选择必修 第一章 1.1.1 空间向量及其线性运算 课件(共27张PPT)

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选择必修 第一章
1.1.1 空间向量及其线性运算
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解空间向量及相关概念. 1.数学抽象素养和数学运算素养.
2.掌握空间向量线性运算的运算律． 2.数学抽象素养和数学运算素养.
3.理解共线向量定理、共面向量定理，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题. 3.数学建模素养和数学运算素养.
温故知新
1.平面向量的定义
2.两个平面向量加法与减法运算的法则分别是什么？
既有大小又有方向的量叫做向量.
平行四边形法则,
三角形法则.
新知引入
通过“平面向量及其应用”的学习，我们知道，平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，它们之间的平行、垂直、夹角、距离等关系可以通过平面向量运算而得到，从而有关平面图形的问题可以利用平面向量的方法解决.
在“立体几何初步”中，我们用综合几何方法研究了空间几何体的结构特征以及空间点、直线、平面的位置关系.一个自然地想法是，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量表示空间中点、直线、平面等基本元素，通过空间向量运算解决立体几何问题.在本章，我们就来研究这些问题.
在本章学习中，我们要注意利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理及其坐标表示，在此过程中体会平面向量与空间向量的共性和差异；在运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系的过程中，体会向量方法与综合几何方法的共性和差异；通过用向量方法解决数学问题和实际问题，感悟向量在研究几何问题中的作用.
新知探究
联想，用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动员呢？
下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的概念和表示开始.
在空间,具有大小和方向的量叫做空间向量（space vector）,
空间向量的大小叫做空间向量的长度或模（modulus）.
空间向量用小写黑体字母 …表示；模为…
起点
终点
与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模.如图，若向量的起点是A,终点是B,则向量也可记作，其模记为.
如图所示的正方体中，过一个顶点O的三条棱上的三条有向线段，,,它们是不共面的向量，即它们是不同在任何一个平面内的向量.
知新探究
平面向量 空间向量
零向量 单位向量 相等向量 相反向量 共线向量
类比平面向量，思考空间向量的有关概念
模为0的向量叫做零向量(zero vector).记为.
模为1的向量叫做单位向量(unit vector).常记为.
方向相同且模相等的向量叫做相等向量(equal vector).记作.
与向量长度相等且方向相反的向量叫做的相反向量.记为.
【规定】：零向量与任何向量共线.
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量(collinear vector)或平行向量(parallel vector).
记作.
【规定】：零向量与任何向量共线.
知新探究
注意：
①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性；
②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1；
③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，而且方向也相同.若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量.
知新探究
在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间向量是自由向量，所以对于空间中的两个非零向量，我们都可以通过平移使他们的起点重合.因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的向量.
如图，已知空间向量，，以任意点O为起点，作向量=，=，我们就可以把它们平移到同一个平面α内.
数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是研究
它的运算.由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同
一个平面的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算.由此，我们把平面向量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加法、减法以及数乘运算.
知新探究
⑴空间向量加法运算：
A
B
C
O
①三角形法则;
②平行四边形法则.
⑵空间向量减法运算：.
⑶空间向量数乘运算：
当；
当；
当.
A
O
Q
P
M
N
想一想，向量线性运算的结果，与向量的起点的选择有关系吗
没有关系！
知新探究
与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以下运算律(其中λ，μ∈R):
交换律: ;
结合律: ;.
分配律:(λ+μ)+μ ,(＋)=.
你能证明这些运算律吗 证明结合律时，与证明平面向量的结合律 有什么不同？
a
b
c
A
C
a
b
+
a
b
c
A
B
C
b
c
+
a
b
+
c
+
(
)
a
b
+
c
+
(
)
由以上证明可以看出，证明空间向量的加法结合律时，由于三个向量可能不同在任何一个平面内，因此证明方法与平面向量有所区别.对于空间向量线性运算的其他运算律，它们都只涉及同一平面内的向量，因此证明方法与平面向量相同.
知新探究
如图,在平行六面体ABCD -A'B'C'D'中，分别标出
++，++表示的向量.从中你能体会
向量加法运算的交换律和结合律吗 一般地，三个不共
面的向量的和与这三个向量有什么关系
A
B
C'
B'
A'
D
C
D'
可以发现：+=+.
一般地，对于三个不共面的向量以任意点О为起点，为邻边作平行六面体，则的和等于以О为起点的平行六面体对角线所表示 的向量．
利用向量的交换律和结合律，可以得到：
有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.
知新探究
对任意两个空间向量，如果=λ (λ∈R)，有什么位置关系 反过来，
与有什么位置关系时，=λ
类似于平面向量共线的充要条件，
共线向量定理 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一实数λ，使a＝λb.
我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量(directioon vector).这样，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的的方向向量表示.也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定.
如图，O是l上一点，在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得
=λa
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.
知新探究
如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.
a
a
a
α
O
A
l
如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量(coplanar vectors).
我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面，也可能是不共面的.那么，什么情况下三个空间向量共面呢？
b
.
O
α
c
p
知新探究
平面内任意两个不共线向量a，b，由平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一个向量p可以写成p=xa+yb，其中 (x,y)是唯世确定的有序实数对.
对两个不共线的空间向量a，b，如果p=xa+yb，那么向量p与向量a，b有什么位置关系 反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，p=xa+yb
可以发现，
空间共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯的有序实数对(x,y),使 p=xa＋yb.
新知探究
空间共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯的有序实数对(x,y),使 p=xa＋yb.
证明：
⑴必要性，如果向量p与向量a，b共面，则通过平移一定可以使它们位于同一平面内.由平面向量基本定理可知，
存在唯一的实数对(x,y)，使得p=xa＋yb.
⑵充分性，如果向量p满足p=xa＋yb，则可选定一点O ，
O
A
C
B
作=xa,=yb,
于是=xa＋yb=p.
显然都在平面OAB内，则向量p，a，b共面.
新知探究
【例1】如图，已知四面体OABC,M,N分别是OA,BC的中点，点G在MN上，且MG=2GN,设=a,=b,=c,试用a,b,c表示向量.
解：
=
=
=
=
=.
新知探究
【例2】如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC外点O
作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,F,G,H,使
，求证：E,F,G,H四点共面.
O
A
B
C
D
E
F
G
H
分析:欲证E,F,G,H四点共面，只需证明共面．而由已知共面，可以利用向量运算由共面的表达式推得共面的表达式.
选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量运算得出几何元素的关系，是解决立体几何问题的常用方法．
新知探究
【例2】如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC外点O
作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,F,G,H,使
，求证：E,F,G,H四点共面.
O
A
B
C
D
E
F
G
H
证明：
因为，
所以,
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以.
.
又过同一点E,从而E,F,G,H四点共面.
新知探究
证明空间向量共面或四点共面的方法
选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量运算得出几何元素的关系，是解决立体几何问题的常用方法.
⑴向量表示:设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合,即若p=xa＋yb(a，b不共线),则向量p，a，b共面.
⑵若存在有序实数组(x,y,x)使得对于空间任一点O,有
且x+y+z=1成立，则P,A,B,C四点共面.
⑶利用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行.
初试身手
1.如图，E，F分别是长方体ABCD -A'B'C'D'的棱AB，CD的中点．化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量:
⑴ ; ⑵ +;
⑶; ⑷.
⑴-==;
解：
⑵+=+=;
⑶=;
⑷=.
初试身手
2.已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，
求证：A，B，C，D四点共面．
设,则e1＋e2=x(2e1＋8e2)+y(3e1－3e2)
=(2x+3y)e1+(8x-3y)e2
证明：
∵非零向量e1，e2不共线，
∴,
解得.
即，
则A，B，C，D四点共面．
初试身手
3.在空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点,求证:向量与、共面.
方法1：设BD的中点为G,连接EG,GF,
证明：
∵E、F分别是AB、CD的中点,
∴EG∥AD,GF∥BC,
由空间向量共面的定义可得，向量共面.
方法2：设BD的中点为G,连接EG,GF,
则向量共面.
A
B
C
D
E
F
G
∴,
课堂小结
1.空间向量的基本概念
2.空间向量的运算及运算律
3.共线向量（平行向量）的概念及空间向量共线的充要条件
4.共面向量的概念及向量共面的充要条件
作业布置
作业： P5 练习 第5题
P9-10 习题1.1 第2，3，5,6题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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