2023-2024学年河南省实验中学高一（下）月考数学试卷（含答案）

2023-2024学年河南省实验中学高一（下）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则等于( )
A. B. C. D.
2.设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.在中角、、所对边、、满足，，，则( )
A. B. C. D. 或
4.在中，为边上的中线，，则( )
A. B. C. D.
5.在中，若，且，那么一定是( )
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
6.在复数范围内方程的根为( )
A. 和 B. 和 C. D.
7.为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻．某天，一艘巡逻舰从海岛出发，沿南偏东的方向航行海里后到达海岛然后再从海岛出发，沿北偏东的方向航行了海里到达海岛若巡逻舰从海岛出发沿直线到达海岛，则航行的方向和路程单位：海里分别为( )
A. 北偏东， B. 北偏东，
C. 北偏东， D. 北偏东，
8.在中，点为边上的中点，点满足，点是直线，的交点，过点作一条直线交线段于点，交线段于点其中点，均不与端点重合设，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组向量中，一定能推出的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
10.点在所在的平面内，( )
A. 若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心
B. 若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心
C. 若，，分别表示，的面积，则：：
D. 已知三个内角，，的对边分别是，，，若，则点为的内心内切圆圆心
11.已知锐角三个内角，，的对应边分别为，，，且，则下列结论正确的是( )
A. 的面积最大值为 B. 的取值范围为
C. D. 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，，则 ______．
13.已知，，，则在方向上的投影向量是______．
14.已知复数满足，则为虚数单位的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，，求：
；
与的夹角．
16.本小题分
设复数，．
若是实数，求；
若是纯虚数，求．
17.本小题分
已知，．
若，且、、三点共线，求的值．
当实数为何值时，与垂直？
18.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，．
求；
若点是上的点，平分，且，求面积的最小值．
19.本小题分
设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为．
设函数，求证：；
记的“相伴函数”为，若函数，与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围；
已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值当点运动时，求的取值范围．
参考答案
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15.解：由已知，所以，所以，
所以，所以；
与的夹角的余弦值为，
所以与的夹角为．
16.解：由，，得，而是实数，
于是，解得，
所以；
依题意，是纯虚数，
因此，解得，
所以．
17.，，，，
则，，且、、三点共线，
则可得，
即，解得；
，，，，
则，，
因为与垂直，
则可得，解得．
18.解：因为，
所以由正弦定理得：，
即，
即，
所以，
因为，所以，
所以，即，
又因为，所以；
因为点是上的点，平分，且，
所以，
因为，
所以，
化简得：，所以，当且仅当时取等号，
解得：，当且仅当时取等号，
所以，
所以面积的最小值为．
19.解：，
取满足条件，
由题知：，
，
可求得在单调递增，单调递减，单调递增，单调递减且，
图象与有且仅有四个不同的交点，
．
，
，当即时，取得最大值，
此时，
令，
则由知，，
解之得，
，
因为在上单调递增，
所以在上单调递减，
从而．
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