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怀仁市大地学校2023-2024学年度下学期期末考试
高一数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4. 考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知平面向量，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A． B． C． D．
4．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，角所对的边分别为，已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，直三棱柱的底面为直角三角形，，，，P是上一动点，则的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．
二、多项选择题（在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分）
9．在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
10．某市举办了“爱国爱党”知识竞赛.把1000名参赛者的成绩（满分100分，成绩取整数）按，，，分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（ ）
A．的值为0.035
B．估计这组数据的众数为90
C．估计这组数据的第70百分位数为89
D．估计成绩低于80分的有350人
11．在中，有如下四个命题，其中正确的是（ ）
A．若，则为锐角三角形
B．内一点满足，则是的重心
C．若，则的形状为等腰三角形
D．若，则必为的垂心
第II卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则
13．如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高 .
14．某单位有男职工30人，女职工70人，其中男职工平均年龄为40岁，方差为4，女职工平均年龄为35岁，方差是6，则该单位全体职工的方差为 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15（13分）．已知复数.
(1)若m = 0，求|z|；(2)若z是纯虚数，求m的值；(3)若z对应复平面上的点在第四象限，求m的范围.
16（15分）．在中，角的对边分别为，满足．
(1)求角；(2)若，，求的面积．
17（15分）．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为中点，.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
18（17分）．为形成节能减排的社会共识，促进资源节约型．环境友好型社会的建设，某市计划实行阶梯电价．调查发现确定阶梯电价的临界点是市民关注的热点问题．现从关注此问题的市民中随机选出200人，将这200人按年龄分组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组．作出频率分布直方图，如图所示．
(1)求图中a的值；
(2)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，请估计全市关注此问题的市民年龄的平均数；
(3)现在要从第一组和第二组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求从第二组中恰好抽到2人的概率．
19（17分）．如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点.
(1)求证：平面PBD；
(2)求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值；
(3)求D到平面APM的距离参考答案：
1．D
2．B
3．B
4．D
5．B
6．C
7．A
8．A
9．BD
10．ABD
11．BD
12．
【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．
【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
13．
【分析】通过直角可先求出的值，在由正弦定理可求的值，在中，由，，从而可求得的值．
【详解】在中，，，所以．
在中，，，从而，
由正弦定理得，，因此．
在中，，，得．
故答案为：．
14．10.65
【分析】利用由部分方差求总体方差的公式求解.
【详解】由题意得，该单位全体职工的平均年龄为岁，
则该单位全体职工的方差
.
故答案为：10.65
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据时，可求出复数，再根据复数模的概念求模；
（2）根据纯虚数的概念，可求出m 的值；
（2）实部大于零且虚部小于零得出m的范围.
【详解】（1）因为，所以；则；
（2）若是纯虚数，则，解得或且且，即；
（3）若z对应复平面上的点在第四象限，则，解得，
所以m的取值范围是.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得，求得，即可求解；
（2）根据题意，由余弦定理求得，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理，可得，
即，
因为，可得，所以，
又因为，所以.
（2）因为，，且
由余弦定理知，即，
解得，所以的面积为．
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接交于点，连接，即可得到，从而得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）连接交于点，连接，
由四边形为正方形，
可知为中点，为中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则 ，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18．(1)0.035
(2)41.5岁
(3)
【分析】（1）由频率分布直方图即可求出a的值
（2）由图得出同组中的每个数据所在组区间的中点值，即可求出全市关注此问题的市民年龄的平均数.
（3）求出第一组和第二组分层抽样的人数，再列出从这5人中随机抽取2人进行问卷调查的所有可能方法，得出第二组中恰好抽到2人的方法总数，即可求出从第二组中恰好抽到2人的概率.
【详解】（1）由题意及图得，组距=10，
，
解得：.
（2）由题意，（1）及图得，组距=10，
平均数为：，
∴全市关注此问题的市民年龄的平均数为41.5岁.
（3）由题意，（1）（2）及图得，组距=10，，
第一组人数：，
第二组人数：，
从第一组和第二组中用分层抽样的方法抽取5人，
∴第一组抽取：，
第二组抽取：，
从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，
设这五人分别为：，
则共有下列10种抽取方法：
，
其中从第二组中恰好抽到2人的为3种，，
∴从第二组中恰好抽到2人的概率为：，
∴从第二组中恰好抽到2人的概率为：.
19．(1)证明过程见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合相似三角形的判定定理和性质、线面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（3）利用空间点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】（1）因为，M为BC的中点，
所以，
因为四棱锥的底面是矩形，
所以，
所以，所以，
而，即，
因为底面ABCD，底面ABCD，
所以，而平面PBD，
所以平面PBD；
（2）因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
因为因为四棱锥的底面是矩形，
所以，建立如下图所示的空间直角坐标系，
，
因为平面ABCD，
所以平面ABCD的法向量为，
设平面APM的法向量为，
，，
于是有，
平面ABCD与平面APM所成角的余弦值为；
（3）由（2）可知平面APM的法向量为，，
所以D到平面APM的距离为
