点，
点到平面的距离为．
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