2023-2024学年江西省赣州市高二下学期期末考试数学试题（含答案）

2023-2024学年江西省赣州市高二下学期期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. 或 D.
2.已知命题，，则为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.正项等比数列中，，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数的定义域为且导函数为，函数的图像如图，则下列说法正确的是( )
A. 函数的增区间是，
B. 函数的减区间是，
C. 是函数的极大值点
D. 是函数的极大值点
5.“”是“函数在单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神经单元的函数，其中函数是比较常用的一种，其解析式为关于函数，下列结论错误的是( )
A. 有解 B. 是奇函数
C. 不是周期函数 D. 是单调递增函数
7.已知是函数图像上的动点，是直线上的动点，则，两点间距离的最小值为( )
A. B. C. D.
8.设等差数列的前项和为，公差为，，则下列结论正确的是( )
A. B. 使得成立的最小自然数是
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，且，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
10.已知正数，满足，则下列结论正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11.记方程的实数解为是无理数，被称为在指数函数中的“黄金比例”下列有关的结论正确的是( )
A.
B.
C.
D. 函数的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数是上的奇函数，，则 ．
13.数列的前项和为，若，则 ．
14.已知定义在上的函数满足，当时，，则在上的零点个数为 个
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的图象过点，且在点处的切线恰好与直线平行．
求函数的解析式
求在上的最大值和最小值．
16.本小题分
已知等差数列的公差，，，，成等比数列，数列的前项和公式为
求数列和的通项公式
设，求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数为二次函数，有，， ，从下列条件中选取一个，补全到题目中，，函数为偶函数，
求函数的解析式
若，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数，为的导函数，记，其中为常数．
讨论的单调性
若函数有两个极值点，，
求的取值范围
求证：．
19.本小题分
若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列现对数列，进行构造，第一次得到数列，，第二次得到数列，，，，依次构造，第次得到的数列的所有项之和记为，如．
求
求的通项公式
证明：．
参考答案
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14.
15.解：因为函数的图象过点，所以，
又因为，且在点处的切线恰好与直线平行，
所以，
联立，解得，，
所以．
由知，
令，即，解得或，
令，即，解得，
所以在单调递增，单调递减，单调递增．
又，，，，
所以在上的最大值为，最小值为．
16.解：设的公差设为，由题意可得：解得：，；
；
，
，解得，
又，
由得：即
数列是以为首项，公比为的等比数列，
；
由可得，
数列的前项和为，
由得，
即，
所以
17.解：因为函数为二次函数，设，
由或函数为偶函数得函数的对称轴为；
若选或，由题意可得：
解得：，，；
若选，由题意可得：
解得：，，，
；
由，
令，则有：，
易知在上的最小值，
在上的最小值，
对任意的，总存在，使得成立
对任意的有成立，
，易知在上为增函数；
在上的最小值为，
的取值范围是，
18.解：定义域为，
，
，
当时，恒成立，在单调递增，
当时，令，则，解得，令，则，解得，
在单调递增，在单调递减，
综上所述：当时，在单调递增当时，在单调递增，在单调递减
由知，时，最多一个根，不符合题意，故，
函数有两个极值点，，
在有两个不同零点的必要条件是，
解得．
当，在单调递增，在单调递减，
，，，，
由零点存在性定理得：在，各有个零点．
的取值范围是
函数有两个极值点，，
，
由知，要证，
只需证，即证，
令，
，
在单调递增，
，
，
，得证
19.解：第三次得到数列，，，，，，，，，则；
设第次构造后得的数列为，，，，，，则，
根据题意可得第次构造后得到的数列为：，，，，，，，，，，
所以，即与满足的关系式为，
由，可得且，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即
由得，
所以当，，
当时，，
综上述：．
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