选择必修 第一章 1.2 空间向量基本定理 课件(共28张PPT)
文档属性
| 名称 | 选择必修 第一章 1.2 空间向量基本定理 课件(共28张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-07 09:37:34 | ||
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文档简介
(共28张PPT)
选择必修 第一章
1.2 空间向量基本定理
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解空间向量基本定理及其意义. 1.数学抽象素养和空间想象素养.
2.掌握空间向量的正交分解.会在简单问题中选用空间三个不共线向量作基底表示其他向量的方法 2.数学抽象素养和数学运算素养.
3.会用空间向量基本定理证明平行、垂直问题和求夹角. 3.直观想象素养和数学运算素养.
温故知新
1.平面向量共线定理
2.平面向量共面定理
3.平面向量基本定理
对空间中任意两个向量， 的充要条件是存在实数，使.
如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在实数对(x，y)，使得.
如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使
把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
温故知新
4.平面向量的正交分解及坐标表示
如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底.单位正交基底：.
∟
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量作正交分解.
特殊情形：,称为单位正交基底 .
对平面内任一向量,由平面向量基本定理知，有且只有一对实数,使得
这样，平面内任一向量都可以由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的坐标，记作
新知探究
类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量a,b,c来表示呢？
我们先从三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况进行讨论.
x
y
z
k
i
j
Q
P
O
如图，设i,j,k是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点O. 对于空间任意一个向量p=，设点Q为点P在i,j所确定的平面上的正投影，由平面基本定理可知，在，k所确定的平面上，存在实数z，使得= +zk，而在i,j所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在有序数对(x,y)，使得=xi+yj.从而
= +zk=xi+yj+zk.
因此，如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量，对空间任一个向量p，存在一个有序实数组(x，y，z)，使得
p=xi+yj+zk
我们称xi,yj,zk为向量p在i,j,k上的分向量.
你能证明唯一性吗？
新知探究
x
y
z
k
i
j
Q
P
O
假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x′，y′，z′)，使得p＝x′i＋y′j＋z′k，则x′i＋y′j＋z′k＝xi＋yj＋zk.
不妨设x′≠x，则(x′－x)i＝(y－y′)j＋(z－z′)k.
唯一性证明提示：
由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，这与已知矛盾.所以有序实数组(x，y，z)是唯一的.
新知探究
请你自己给出空间向量基本定理的证明.
在空间中，如果任意三个不共面的向量a，b，c代替两两垂直的向量 i, j, k，你能得出类似的结论吗
类似平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理．
空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z）.使得
p=xa+yb+zc.
由此可知，如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间
向量组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}.这个集合可
看作由向量a，b，c 生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底(base)，a，b，c都叫做基向量(base vectors).
空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
新知探究
对于基底{a，b，c} ，除了应知道向量a，b，c 不共面，还应明确：
⑴空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同.
⑵因为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是.
⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念.
推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使,当且仅当x+y+z=1时，P、A、B、C四点共面.
知新探究
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 { i, j, k } 表示.
由空间向量基本定理可知对空间任一个向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a=xi+yj+zk.
像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
由空间向量基本定理可知，如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个基本向量表示出来.
进一步地，所有空间向量间的运算都可以转化为基向量间的运算，这位解决问题带来方便.
新知探究
【例1】如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN=ON,AP=AN,用向量表示.
解：
.
.
.
分析:是三个不共线向量，它们构成空间的一个基底
{}，可以用基底{}表示出来.
.
.
A
B
C
M
N
P
O
新知探究
用基底表示向量时：
⑴若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律；
⑵若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.
⑶用基底表示空间向量时,一般要结合图形,运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则,以及数乘向量的运算法则,逐步向基向量过渡,直至全部用基向量表示.
初试身手
1.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点.
⑴用向量a，b，c表示；
解：
如图，连接AC，EF，D1F，BD1，
=a-b-c
.
.
.
初试身手
1.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点.
⑵若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值.
解：
=(c-a-b-c)
.
=a-b-c.
又＝xa＋yb＋zc，
∴x=，y=-，z=-1.
新知探究
【例2】如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=4，AA1=5，∠DAB
=60 ，∠BAA1=60 ，∠DAA1=60 ，M，N分别为D1C1，C1B1的中点.
求证：MN⊥AC1.
分析：要证MN⊥AC1，只需=0.由已知，{}可构成空间的一个基底，把分别用基底表示，然后计算即可.
A
B
C
D
M
N
B1
A1
C1
D1
新知探究
【例2】如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=4，AA1=5，∠DAB
=60 ，∠BAA1=60 ，∠DAA1=60 ，M，N分别为D1C1，C1B1的中点.
求证：MN⊥AC1.
证明：
设=a,=b,=c.这三个向量不共面，{a，b，c}
构成空间的一个基底.我们用它们表示，则
=a-b,
=a+b+c.
∴
=
=.
则MN⊥AC1.
A
B
C
D
M
N
B1
A1
C1
D1
=0.
新知探究
应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等.
首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示.
⑴若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0;
⑵若证明线线平行,只需证明两向量共线；
⑶若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角)．
初试身手
2.如图，已知在直三棱柱ABC A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点.
⑴求证：CE⊥A′D；
证明：设,这三个向量不共面，则
|a|=|b|=|c|,且=0,
∴=b+c,
∴
=0.
∴，即CE⊥A′D.
B
C
A
B
A
C
E
D
=-a+b-c,
初试身手
2.如图，已知在直三棱柱ABC A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点.
⑵求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
解：∵
∴,
由⑴得,
∴.
∴异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.
B
C
A
B
A
C
E
D
∴,
新知探究
【例3】如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，E，F，G分别为C′D′，A′D′，D′D的中点.
⑴求证：EF//AC；
⑵求CE与AG所成角的余弦值.
分析：⑴要证明EF//AC，只需证明与共线.设,则{,,}构成空间的一个单位正交基底，把与分别用基向量表示，作相应的运算证明它们共线即可.
⑵要求CE与AG所成角的余弦值，只需求，所成角的余弦值即可.
A′
B′
C′
D′
A
B
C
D
G
E
F
O
新知探究
【例3】如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，E，F，G分别为C′D′，A′D′，D′D的中点.
⑴求证：EF//AC；
⑵求CE与AG所成角的余弦值.
A′
B′
C′
D′
A
B
C
D
G
E
F
⑴证明：设,则{}构成空间的一个单位正交基底，所以
,
,
∴.
则EF//AC.
新知探究
【例3】如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，E，F，G分别为C′D′，A′D′，D′D的中点.
⑴求证：EF//AC；
⑵求CE与AG所成角的余弦值.
A′
B′
C′
D′
A
B
C
D
G
E
F
O
⑵解：∵，
,
∴.
则CE与AG所成角的余弦值为.
初试身手
3.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,BD的中点,点G在棱CD上,且CG=CD.
⑴证明：EF⊥B1C;
⑵求EF与C1G所成角的余弦值.
⑴证明：设=i,=j,=k,则{i，j，k}构成一个空间正交基底.
.
∴=0,
∴.
则EF⊥B1C.
初试身手
3.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,BD的中点,点G在棱CD上,且CG=CD.
⑴证明：EF⊥B1C;
⑵求EF与C1G所成角的余弦值.
⑵解：∵.
∴.
.
.
∴3.
则EF与C1G所成角的余弦值为.
课堂小结
1.空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z）.使得
p=xa+yb+zc.
把三个不共面的向量{a，b，c}叫做空间的一个基底，
a，b，c都叫做基向量.
2.空间向量的正交分解
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 { i, j, k } 表示.由空间向量基本定理可知对空间任一个向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a=xi+yj+zk.
像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
作业布置
作业： P15 习题1.2 第3，4，,5，6,7题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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选择必修 第一章
1.2 空间向量基本定理
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解空间向量基本定理及其意义. 1.数学抽象素养和空间想象素养.
2.掌握空间向量的正交分解.会在简单问题中选用空间三个不共线向量作基底表示其他向量的方法 2.数学抽象素养和数学运算素养.
3.会用空间向量基本定理证明平行、垂直问题和求夹角. 3.直观想象素养和数学运算素养.
温故知新
1.平面向量共线定理
2.平面向量共面定理
3.平面向量基本定理
对空间中任意两个向量， 的充要条件是存在实数，使.
如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在实数对(x，y)，使得.
如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使
把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
温故知新
4.平面向量的正交分解及坐标表示
如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底.单位正交基底：.
∟
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量作正交分解.
特殊情形：,称为单位正交基底 .
对平面内任一向量,由平面向量基本定理知，有且只有一对实数,使得
这样，平面内任一向量都可以由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的坐标，记作
新知探究
类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量a,b,c来表示呢？
我们先从三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况进行讨论.
x
y
z
k
i
j
Q
P
O
如图，设i,j,k是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点O. 对于空间任意一个向量p=，设点Q为点P在i,j所确定的平面上的正投影，由平面基本定理可知，在，k所确定的平面上，存在实数z，使得= +zk，而在i,j所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在有序数对(x,y)，使得=xi+yj.从而
= +zk=xi+yj+zk.
因此，如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量，对空间任一个向量p，存在一个有序实数组(x，y，z)，使得
p=xi+yj+zk
我们称xi,yj,zk为向量p在i,j,k上的分向量.
你能证明唯一性吗？
新知探究
x
y
z
k
i
j
Q
P
O
假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x′，y′，z′)，使得p＝x′i＋y′j＋z′k，则x′i＋y′j＋z′k＝xi＋yj＋zk.
不妨设x′≠x，则(x′－x)i＝(y－y′)j＋(z－z′)k.
唯一性证明提示：
由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，这与已知矛盾.所以有序实数组(x，y，z)是唯一的.
新知探究
请你自己给出空间向量基本定理的证明.
在空间中，如果任意三个不共面的向量a，b，c代替两两垂直的向量 i, j, k，你能得出类似的结论吗
类似平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理．
空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z）.使得
p=xa+yb+zc.
由此可知，如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间
向量组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}.这个集合可
看作由向量a，b，c 生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底(base)，a，b，c都叫做基向量(base vectors).
空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
新知探究
对于基底{a，b，c} ，除了应知道向量a，b，c 不共面，还应明确：
⑴空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同.
⑵因为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是.
⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念.
推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使,当且仅当x+y+z=1时，P、A、B、C四点共面.
知新探究
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 { i, j, k } 表示.
由空间向量基本定理可知对空间任一个向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a=xi+yj+zk.
像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
由空间向量基本定理可知，如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个基本向量表示出来.
进一步地，所有空间向量间的运算都可以转化为基向量间的运算，这位解决问题带来方便.
新知探究
【例1】如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN=ON,AP=AN,用向量表示.
解：
.
.
.
分析:是三个不共线向量，它们构成空间的一个基底
{}，可以用基底{}表示出来.
.
.
A
B
C
M
N
P
O
新知探究
用基底表示向量时：
⑴若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律；
⑵若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.
⑶用基底表示空间向量时,一般要结合图形,运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则,以及数乘向量的运算法则,逐步向基向量过渡,直至全部用基向量表示.
初试身手
1.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点.
⑴用向量a，b，c表示；
解：
如图，连接AC，EF，D1F，BD1，
=a-b-c
.
.
.
初试身手
1.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点.
⑵若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值.
解：
=(c-a-b-c)
.
=a-b-c.
又＝xa＋yb＋zc，
∴x=，y=-，z=-1.
新知探究
【例2】如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=4，AA1=5，∠DAB
=60 ，∠BAA1=60 ，∠DAA1=60 ，M，N分别为D1C1，C1B1的中点.
求证：MN⊥AC1.
分析：要证MN⊥AC1，只需=0.由已知，{}可构成空间的一个基底，把分别用基底表示，然后计算即可.
A
B
C
D
M
N
B1
A1
C1
D1
新知探究
【例2】如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=4，AA1=5，∠DAB
=60 ，∠BAA1=60 ，∠DAA1=60 ，M，N分别为D1C1，C1B1的中点.
求证：MN⊥AC1.
证明：
设=a,=b,=c.这三个向量不共面，{a，b，c}
构成空间的一个基底.我们用它们表示，则
=a-b,
=a+b+c.
∴
=
=.
则MN⊥AC1.
A
B
C
D
M
N
B1
A1
C1
D1
=0.
新知探究
应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等.
首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示.
⑴若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0;
⑵若证明线线平行,只需证明两向量共线；
⑶若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角)．
初试身手
2.如图，已知在直三棱柱ABC A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点.
⑴求证：CE⊥A′D；
证明：设,这三个向量不共面，则
|a|=|b|=|c|,且=0,
∴=b+c,
∴
=0.
∴，即CE⊥A′D.
B
C
A
B
A
C
E
D
=-a+b-c,
初试身手
2.如图，已知在直三棱柱ABC A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点.
⑵求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
解：∵
∴,
由⑴得,
∴.
∴异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.
B
C
A
B
A
C
E
D
∴,
新知探究
【例3】如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，E，F，G分别为C′D′，A′D′，D′D的中点.
⑴求证：EF//AC；
⑵求CE与AG所成角的余弦值.
分析：⑴要证明EF//AC，只需证明与共线.设,则{,,}构成空间的一个单位正交基底，把与分别用基向量表示，作相应的运算证明它们共线即可.
⑵要求CE与AG所成角的余弦值，只需求，所成角的余弦值即可.
A′
B′
C′
D′
A
B
C
D
G
E
F
O
新知探究
【例3】如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，E，F，G分别为C′D′，A′D′，D′D的中点.
⑴求证：EF//AC；
⑵求CE与AG所成角的余弦值.
A′
B′
C′
D′
A
B
C
D
G
E
F
⑴证明：设,则{}构成空间的一个单位正交基底，所以
,
,
∴.
则EF//AC.
新知探究
【例3】如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，E，F，G分别为C′D′，A′D′，D′D的中点.
⑴求证：EF//AC；
⑵求CE与AG所成角的余弦值.
A′
B′
C′
D′
A
B
C
D
G
E
F
O
⑵解：∵，
,
∴.
则CE与AG所成角的余弦值为.
初试身手
3.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,BD的中点,点G在棱CD上,且CG=CD.
⑴证明：EF⊥B1C;
⑵求EF与C1G所成角的余弦值.
⑴证明：设=i,=j,=k,则{i，j，k}构成一个空间正交基底.
.
∴=0,
∴.
则EF⊥B1C.
初试身手
3.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,BD的中点,点G在棱CD上,且CG=CD.
⑴证明：EF⊥B1C;
⑵求EF与C1G所成角的余弦值.
⑵解：∵.
∴.
.
.
∴3.
则EF与C1G所成角的余弦值为.
课堂小结
1.空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z）.使得
p=xa+yb+zc.
把三个不共面的向量{a，b，c}叫做空间的一个基底，
a，b，c都叫做基向量.
2.空间向量的正交分解
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 { i, j, k } 表示.由空间向量基本定理可知对空间任一个向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a=xi+yj+zk.
像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
作业布置
作业： P15 习题1.2 第3，4，,5，6,7题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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