2023-2024学年安徽省滁州市高一下学期教学质量监测数学试题（含答案）

2023-2024学年安徽省滁州市高一下学期教学质量监测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，，则
A. B. C. D.
2.复数满足为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.若，则
A. 最大值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 最小值为
4.下列说法正确的是
A. 如果一条直线与一个平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
B. 如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面
C. 如果一个平面内的两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
D. 如果一条直线与一个平面内的两条直线垂直，那么该直线与此平面垂直
5.若函数则( )
A. B. C. D.
6.若，，，则，，的大小关系为
A. B. C. D.
7.将一枚质地均匀的骰子抛掷次，表示事件“没有出现点”，表示事件“出现一次点”，表示事件“两次抛出的点数之和是”，表示事件“两次掷出的点数相等”，则下列结论中正确的是
A. 事件与事件是对立事件 B. 事件与事件是相互独立事件
C. 事件与事件是互斥事件 D. 事件包含于事件
8.设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．在该坐标系下向量，，若有，则的值是
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.截至年，中国铁路营运总里程突破万公里，其中中国高铁运营里程突破万公里，位于世界榜首，为中国经济的高速发展提供有力的交通保障．下图为年至年中国高铁每年新增里程折线图，根据图示下列说法正确的有
A. 年至年中国高铁里程平均每年新增约百公里
B. 年至年中国高铁每年新增里程的中位数为百公里
C. 年至年中国高铁每年新增里程的上四分位数为百公里
D. 年至年中国高铁每年新增里程的方差大于年至年中国高铁每年新增里程的方差
10.若函数的图象过点，则
A. 点为函数图象的对称中心
B. 函数的最小正周期为
C. 函数在区间上的函数值范围为
D. 函数的单调增区间为
11.如图，在正四棱柱中，，是中点，则( )
A. 异面直线与所成的角为
B. 二面角的平面角正切值为
C. 点到平面的距离为
D. 若平面满足且，则平面截正四棱柱所得截面多边形的周长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 __________．
13.已知向量，满足，则与的夹角为__________．
14.如图，正四面体，为该正四面体高的中点，过直线的平面与棱平行，且平面截正四面体上半部分得到的棱锥内切球半径为，正四面体的内切球半径为，则__________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知内角，，所对边分别为，，，是边上一点，，，．
求角；
求的长度．
16.本小题分
如图，在矩形中，，，是上靠近的三等分点，是的中点，是与的交点．
用向量，表示，；
求的余弦值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，是中点，是中点．
证明：平面；
证明：．
18.本小题分
生物医药的开发和应用对解决全球性疾病具有重要意义．生物医药的开发可以帮助解决全球范围内存在的疑难杂症，如癌症、艾滋病、糖尿病等，同时也可以为未来的新病毒和新疾病提供有效的治疗手段．而试验是生物制药中不可缺少的重要环节．某生物制药公司对甲、乙两种新药物的某项指标值进行实验．对注射甲种药物的只小白鼠，测量得出该项指标值的数据并绘制表格如图；对注射乙种药物的只小白鼠，测量得出该项指标值的数据并绘制频率分布直方图如图临床观察表明当值越大，药物对病毒的抑制效果越好．当值大于时，认为药物有效；当值大于时，认为药效显著．假设同一组中的每个数据可用该组区间的中间值代替．
求图中的值以及注射乙种药物指标值的中位数；
若按分层抽样从注射甲、乙两种药物且药效显著的样本中抽取件，再从这件中抽取件样本作进一步临床实验．记事件表示“件样本均来自于注射同一种药物的实验组”，事件表示“件样本中至少有件样本来自于注射乙药物的实验组”，求；
从注射甲药物有效组中随机抽取个样本，，，其指标值平均数为，方差；从注射乙药物的有效组中随机抽取个样本，，，其指标值平均数为，方差计算上述个样本数据均值，方差．
19.本小题分
年英国数学家泰勒发现了如下公式：其中，为自然对数的底数，已知．
证明：；
设，证明：；
若，恒成立，求的取值范围．
参考答案
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15.解：，，
即，
又为内角，；
在中，，，，
由正弦定理得：，
即，
解得．
16.解：，
；
为，的夹角，
且，
，
，
．
17.证明：取的中点，连接，，
因为，分别为，的中点，所以且．
由为的中点，则在矩形中，得且．
所以且，
则四边形为平行四边形．
所以．
又平面，平面，
所以平面．
记交于点．
设，则，，
因为，
所以∽．
所以．
又因为，
所以，所以．
所以．
由平面，且平面，得．
又，、平面，
所以平面．
因为平面，所以．

18.解：根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为，
得：，解得；
记注射乙种药物指标值的中位数为，
因为，
，
．
则，解得：．
故的值为，注射乙种药物指标值的中位数为．
由分层抽样定义，注射甲种药物且药效显著共件样本，
注射乙种药物且药效显著共件样本，
从中抽取件，则注射甲种药物且药效显著被抽取件，记为，
注射乙种药物且药效显著共支样本被抽取件，记为，，，
则从这件中抽取件的样本空间总体，，，，，，
，，，，其中包含个样本点．
，，，其中包含个样本点．
则．
．
．
则随机抽取的个样本数据的均值，方差．
19.证明：
．
要证，即证，即证，
也就是，即证．
当时，显然成立
当时，，得．
得证．
解：当时，有，所以是偶函数．
故原不等式等价于
下证当时，单调递增．
当时，
所以，当，，即，
所以在上单调递增．
所以，式等价于，
又，所以．
可得．
化简得：．
即．
令
，．，
，．
，
同理可得，．
即

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