课件18张PPT。第六章 实 数
6.1 平方根（1）一、新课引入 宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度要大于第一宇宙速度 而小于第二宇宙速度 . ， 的大小满足 ， ，其中 是物理中的一个常数（重力加速度） R是地球半径 ，怎样求 ，
呢？这就要用到平方根的概念.12二、学习目标 了解算术平方根的概念，会表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根三、研读课文 认真阅读课本第40页内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程。算术平方根的概念问题知识点一学校要举行美术作品比赛，小欧想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？三、研读课文 学校要举行美术作品比赛，小欧想裁出一块面积为 25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？分析：∵ =25
∴这个正方形画布的边长应取_____dm.5三、研读课文 1、填表：上面的问题实际上是已知一个正数的____ ，求这个正数的问题.1346平方三、研读课文 2、一般地，如果一个正数x的平方等于 ，即 = ____，那么这个正数 叫做 的_____________． 的算术平方根记为 _________， 读作“根号 ”, 叫做_____________．规定：0 的算术平方根是________.思考:被开方数 可以是负数吗？答： 不可以是______数，因为任意一个数的平方都不可能是______数.即， 是一个__________数.算术平方根0负负被开方数 非负数三、研读课文 归纳:由 = ( ≥ 0 )，可得 的算术平方根 =_____。 因为 ≥ 0， 所以 ≥ ___.
即 是一个________数.温馨提示：正数和0统称非负数.0非负数三、练一练1、你能根据等式： =144说出144的算术平方根是多少吗？用等式表示出来．解：因为 = _______，所以______的算术平方根是 12，即 =_________2 、 225的算术平方根是 ______ ，0的算术平方根是 _____ 。3、若一个数的算术平方根是 ，则这个数是______.144144121505三、研读课文 求算术平方根例1知识点二求下列各数的算术平方根：（1）100； (2) ； (3)0.0001.解：（1）因为 = 100，所以100的算术平方根是_____，即 =_______；（2）因为 = ， 所以 的算术平方根是 _____， 即 =_______；（3）因为 = 0.0001，所以0.0001的算术平方根是_____，即 = ____ .1010100.010.010.01三、研读课文归纳：从例1可以看出，被开方数越大，对应的算术平方根也_______.这个结论对所有正数都成立。越大四、练一练 1、 求下列各数的算术平方根：（1）0.0025； (2)81； (3) 解：（1）因为 =0.0025，所以0.0025的算术平方根是 _____，即 = _____（2）因为 =81，所以81的算术平方根是 _____，即 = _____（3）因为 = ，所以 的算术平方根是 _____，即 = _____0.050.050.05999333四、练一练 2、求下列各式的值：（1） ； (2) ； (3) 解：（1）因为 =1，所以1的算术平方根是 _____，所以 =_____（1）因为 = ，所以 的算术平方根是 _____，所以 =_____（1）因为 = ，所以 的算术平方根是 _____，所以 =_____111222四、归纳小结 1、一般地，如果一个正数x的平方等于 ，即 =____，那么这个正数 叫做 的_____________； 2、正数 的算术平方根记为_________，读作“_________”, 叫做 ________．3、0 的算术平方根是________.算术平方根根号被开方数0四、归纳小结 4、在 = （ ≥ 0）中， 是一个______数， 也是一个________数.5、学习反思：_______________________
________________________________________________________________________非负数非负数五、强化训练 1、计算=
=
==
=
=2由此可知：对于任意数 ，都有 =_____.53670五、强化训练 2、计算=
=
==
=
=由此可知： 对于任意非负数 ， 都有 =_____.425490369Thank you!谢谢同学们的努力！课件15张PPT。6.1平方根（2）一、新课引入 1、若 >0，且 =25，
则 称为____的算术平方根，记作 =_____；
2、4是___的算术平方根. 二、学习目标 体验“无限不循环小数”的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数；
理解被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律.三、研读课文 知识点一 估算 认真阅读课本第41页至第44页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程．1、怎样用两个面积为1的小正方形拼成
一个面积为2的大正方形？如图：把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形.问题 你知道这个大正方形的边长是多少
吗？三、研读课文 所以____< <_____;......知识点一 估算设大正方形的边长为 ，则 =___由算术平方根的意义可知 =_____ 所以，大正方形的边长是 ，即小正方形的对角线的长是 .思考： 它到底是个多大的数？ 因为 =___, =___,所以1< <2 因为 1.42= ____， 1.52=____, 事实上， =1.414 213 562 373...，它是一个无限不循环小数.1.41.5三、研读课文 练一练比较大小:
（1） 3_____ ;（２） ____ ；
（３） ____8 ． <<>三、研读课文 知识点二无限循环小数 1、无限不循环小数是_________
________________________________
____________的小数.
实际上，许多正有理数的算术平方根（例如____，____，____等）都是无限不循环小数.小数点后有无限个数位，但没有周期性的重复，或者说没有规律三、研读课文 知识点三 用计算器求正数的算术平方根例2 用计算器求下列各式的值：
（1） (2) （精确到0.001）解：（1）依次按键 显示56 ∴ =56 （２） 依次按键___, 显示______________ ∴ =__________________练一练 用计算器求下列各式的值：(1) =__________(2) =______(3) ( 精确到0.01）≈_______1.41421356237311.41421356237313710.062.24三、研读课文探究 利用计算器计算下面各题，你发现了
什么规律？你能说出其中的道理吗？ =_____ =_________
=_____ =_________
=_____ =_________
=_____ =_________规律:
当被开方数的小数点向右移动2位时，算术平方根的小数点只向_____移动____位； 当被开方数的小数点向左移动2位时，算术平方根的小数点只向_____移动_____位.0.250.792.57.92579250790右1左1三、研读课文练一练1、计算 （精确到0.001）≈________；2、根据 的值填空： ≈_______； ≈_______； ≈_______；3、你能根据 的值得出 的值吗？1.7320.173217.32173.2三、研读课文例3：
小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片,沿着边的方向裁出一块面积为300cm2,使它的长宽之比为3:2,她不知能否裁得出来,正在发愁,小明见了说:“别发愁，一定能用面积大的纸片裁出一块面积小的纸片”你同意小明的说吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？三、研读课文解：设长方形的长和宽分别是 cm和____cm.
根据边长与面积的关系得
3 ? 2 =______
解得 =______
∴ 长方形的长为 （指3× ）cm
因为50>49,所以 > (即 > 3____)
由上可知 > ___,即长方形纸片的长应该大于______cm.
已知正方形纸片的边长只有_____cm，这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长.
答：_____（填能或不能）同意小明的说法.小丽_____（填能或不能）用这块正方形纸裁出符合
要求的长方形纸片.
300×720不能不能2121四、归纳小结1、无限不循环小数是____________________
______________________________________的小数.2、当被开方数的小数点向右移动2位时，算术平方根的小数点只向_____移动____位；当被开方数的小数点向左移动2位时，算术平方根的小数点只向_____移动_____位.3、学习反思：________________________
_____________________________________
____________________________________.小数点后有无限个数位,但没有周期性的重复，或者说没有规律右1左1五、强化训练 比较大小：
1、 0.5 2、 ______1 >2、 =_____. =______.二、学习目标
能正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系.三、研读课文
2、平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的_______或_______．
即 =a时x叫做a的平方根，记作x=____.
温馨提示：符号 只有当________时有意义，________时无意义.3、求一个数的平方根的运算，叫做___；平方与开平方互为 ____运算．平方根二次方根a≥0a<0开平方逆三、研读课文 知识点一
例4 求下列各数的平方根：
（1）100； （2） ； （3）0.25
解：（1）因为（ ）2=100，所以100的平方根是_______；
（2）因为 = ，所以 的平方根是________；
（3）因为_________________，
所以___________________.± 10± 10±±（ ± 0.5 ）2=0.250.25的平方根是±0.5 练一练;1、判断下列说法是否正确：知识点二（1）0的平方根是0；（ ）
（2）1的平方根是1；（ ）
（3）-1的平方根是-1（ ）
（4）0.01是0.1的一个平方根。（ ） .
2、填表：√ × × × 6464+4-4+0.6-0.6三、研读课文 知识点二
正数有____个平方根，它们互为 ____ ；0的平方根是____，负数_____平方根.例5 求下列各式的值
（1） （2）- （3）平方根的性质解：(1) 因为 =36，所以 = ；
(2)因为 =0.81，所以- =____；
(3) 因为___________，所以____________.两相反数0没有± 66± 0.90.9（ ± ）2 == ±三、研读课文 知识点二练一练 计算下列各式的值；
（1） （2）- （3）
解：
=3解：
-=-解：± =± 三、研读课文 知识点三平方根和算术平方根1、联系：(1)具有包含关系：____包含算术平方根,____ 是平方根的一种.
(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有______数才有.
(3)0的平方根、算术平方根都是___.2、区别：(1)定义不同：“如果一个____的平方等于，这个数就叫做a的平方根” ； “非负数a的非负平方根叫a的 ____________”.
(2)个数不同：一个正数有___个平方根，而一个正数的算术平方根只有____个.
(3)表示法不同：正数a的平方根表示为____，正数的算术平方根表示为___ .平方根算术平方根非负0数x算术平方根两一 ± 四、归纳小结 1、如果_____________等于a，那么这个数就叫做的平方根或二次方根；
2、非负数的平方根表示为______.
3、± 中的a称为___ 数，其中有意义的条件是_______;
4、一个正数有____个平方根，它们互为_____；0的平方根是___，负数______平方根.
5、平方根与算术平方根的联系与区别？
6、学习反思__________________________________；一个数的平方0± 被开方a≥0两相反数没有五、强化训练 1、判断下列各数是否有平方根？说明理由。
（1） （2） 0 （3） -0.01 （4）-2、填空
(1)25的平方根是____； (2)± =____；
(3)- =_______ (4) 的平方根是_____，算术平方根是____.5、平方根概念的起源与几何中的正方形有关，如果一个正方形的面积为A,那么这个正方形的边长是多少？有有没有没有±5 ±13 -±2 2 解：设正方形的边长为x,则x2=A，X=Thank you!谢谢同学们的努力！第六章 实数
6.1 平方根
第1课时 算术平方根
1.理解并掌握算术平方根的概念，会用根号表示一个正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性，会求一个非负数的算术平方根.
2.能用夹值法求一个数的算术平方根.
3.会用计算器求一个数的算术平方根.
自学指导：阅读教材第40至44页，独立完成下列问题.
知识探究
一般地，如果一个非负数的平方等于a，那么这个非负数叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为，a叫做被开方数.
规定：0的算术平方根是0.
自学反馈
(1)25的算术平方根是5，3是9的算术平方根，的算术平方根是2.
(2)切一块面积为16 cm2的正方形钢板，它的边长是多少？
解：4 cm.
(3)表示3的算术平方根；如果-x2有平方根，那么x的值为0.
(4)一个数的算术平方根是a，则比这个数大8的数是(D)
A.a＋8 B.a-4 C.a2-8 D.a2＋8
(5)若=9，那么=0.09，=900.
(6)用计算器求下列各数的算术平方根.
①625; ②101.203 6; ③5(精确到0.01).
对于实际问题可以转化成数学问题来解决，如题(2)，就是求平方等于16的正数.若被开方数的小数点向左或向右移2n位，则其算术平方根的小数点向相同的方向移动n位.
活动1 学生独立完成
例1 求下列各式的值：
(1)3·; (2)+; (3)-; (4)·.
解：(1)原式=3×5=15;
(2)原式=9+6=15;
(3)原式=0.2-1.5=-1.3;
(4)原式=×=.
1.求一个数a(a>0)的算术平方根就是确定一个正数x，使得x2=a.
2.求一个代分数的算术平方根，应先将代分数化成假分数，再求其算术平方根.
例2 试比较下列各对数的大小：
(1)与1; (2)4与2.
解:(1)∵1=，而2=>，∴>1.
(2)∵4=，2=，而>20，∴>，即4>2.
要比较两个数的大小，可以由算术平方根的意义，去比较它们的被开方数的大小.本题就是用“转化”的数学思想，将其“转化”成比较根号下被开方数的大小.
例3 试估算的取值范围是2＜＜3.
活动2 跟踪训练
1.一个自然数的算术平方根是a，则下一个自然数的算术平方根是(D)
A.a+1 B.a2+1 C.+1 D.
注意审题，先确定这个自然数，再确定下一个自然数的算术平方根.
2.估算-2的值(C)
A.在1和2之间 B.在2和3之间
C.在3和4之间 D.在4和5之间
先确定的取值范围，再利用不等式的性质.
3.已知=3，若=0.003，=30，则a+b=900.000 009.
活动3 课堂小结
1.算术平方根的意义是求一个正数的算术平方根的基本方法.
2.运用“转化”的数学思想方法，并通过恒等变形达到求解目的是对能力的一种考察.
第2课时 平方根
1.掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别.
2.能用符号正确表示一个数的平方根，理解开平方运算和平方运算之间的互逆关系.
自学指导：阅读教材第44至45页，独立完成下列问题.
知识准备
填空：=3，表示求9的算术平方根，
22=4，(-2)2=4.
知识探究
(1)一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，即如果x2＝a，那么x叫做a的平方根，如2的平方根为±.
(2)求一个数的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方互为逆运算.
自学反馈
49的平方根是±7，的平方根是±3.
注意类似的平方根应弄清楚其意思是求9的平方根(应仔细审题搞清被开方数).
阅读教材P45“思考”及P46“例5”，独立完成下列问题.
知识探究
(1)非负数a的平方根用±表示，读作正负根号下a，正数a的算术平方根用表示，正数a的负的平方根用-表示.
(2)正数的平方根有2个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
活动1 学生独立完成
例1 求下列各数的平方根：
(1)121; (2)0.81; (3); (4)0.
解：(1)±=±11; (2)±=±0.9; (3)±=±34; (4)±=0.
求一个数的平方根就是求平方等于这个数的数.
例2 已知一个正数x的两个平方根是a+1和a-3，则a的值是多少？
解：依题意，得(a+1)+(a-3)=0,∴a=1.
一个正数的平方根有两个且互为相反数.
活动2 跟踪训练
1.下列说法不正确的是(C)
A.-是2的平方根 B.是2的平方根
C.2的平方根是 D.2的算术平方根是
一个正数的平方根有两个，算术平方根是平方根中非负的平方根.
2.求下列各式的值：
(1)±; (2)-; (3); (4)±.
解：(1)±1.7；(2)-；(3)；(4)±11.
先弄清题目的实际意义再求值.
活动3 课堂小结
一个正数的平方根是一对相反数，因此求一个正数的平方根，往往只要能求出它的算术平方根，也就可以求出它的平方根.
第3课时 平方根的运用
1.能灵活运用开平方运算和平方运算之间的互逆关系解决问题.
2.理解并运用的双重非负性.
知识准备
(1)=4，表示求16的算术平方根.
(2)与±有什么区别和联系？
(3)的平方根是±2.
知识探究
(1)a有意义，则a≥0，≥0，为什么？
(2)平方根等于它本身的数是0，算术平方根等于它本身的数是0或1.
因为负数没有平方根，所以a为非负数；因为算术平方根表示求非负平方根，而表示求非负数a的算术平方根，所以也为非负数.
活动1 学生独立完成
例1 求满足下列各式的x的值：
(1)x2-81=0; (2)x2=1; (3)(x+1)2=25.
解：(1)x2=81，x=±9;
(2)x2=,x=±;
(3)x+1=±5，x=4或x=-6.
可先将式子化简为x2=a(a≥0)的形式，再开平方.
例2 已知2a-1的平方根是±3，4是3a+b-1的算术平方根，求a+2b.
解：依题意，得2a-1=9,3a+b-1=16，
∴a=5，b=2.
∴a+2b=5+2×2=5+4=9.
2a-1的平方根是±3的意思就是(±3)2等于2a-1，可按此思路解决上述问题.
例3 已知|a-2|+=0，求ba的值.
解：由题意，得a-2=0，b+3=0，
∴a=2，b=-3.
∴ba=(-3)2=9.
|a|≥0，≥0，两个非负数的和为0，则两个加数都等于0，=0，则a=0.
活动2 跟踪训练
1.若=2，y2=3，则x+y=4±.
2.求满足下列各式的x的值:
(1)4x2-9=0; (2)(x+5)2-81=0.
解：(1)x=±；
(2)x＝4或x=-14.
3.3a-2的平方根是它本身，则a2+1的值是多少？
解：.
=2表示2的平方等于x，y2=3表示3的平方根等于y；因为平方根等于它本身的数是0，所以3a-2=0.
4.已知m=++2，求m+n的值.
解：5.
∵3-n≥0，n-3≥0，∴n=3.
5.计算：-()2+.
解：-.
活动3 课堂小结
学生总结：这节课你学到了什么？(a≥0，a≥0)
