江西赣州安远县实验中学2023-2024学年高一下学期6月第三次月考数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 江西赣州安远县实验中学2023-2024学年高一下学期6月第三次月考数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 695.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-05 20:50:59 | ||
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文档简介
安远县实验中学2023-2024学年高一下学期6月第三次月考
数学试卷
一、单选题（8小题，40分）
1.已知角的终边经过点，且，则（ ）
A. B. C. D.
2.在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则的外接圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量，，向量在向量上的投影向量（ ）
A. B. C. D.
4.若是方程（，）的一个根，则方程的另一个根为（ ）
A. B. C. D.
5.已知，，且满足，，则的值为（ ）
A. B. C. D.或
6.已知向量，，若是实数，且，则的最小值为（ ）
A. B.1 C. D.
7.三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理（西方称之为“毕达哥拉斯定理”），如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积与大正方形面积之比为1:25，则（ ）
A. B. C. D.
8.函数的最大值为（ ）
A. B.2 C. D.
二、多选题（3小题，18分）
9.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”.若复数（，为虚数单位）为“等部复数”，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.复数是纯虚数
10.已知平面向量，，则（ ）
A. B. C. D.
11.声音是由物体振动产生的声波，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音，若一个复合音的数学模型是函数，则（ ）
A.的最小值为
B.的单调增区间为，
C.的对称中心为，
D.若为偶函数，则最小值是
三、填空题（3小题，15分）
12.设为锐角，若，则______.
13.已知为虚数单位，且，则的最大值是______.
14.如图，是上两点，若弦的长度为2，则___，若向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为______.
四、解答题（5小题，77分）
15.（13分）已知在中，，，所对的边分别为，，，，
，且.
（1）求角的大小；
（2）为中点，若的面积等于，求的周长的最小值.
16.15分）已知复数，（，为虚数单位）.
（1）若复数在复平面上对应的点落在第四象限，求实数的取值范围；
（2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值.
17.（15分）数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理.例如：如图甲，在中，为的中点，则，，两式相加得，.因为为的中点，所以，于是.请用“算两次”的方解决下列问题：
甲 乙 丙
（1）如图乙，在四边形中，，分别为，的中点，证明：.
（2）如图丙，在四边形中，，分别在边，上，且，，，，与的夹角为60°，求向量与向量夹角的余弦值.
18.（17分）已知函数（，）的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）求在上的最大值和最小值；
（3）若在区间上恰有两个零点、（），求.
19.（17分）已知，
（1）若，，求的值；
（2）在三角形中，若，求的最大值；
（3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
安远县实验中学2023-2024学年高一下学期6月第三次月考
数学试卷答案
BBCBA CDA
第8题：【解析】设，根据辅助角公式，，
由，于是，
故，当时，取得最大值
故选：A.
第9题：【解析】因为为“等部复数”，所以，故A正确；
则，故B错误；
因为，所以，故C正确；
是纯虚数，故D正确.
故选：ACD.
第10题：【解析】由题设，，
故，A错误，B正确；
，C正确；
，D正确.故选：BCD.
第11题：【解析】
当时的最小值为，故选项A错误；
令，（），
可解得，（），
所以增区间为（）故选项B正确；
令，（），可得，（），
的对称中心为（），故选项C错误；
，
若为偶函数，则可得（），
解得（），则最小值是故选项D正确；
故选：BD.
第12题：【答案】
【解析】因为为锐角，所以，
所以；则
.
第13题：
【答案】3【解析】设（，），
由的几何意义知：对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
即，
∵的几何意义为点到坐标原点的距离，
∴.
故答案为：3.
第14题：【答案】2，30°
【解析】（1）；
（2）由题意，，故，
故，又2，故，
即，解得，故，所以.
第15题：【解析】（1）∵，∴，
由正弦定理得，
∴，∴
∵，∴.
（2）依题意，即，∴，
所以，当且仅当时取等号，
又由余弦定理得，
∴，当且仅当时取等号，
所以的周长最小值为6.
第16题：【解析】（1）由已知，，，
所以，，
因为复数在复平面上对应的点落在第四象限，
所以，解得，
所以实数的取值范围为；
（2）因为虚数是实系数一元二次方程的根，
所以虚数是实系数一元二次方程的根，
，
则，解得.
所以实数的值为13.
第17题：【解析】（1）证明：在四边形中，，①
在四边形CDEF中，，②
由①＋②，得，
因为，分别为，的中点，
所以，，
于是.
（2）在四边形中， ①，
在四边形中， ②，
由，，
得，.
由，得，
所以
，
所以，
，
所以.
第18题：【解析】（1）由图象可知，函数的最小正周期满足，
则，，
所以，，则，可得，
因为，则，所以，解得
因此，.
（2）因为，则，
所以，，即，
所以的最大值为2，最小值为.
（3）因为，
当时，，
令（），所以（），
因为在区间上恰有两个零点、，
函数图象在区间内的对称轴为直线
由正弦型函数的对称性可知，点、关于直线对称，则，
所以，
由得，，
所以，
所以.
第19题：【解析】（1）函数
，
因为，，所以，，
所以，
.
（2）由，
而，可得，即
所以，
因为，所以，，
则，
故当时，取最大值，最大值为.
（3）由（1）可知
令，因为，所以，从而，
则即为：在上恒成立，
所以在在上恒成立，
又，当且仅当时等号成立.
所以，即实数的取值范围为.
数学试卷
一、单选题（8小题，40分）
1.已知角的终边经过点，且，则（ ）
A. B. C. D.
2.在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则的外接圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量，，向量在向量上的投影向量（ ）
A. B. C. D.
4.若是方程（，）的一个根，则方程的另一个根为（ ）
A. B. C. D.
5.已知，，且满足，，则的值为（ ）
A. B. C. D.或
6.已知向量，，若是实数，且，则的最小值为（ ）
A. B.1 C. D.
7.三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理（西方称之为“毕达哥拉斯定理”），如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积与大正方形面积之比为1:25，则（ ）
A. B. C. D.
8.函数的最大值为（ ）
A. B.2 C. D.
二、多选题（3小题，18分）
9.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”.若复数（，为虚数单位）为“等部复数”，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.复数是纯虚数
10.已知平面向量，，则（ ）
A. B. C. D.
11.声音是由物体振动产生的声波，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音，若一个复合音的数学模型是函数，则（ ）
A.的最小值为
B.的单调增区间为，
C.的对称中心为，
D.若为偶函数，则最小值是
三、填空题（3小题，15分）
12.设为锐角，若，则______.
13.已知为虚数单位，且，则的最大值是______.
14.如图，是上两点，若弦的长度为2，则___，若向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为______.
四、解答题（5小题，77分）
15.（13分）已知在中，，，所对的边分别为，，，，
，且.
（1）求角的大小；
（2）为中点，若的面积等于，求的周长的最小值.
16.15分）已知复数，（，为虚数单位）.
（1）若复数在复平面上对应的点落在第四象限，求实数的取值范围；
（2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值.
17.（15分）数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理.例如：如图甲，在中，为的中点，则，，两式相加得，.因为为的中点，所以，于是.请用“算两次”的方解决下列问题：
甲 乙 丙
（1）如图乙，在四边形中，，分别为，的中点，证明：.
（2）如图丙，在四边形中，，分别在边，上，且，，，，与的夹角为60°，求向量与向量夹角的余弦值.
18.（17分）已知函数（，）的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）求在上的最大值和最小值；
（3）若在区间上恰有两个零点、（），求.
19.（17分）已知，
（1）若，，求的值；
（2）在三角形中，若，求的最大值；
（3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
安远县实验中学2023-2024学年高一下学期6月第三次月考
数学试卷答案
BBCBA CDA
第8题：【解析】设，根据辅助角公式，，
由，于是，
故，当时，取得最大值
故选：A.
第9题：【解析】因为为“等部复数”，所以，故A正确；
则，故B错误；
因为，所以，故C正确；
是纯虚数，故D正确.
故选：ACD.
第10题：【解析】由题设，，
故，A错误，B正确；
，C正确；
，D正确.故选：BCD.
第11题：【解析】
当时的最小值为，故选项A错误；
令，（），
可解得，（），
所以增区间为（）故选项B正确；
令，（），可得，（），
的对称中心为（），故选项C错误；
，
若为偶函数，则可得（），
解得（），则最小值是故选项D正确；
故选：BD.
第12题：【答案】
【解析】因为为锐角，所以，
所以；则
.
第13题：
【答案】3【解析】设（，），
由的几何意义知：对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
即，
∵的几何意义为点到坐标原点的距离，
∴.
故答案为：3.
第14题：【答案】2，30°
【解析】（1）；
（2）由题意，，故，
故，又2，故，
即，解得，故，所以.
第15题：【解析】（1）∵，∴，
由正弦定理得，
∴，∴
∵，∴.
（2）依题意，即，∴，
所以，当且仅当时取等号，
又由余弦定理得，
∴，当且仅当时取等号，
所以的周长最小值为6.
第16题：【解析】（1）由已知，，，
所以，，
因为复数在复平面上对应的点落在第四象限，
所以，解得，
所以实数的取值范围为；
（2）因为虚数是实系数一元二次方程的根，
所以虚数是实系数一元二次方程的根，
，
则，解得.
所以实数的值为13.
第17题：【解析】（1）证明：在四边形中，，①
在四边形CDEF中，，②
由①＋②，得，
因为，分别为，的中点，
所以，，
于是.
（2）在四边形中， ①，
在四边形中， ②，
由，，
得，.
由，得，
所以
，
所以，
，
所以.
第18题：【解析】（1）由图象可知，函数的最小正周期满足，
则，，
所以，，则，可得，
因为，则，所以，解得
因此，.
（2）因为，则，
所以，，即，
所以的最大值为2，最小值为.
（3）因为，
当时，，
令（），所以（），
因为在区间上恰有两个零点、，
函数图象在区间内的对称轴为直线
由正弦型函数的对称性可知，点、关于直线对称，则，
所以，
由得，，
所以，
所以.
第19题：【解析】（1）函数
，
因为，，所以，，
所以，
.
（2）由，
而，可得，即
所以，
因为，所以，，
则，
故当时，取最大值，最大值为.
（3）由（1）可知
令，因为，所以，从而，
则即为：在上恒成立，
所以在在上恒成立，
又，当且仅当时等号成立.
所以，即实数的取值范围为.
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