第九章 不等式与不等式组
9.1 不等式
9.1.1 不等式及其解集
1.了解不等式概念，理解不等式的解集，能正确表示不等式的解集.
2.培养数感，渗透数形结合的思想.
3.培养自主学习的能力，合作交流意识与探究精神.
自学指导：自学教材第114至115页，思考并完成下列问题(先独立思考，后小组交流完善)
自学反馈
1.根据下列语句，列出不等式.
(1)a是负数 (a＜0)
(2)a与b的和小于5 (a＋b＜5)
(3)x与2的差大于-1 (x-2＞-1)
(4)x的4倍大于7 (4x＞7)
(5)y的一半小于3 (y<3)
(6)x的2倍与1的和的减去2所得的差是正数 （(2x+1)-2>0）
2.下列数值哪些是不等式x+3＞6的解？哪些不是？
-4，-2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12.
解：3.2，4.8，8，12是.
3.请你试着直接写出下列不等式的解集.
(1)2x＜8 (2)x-2＞0 (3)2x+1＜3 (4)a2+1＞0
解：(1)不等式2x＜8的解集是:x＜4
(2)不等式x-2＞0的解集是:x＞2
(3)不等式2x+1＜3的解集是:x＜1
(4)不等式a2+1＞0的解集是:a取任何数.
活动1 不等式的定义
幻灯片出示刘翔跨栏、姚明身高及日常生活中的一些高低、轻重、大小等现象，引出本节课内容.
不等式的定义：用含有“<”或“>”号表示大小关系的式子，叫做不等式.
找一找：下列式子哪些是不等式？哪些不是不等式？
(1)-2＜5 (2)x+3＞0 (3)4x-2y＜0 (4)a-2b
(5)x2-2x+1＜0 (6)y+2≠y-2 (7)5m+3=8
解：(1)(2)(3)(5)(6)是不等式，(4)(7)不是不等式.
活动2 不等式的解集
(1)问题：一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地50千米，要在12：00之前驶过A地，车速应满足什么条件？
解：设车速是x千米/时.
从时间上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶50千米所用的时间不到小时，用式子表示：<.
从路程上看，汽车要在12：00这前驶过A地，则以这个速度行驶小时的路程要超过50千米，用式子表示：x>50.
(2)虽然以上两个式子从不同角度表示了车速应满足的条件，但是我们希望更明确地得出x应取哪些值.
对于不等式x>50我们给出当x=78、x=75、x=72的不同取值，发现只有x=78时，不等式成立，由此得出：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
(3)列表试值寻找不等式x>50的解，发现它有无数个解，而且x>75时的值都是不等式x>50的解，即当x＞75时，不等式总成立.进而得出：
能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集.
求不等式解集的过程叫做解不等式.
活动3 利用数轴来表示不等式的解集
画一画:利用数轴来表示下列不等式的解集.
(1)x＞-1 (2)x＜
活动4 课堂小结
课件13张PPT。第九章 不等式与不等式组
9.11 不等式和不等式的解集
一、新课引入
用不等号填空：
（1）9×（-2012） 10×（-2012）
（2）-（-2）×（-3） -（-5） ><123二、学习目标 了解不等式概念和不等式的解； 理解不等式的解集，能正确表示不等式的解集； 培养数感，渗透数形结合的思想. 三、研读课文 问题 一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地50千米，要在12：00
之前驶过A地，车速应满足什么条件？1、分析 设车速是x千米/时.
（1）从时间上看，汽车要在12：00这前驶过A地，则以这个速度
行驶50千米所用的时间不到______，用式子表示：__________.
（2）从路程上看，汽车要在12：00这前驶过A地，则以这个速度
行驶 小时的路程要超过__ __，用式子表示：____________.认真阅读课本第114至115页的内容，完成练习并体验
知识点的形成过程.知识点一 不等式的定义 50千米2、以上两个式子从不同角度表示了车速应满足的条件.3、用符号“ ”、“ ”或“ ”表示 的式子，叫做不等式.<>大小关系三、研读课文练一练1、下列式子中______________是不等式.
① ； ② ；③ ；
④ ； ⑤ ；⑥ .② ③ ④ ⑤2、用不等式表示：
①a是正数； ② a与5的和小于7；
③a 是负数； ④a与2的差大于－1；
⑤a的4倍大于8； ⑥a的一半小于3.a>0a+5>7a<0a-2>-14a>8三、研读课文 归纳 与方程的解类似，使不等式成立的
叫做不等式的解.知识点二 不等式的解思考 填空（填“成立”或“不成立”）
当x=80、78时，不等式 ＞50 ；
当x=75、72时，不等式 ＞50 .成立不成立未知数的值三、研读课文 下列数中，哪些是不等式x+3﹥6的解？哪些
不是？
-4，-2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12练一练解：3.2，4.8，8，12是不等式的解；
-4，-2.5，0，1，2.5，3不是。三、研读课文 当 时，不等式 总成立；
当 75或 75时，不等式 不成立.即，任何一个大于75的数都是不等式的解，这样的解有 个.
知识点三：不等式的解集<=无数因此，表示了能使不等式成立的的取值范围，叫做不等式的解的集合，
简称解集.这个解集还可以用数轴来表示. 在表示75的点上画空心圆圈，
表示 这一点. 75不包括一般地，一个含有未知数的不等式的 ，组成这个不等式的
解集.求不等式的 的过程叫做解不等式.
所有的解解集0三、研读课文 数轴上表示下列不等式的解集
(1)x>-1；(2)x≥-1；(3)x<-1；(4)x≤-1探究分析:按画数轴,定界点,走方向的步骤答.解：（1）
注意:①实心点表示 这个点,空心点表示不包括这个点；
②大于向右走,小于向 走.包括左0- 10- 10- 10- 1（2）（3）（4）三、研读课文 直接得出不等式的解集，并用数轴表示：
（1）x+3＞6； (2)2x＜8； （3）x-2＞0
练一练
3解：(1)x>3(3)x>202(2)x<4040四、归纳小结 1、用符号“ ”、“ ”或“ ”
表示 的式子，叫做不等式；
<>大小关系2、使不等式成立的 叫做不等式的解；
未知数的值3、一个含有未知数的不等式的 ，组成这个不等式的解集.
所有的解4、求不等式的 的过程叫做解不等式.解集5、学习反思：
五、强化训练 1、判断下列式子是不是不等式：
①5<7； （ ） ② ；（ ）
③ ； （ ） ④ ；（ ）
；（ ） ⑥ ；（ ）
是是是是是不是2、在 -1，- ，- ，0 ， ，1，3，7，100中哪些
能使不等式x+1＜2成立？
解：-1，- ，- ，0 ， ，能使不等式x+1＜2成立。Thank you!谢谢同学们的努力！9.1.2 不等式的性质
1.掌握不等式的三个基本性质并且能正确应用.
2.通过解决实际问题，初步体会学习不等式基本性质的价值，让学生感受到数学与生活的密切联系.
3.经历探究不等式基本性质的过程，培养学生的合作意识，发展学生分析问题和解决问题的能力.
自学指导：阅读教材第116至119页，回答下列问题：
知识探究
不等式基本性质1:如果a＞b，那么a±c＞b±c，就是说不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子),不等号方向不变.
不等式基本性质2：如果a＞b，c>0,那么ac>bc(或>)就是说不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.
不等式基本性质3：如果a>b，c<0，那么ac
自学反馈
1.设a＞b，用“＜”或“＞”填空并口答是根据哪一条不等式基本性质.
(1)a-3>b-3；
(2)a÷3>b÷3
(3)0.1a>0.1b;
(4)-4a<-4b
(5)2a+3>2b+3;
(6)(m2+1)a>(m2+1)b(m为常数)
2.判断正误
(１)如果a＞b，那么ac＞bc.(错)
(２)如果a＞b，那么ac2＞bc2.(错)
(３)如果ac2＞bc2,那么a＞b.(正确)
在第(2)题当中，c可能为0，从而使ac2=bc2，所以错.
活动1 复习回顾
一、等式的性质
等式的基本性质1:在等式两边都加上(或减去)同一个数或整式，结果仍相等.
等式的基本性质2:在等式两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，结果仍相等.
二、解一元一次方程的基本步骤
１.去分母
２.去括号
３.移项
４.合并同类项
５.系数化为１
活动2 探索新知
1.用“>”或“<”填空，并总结其中的规律：
(1)5>3 5+2>3+2,5-2>3-2;
(2)-1<3 -1+2<3+2,-1-3<3-3;
(3)6＞2 6×5>2×5,6×(-5)<2×(-5)
(4)-2<3 (-2)×6<3×6,(-2)×(-6)>3×(-6)
2.根据发现的规律填空:当不等式两边加或减去同一个数(正数或负数)时,不等号的方向不变；当不等式的两边同乘以一个正数时,不等号的方向不变;当不等式的两边同乘以一个负数时,不等号的方向改变.
不等式的性质1 不等式的两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变.
字母表示为：如果a＞b，那么a±c>b±c.
不等式的性质2 不等式的两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.
字母表示为：如果a＞b，c>0,那么ac>bc(或>).
不等式的性质3 不等式的两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.
字母表示为：如果a>b，c<0,那么ac活动3 例题解析
例１ 利用不等式的性质解下列不等式.
(1)x-７＞26 (2)3x<2x+1 (3)-x>50 (4)-4x>3
解未知数为x的不等式，就是要使不等式逐步化为x>a或x解：(１)为了使不等式x-７＞26中不等号的一边变为x，根据不等式的性质１，不等式两边都加７，不等号的方向不变，得:x-７+７>26+７,x>33.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图
(2)3x<2x+1
为了使不等式3x<2x+1中不等号的一边变为x，根据不等式的性质1，不等式两边都减去2x，不等号的方向不变.得，3x-2x<2x+1-2x,x<1.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图
(3)-x>50
为了使不等式-x>50中不等号的一边变为x，根据不等式的性质3，不等式的两边都乘-1,不等号的方向改变，得:x<-50.
这个不等式的解在数轴上的表示如图
(4)-4x>3
为了使不等式-4x>3中的不等号的一边变为x，根据不等式的性质3，不等式两边都除以-4，不等号的方向改变，得:x<-.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图
(3)(4)的求解过程，类似于解方程两边都除以未知数的系数(未知数系数化为１)，解不等式时要注意未知数系数的正负，以决定是否改变不等号的方向.
活动4 跟踪训练
用不等式的性质解下列不等式,并在数轴上表示解集：
(1)x+5>-1; (2)4x<3x-5; (3)17x<67; (4)-8x>10.
(答案略)
活动5 问题探究
探究：已知a<0，试比较2a与a的大小
解法一：∵2＞1，a＜0，
∴2a＜a.(不等式的性质3)
解法二：在数轴上分别表示2a和a的点(a＜0)，如图.2a位于a的左边，所以2a＜a.
解法三：∵2a-a=a,
又∵a＜0,
∴2a-a＜0,
∴2a活动6 不等式的应用
例1 用炸药爆破时，如果导火索燃烧的速度是0.8 cm/s，人跑开的速度是每秒4 m，为了使点导火索的战士在爆破时能够跑到100 m以外的安全区域，这个导火索的长度应大于多少厘米?
解：设导火索的长度是x cm.根据题意，得
×4≥100,解得x≥20.
答：导火索的长度应大于20 cm.
例2 某长方体形状的容器长5 cm，宽3 cm，高10 cm.容器内原有水的高度为3 cm，现准备向它继续注水.用V(单位：cm3)表示新注入水的体积，写出V的取值范围.
解：新注入水的体积V与原有水的体积的和不能超过容器的容积，即
V+3×5×3≤3×5×10,解得:V≤105.
又由于新注入水的体积不能是负数，因此，V的取值范围是V≥0并且V≤105.
在数轴上表示V的取值范围如图
例3 三角形中任意两边之差与第三边有怎样的大小关系？
解：如图，
设a,b,c为任意一个三角形的三条边的长，则a＋b＞c,b＋c＞a,c＋a＞b.
由式子a＋b＞c移项可得a＞c-b,b＞c-a.
类似地，由式子b+c＞a及c+a＞b移项可得c＞a-b,b＞a-c及c＞b-a,a＞b-c.
结论：三角形中任意两边之差小于第三边.
活动7 课堂小结
1.不等式的性质.
2.不等式性质的作用：将不等式化为：x>a或x3.不等式的应用.
4.三角形中任意两边之差小于第三边.
课件15张PPT。第九章 不等式
9.1.2 不等式的性质（1）一、新课引入 1、等式的性质1 等式两边加（或减）
_________________，结果仍相等；
2、等式的性质2 等式两边乘_______，
或除以______________，结果仍相等.同一个数（或式子）同一个数同一个不为0数二、学习目标 1、用“＞”或“＜”填空．
(1)5>3 ，5+2 3+2，5-2 3-2；
(2)-1<3，-1+2 3+2，-1-3 3-3；
(3)6>2，6×5 2×5，6×(-5) 2×(-5)；
(4)2<3，(-2)×6 __3×6，(-2)×(-6) 3×(-6).三、研读课文 认真阅读课本第116至118页的内容，完成练习并体验
知识点的形成过程.知识点一不等式的性质
结论：
(1)当不等式两边加上或减去同一个数(正数或负数)时,不等号的方
向_______
(2)当不等式两边乘同一个正数时，不等号的方向_______ ；
(3)当不等式两边乘同一个负数时，不等号的方向 _______.
>><<<<>>不变改变不变
思考：1、不等式的性质2和性质3的区别
是：_________________________________.
2、等式的性质和不等式的性质不同点是：
____________________________________；
相同点是：___________________________.
2、不等式的性质
性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向 .
如果a>b,那么
性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向 .
如果a>b，c>0，那么ac bc（或 ）
性质3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向 .
如果a>b，c<0，那么ac bc （或 ）三、研读课文 知识点一不等式的性质 不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。不变不变改变>>><<两边同时加上（或减去）同一个数，等式或不等式仍然成立. 性质2不等号方向不变，性质3不等号方向改变。1.设a>b，用“＞”或“＜”填空.
（1）a+2___b+a（2）a-3___b-3；
（3） -4a___-4b；（4） .三、研读课文 练一练>>><例1 利用不等式的性质解下列不等式：
（1）x-7>26 ； （2）3x<2x+1；
（3） . 三、研读课文 分析：借助不等式的性质使不等式逐步化
为 _______ 或 ______ （a 为常数）的形式.知识点二利用不等式的性质解不等式 x>ax26中不等号的左边变为 ，根据不等式的性质1，不等式两边都加7，不等号的方向 _____ ，得
x-7+7>26+7
x>33
这个不等式的解集在数轴上的表示如图：不变033三、研读课文 解：（2）为了使不等式3x<2x+1中不等号的一边变为x，根据 ，不等式两边都 ，不等号的方向 ，得
3x-2x<2x+1-2x
X<___
这个不等式的解集在数轴上的表示如图：不变不等式性质1减2x1三、研读课文 解：(3）为了使不等式中 不等号的一边为x，根据 ，不等式两边都 _ ，不等号的方向 ，得
X>____
在数轴上表示这个不等式的解集:乘 不等式性质275不变07510练一练
解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（1）x＋5>－1； （2）4x<3x-5；
（3） .三、研读课文 解：（1）根据不等式性质 ，
不等式x＋5＞－1两边都 ，得：
____________________________
X______
在数轴上表示这个不等式的解集：
X+5-5>-1-5减51>-60-6三、研读课文 （2）根据不等式性质 ，
不等式4x<3x-5两边都 ，得：
_________________________
x_____
在数轴上表示这个不等式的解集：（3）根据不等式性质 ，
不等式两边都 ，得：
__________________________
x____
在数轴上表示这个不等式的解集：减3x14x-3x<3x-5-3x<-5乘7<620-506四、归纳小结 1、回顾不等式的性质并和等式的性质对比；
2、总结利用不等式的性质解不等式的方法；
3、学习反思：_______________________
___________________________________.五、强化训练
若a＜b＜0，则①a+1＜b+2；② ＞1；
③a+b＜ab；④ 以上式子正确的有________________（填序号）. ②、 ③ Thank you!谢谢同学们的努力！课件19张PPT。第九章 不等式和不等式组
9.1不等式的性质
9.1.2不等式的性质（2） 一、新课引入 1、利用不等式的性质，填“＞”，“＜”,并说出理由.
（1）若a＞b，且c＞0则ac bc；
根据：_________________________________
___________________________________
（2）若a＜b，则-3+a -3+b；
根据：_________________________________
_________________________________>性质2 不等式两边乘（或除以）同一个
正数，不等号的方向不变<性质1 不等式两边加（或减）同一个数
（或式子），不等号的方向不变 2、不等式的性质3 不等式两边乘（或除以）
同一个负数，不等号的方向 . 如果a＞b，c＜0，那么ac bc(或 ) 改变<<12二、学习目标 会根据“不等式性质”解简单的一元一次不等式并能在数轴上表示其解集；初步认识一元一次不等式的应用价值.三、研读课文 认真阅读课本第118至119页的内容，
完成练习并体验知识点的形成过程. 三、研读课文 知识点一
例1 利用不等式的性质3解下列不等式：
（4）
分析：借助不等式的性质使不等式逐步
化为 ___ 或 （为常数）的形式.x>ax ，不等号的方向 得
-4x÷ ＜3÷ ，
x＜ .
3除以(-4)改变（-4）（-4）- —430- —43在数轴上表示这个不等式的解集：三、研读课文 知识点一解下面的不等式，并在数轴上表示解集：
-8x＞10. 练一练三、研读课文 知识点一解：为了使不等式 -8x>10 中不等号的一边变
为x，根据不等式的性质3，不等式两边都
除以（-8），不等号的方向 改变得
-8x÷（-8）＜10÷ （-8） ，
x＜
- —45在数轴上表示这个不等式的解集：0- —54三、研读课文 知识点二
1、像a≥b或a≤b这样的式子，也经常用
来表示两个数量的________关系.大小2、符号“≥”读作“大于或等于”，也可以说
是“ ”；符号“≤”读作“ ”，
也可以说是 “ ”.不小于小于或等于不大于3、a≥b或a≤b形式的式子，具有与前面所
说的_________的性质类似的性质.不等式知识点二 a≥b或a≤b形式的式子
三、研读课文 知识点二符号“≥”与“>”的区别：
“≥”是指________________________，
“>”是指_________________________；“≤”与“<”的区别：
“≤”是指________________________，
“<”是指_________________________；大于或等于 ；不小于大于小于或等于；不大于小于想一想：三、研读课文 知识点三例2 某长方体形状的容器长5 cm，宽3 cm，
高10 cm.容器内原有水的高度为3 cm，现准
备向它继续注水．用V（单位： ）表示
新注入水的体积，写出V的取值范围. 知识点三 不等式性质的实际问题应用
三、研读课文 知识点三解：长方体的体积＝_____________
新注入水的体积与原有水的体积的和
超过容器的容积，即，
V≤____又由于新注入水的体积V不能是 ，因此，
V的取值范围是V≥0并且V≤ .
长×宽×高不能105负数105三、研读课文 知识点三0105注意：在表示0和105的点上画实心圆点，表示取值范围 这两个数. 包括在数轴上表示V的取值范围如下图：三、研读课文 知识点三用不等式表示下列语句并写出解集，并在数轴上表示解集：
（1）x的3倍大于或等于1；
（2）x与3的和不小于6；
（3）y与1的差不大于0；
（4）y的 小于或等于-2.
—41练一练:解：（1） 3x≥1
x ≥
在数轴上表示这个不等式的解集：0—13—13三、研读课文 知识点三—14（2） x+3 ≥6
x ≥ 3
在数轴上表示这个不等式的解集：03（3） y-1≤0
y ≤1
在数轴上表示这个不等式的解集：
01（4） y≤-2
y ≤-8
在数轴上表示这个不等式的解集：0-8四、归纳小结
1、不等式的性质3 不等式两边乘（或除以）同一
个负数，不等号的方向 ；
2、符号“≥”读作“大于或等于”，也可以说是“ ”；
符号“≤”读作“ ”，也可以说是“ ”.
3、在数轴上画空心圆点表示取值范围 这两个数，
画实心圆点，表示取值范围 这两个数.
4、学习反思：
. 改变不小于小于或等于不大于不包括包括五、强化训练 1、用不等式表示如图所示的解集，其中正确的是（ ）
A．x＞-2 B．x＜-2
C．x≥-2 D．x≤-2 C2、解不等式-7x＞－1，并在数轴上表示解集.五、强化训练 解：为了使不等式 -7x＞－1 中不等号的一边变为
x，根据不等式的性质3，不等式两边都除以（-7），
不等号的方向改变，得
-7x ÷（-7） ＜-1 ÷ （-7），
x＜
—71在数轴上表示个不等式的解集：0—17Thank you!谢谢同学们的努力！