选择必修 第一章 1.1.2 空间向量的数量积运算 课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
选择必修 第一章
1.1.2 空间向量的数量积运算
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解空间向量的夹角的概念. 1.空间抽象素养.
2.掌握空间向量数量积的概念、性质、计算方法及运算规律． 2.空间抽象素养和数学运算素养.
3.会用两个向量数量积解决立体几何中的一些简单的问题. 3.逻辑推理素养和数学运算素养.
温故知新
1.平面向量的夹角
2.平面向量的垂直
已知两个非零向量是平面是上的任意一点，作，则叫做向量与 的夹角.记作.
如果与的夹角是，我们就说与垂直，记作.
3.向量的投影向量
已知两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量积叫做
向量与 的数量积（或内积），记作，即 .
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
4.平面向量的数量积
如图，设是两个非零向量， 过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到我们称上述变换为向量投影， 叫做向量上的投影向量.
新知探究
由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以象平面向量那样来定义.
如图，已知两个非零向量a，b,在空间任取一点O、作=a，=b,则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作.
如果=,那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b.
通常规定,
0≤≤π.这样，两个向量的夹角是唯一确定的，且=.
新知探究
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos叫做a，b的数量积(inner product)，记作a·b.即
a·b=|a||b|cos.
结果为数值
特别地，零向量与任意向量的数量积为0.
由向量的数量积定义，可以得到：
a⊥b a b=0;
a·a= |a||a|cos=|a|2.
证明垂直
求长度
a·a也记作a2.
知新探究
在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影，类似地，在空间，向量a向向量b的投影有什么意义？向量a向直线l的投影呢？向量a向平面β的投影呢？
如图， 在空间,向量a向向量b投影,由于它们是自由向量,因此可以将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c，
.
向量c称为向量a在向量b上的投影向量.
知新探究
类似地,如图，可以将向量a向直线l投影.
如图，向量a向平面β投影,就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A',B',得到向量 ,向量称为向量a在平面β上的投影向量.这时,向量a, 的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.
知新探究
空间向量数量积的运算律
(λa) b=λ(a b)，λ∈R
a b=b a(交换律)
a (b+c)=a b+a c(分配律)
注意：数量积不满足结合律.
即(a b) c≠a (b c)
知新探究
1.对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=ac,则b=c.对于向量a,b,c,由a b=a c能得到b=c吗 如果不能,请举出反例.
2.对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=c,则（或）.对于向量a,b,若a·b=k,能否写成(或 )的形式
3.对于三个均不为0的数a,b,c,有(ab)c=a(bc).对于向量a,b,c,(a b)c=a(b c)成立吗 也就是说,向量的数量积满足结合律吗
1.对于三个向量，由 =不能得到=c.例如：如图所示，在长方体ABCD-中，向量与向量都垂
直，因此=0，显然， 不相等.
事实上，由 =得- =,进而得
，即向量与c垂直，但不一定有另外，当=0时，有 ==0，此时也不一定有.
知新探究
2.由，不能写成或的形式，即向量没有除法运算.向量有加法、减法、数乘和数量积运算，没有实数除以向量和向量除以向量的运算.
3.对于向量,c，()c= (b不成立，也就是说，向量数量积运算不满足结合律.
例如：任意取三个不共面的向量,c，其中,c不共线，(b是一个数与向量做数乘运算，()c是一个数与向量做数乘运算,而向量,c不共线，所以()c与(b不相等.
数量积的运算只满足交换律，分配律及数乘结合律，但不满足乘法结合律，即(a b)c不一定等于a(b c)．这是由于(a b)c表示一个与c共线的向量，而
a(b c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
新知探究
【例1】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求向量的夹角的大小.
解：
方法1:∵,
∵△D1AC为等边三角形，
∴,即,
分析:求两个向量的夹角,可以把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合,从而转化为求平面角的大小;也可以用两个向量的数量积定义a·b=|a||b|cos ,求出cos =的值,然后确定的大小.
∴即为向量的夹角，
则向量的夹角为.
新知探究
【例1】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求向量的夹角的大小.
解：
方法2：设正方体的棱长为1，则
又,,
=0+1+0+0=1
∴,
∵,
∴,
则向量的夹角为.
新知探究
两个非零向量夹角求法的两个途径：
1.转化求角：把向量夹角转化为平面几何中的对应角,利用解三角形的知识求解.
2.利用数量积求夹角:
⑴求向量数量积及向量的模；
⑵运用公式cos =利用数量积求向量夹角的余弦值；
⑶利用向量的夹角求分弦值，继而求角的大小．
注意：可以用非零向量夹角的求法，求异面直线所成的角.
①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；
②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题.
初试身手
1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°,AB=BC=1,AA1= ,求异面直线BA1与AC所成角的余弦值.
解：
∵,,
且0,AB=1
∴=-1
又,,
∴,
∵异面直线所成角的范围是(0,]，
∴异面直线BA1与AC所成角的余弦值为.
新知探究
【例2】如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D中,AB=5,AD=3,AA'=7,∠BAD=60°,
∠BAA'=∠DAA'=45°.求:
⑴ ； ⑵AC'的长(精确到0.1).
解：
⑴
=7.5.
⑵
.
所以AC'≈13.3.
新知探究
利用空间向量求线段的长度或两点的距离：
由于空间向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，空间图形的许多性质可以向量的线性运算及数量积运算表示出来，因此立体几何中的许多问题可以用向量运算的方法加以解决.
⑴结合图形将所求线段用向量表示；
⑵用已知模和夹角的向量表示该向量；
⑶利用，通过计算求出，即得所求线段的长度或两点间的距离．
初试身手
2.如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A,B,AC,BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段.又AB=4,AC=6,BD=8,求CD的长.
解：
∵CA AB,BD AB,
∴,
∵,且0,0,
∴
=68.
∴,即CD的长为.
新知探究
【例3】如图，m，n是平面α内的两条相交直线，直线l与α的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α.
分析：要证明l⊥α,就是要证明l垂直于α内的任意内的任意一条直线g(直线与平面垂直的定义).如果我们能在g和m,
n之间建立某种联系,并由l⊥m,l⊥n,得到l⊥g,那么就能解决此问题.
新知探究
【例3】如图，m，n是平面α内的两条相交直线，直线l与α的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α.
证明：
在平面α内作任意一条直线g,分别在直线l,m,n,g上取非零向量l,m,n,g.
由向量共面的充要条件可知，
存在唯一的有序买数对(x,y),使
将上式两边分别与向量l作数量积运算,得
因为l·m=0,l·n=0,所以l · g=0.
g=xm+yn.
所以l⊥g.
这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线,所以l⊥α.
因为直线m与n相交,所以向量m,n不平行.
l · g=xl·m+yl·n.
例3即为直线与平面垂直的判定定理的证明过程.尝试用综合几何证明这个定理，并比较两种方法，你能从中体会到向量方法的优越性吗？
初试身手
3.如图所示，在三棱锥中A-BCD，DA，DB，DC两两垂直，且DB=DC=DA=2，E为BC的中点.
⑴证明：AE⊥BC;
⑵求直线AE与DC所成角的余弦值.
⑴证明：∵DA，DB，DC两两垂直,
∴
=
==0.
又∵
,
∴,
则AE⊥BC.
初试身手
3.如图所示，在三棱锥中A-BCD，DA，DB，DC两两垂直，且DB=DC=DA=2，E为BC的中点.
⑴证明：AE⊥BC;
⑵求直线AE与DC所成角的余弦值.
⑵∵
解：
∴.
==2.
而.
=
则直线AE与DC所成角的余弦值为.
课堂小结
1.空间向量的夹角、数量积、投影向量
已知两个非零向量a，b,在空间任取一点O、作=a，=b,则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos叫做a，b的数量积.即a·b=|a||b|cos.
.
如图，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.
如图，可以将向量a向直线l投影.
如图，向量a向平面β投影,就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A',B',得到向量 ,向量称为向量a在平面β上的投影向量.这时,向量a, 的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.
课堂小结
2.空间向量数量积的运算律
(λa) b=λ(a b)，λ∈R
a b=b a(交换律)
a (b+c)=a b+a c(分配律)
3.利用空间向量的数量积解的三类问题：长度、夹角、位置关系.
作业布置
作业： P9-10 习题1.1 第4，7，8,9题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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