选择必修 第一章 1.3.1 空间间直角坐标系 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
选择必修 第一章
1.3.1 空间直角坐标系
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.了解空间直角坐标系，并掌握空间直角坐标系的画法，感受建立空间直角坐标系的必要性. 1.数学类比素养和空间想象素养.
2.会在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标. 2.数学抽象素养和数学运算素养.
温故知新
1.空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z）.使得
p=xa+yb+zc.
把三个不共面的向量{a，b，c}叫做空间的一个基底，
a，b，c都叫做基向量.
空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
温故知新
2.平面向量的正交分解及坐标表示
如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底.单位正交基底：.
∟
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量作正交分解.
特殊情形：,称为单位正交基底 .
对平面内任一向量,由平面向量基本定理知，有且只有一对实数,使得
这样，平面内任一向量都可以由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的坐标，记作
新知探究
学习了空间向量基本定理，建立了“空间基底”的概念，我们就可以利用基底表示任意一个空间向量，进而把空间向量的运算转化为基向量的运算. 所以，基底概念的引入为几何问题代数化奠定了基础.
在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算.
类似地，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？
平面向量
空间向量
新知探究
我们知道，平面直角坐标系由平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成.利用单位正交基底概念，我们还可以这样理解平面直角坐标系.
如图，在平面内选取一点O和一个单位正交基底{i,j}，以O为原点，分别以i,j 的方向为正方向,以它们的长度为单位长度两条数轴：x轴、y轴，那么就建立了平面直角坐标系Oxy.
x
y
z
i
j
k
O
类似地，在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k }（如图）.以点О为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
在空间直角坐标系中O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，
通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分.
新知探究
空间直角坐标系画法.
在空间中，在x、y轴的基础上添加与x、y轴都垂直的z轴.
借鉴斜二测画法，在画空间直角坐标系Oxy时，让x轴与y轴所成的角为135°(或45°)，即∠xOy=135°(或45°)，画z轴和y轴垂直，即∠yOz=90°.如图所示，
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
y
x
z
新知探究
在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可用一对有序实数（即它的坐标）表示.对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？
z
如图，在空间直角坐标系Oxyz中，,,为坐标向量，对空间任意一点A,对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(,,)，使
=+＋.
在单位正交基底{i,j,k}下与向量对应的有序实数组(x,y,z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z).其中x叫做横坐标，y叫做纵坐标，z叫做竖坐标.
横坐标
竖坐标
纵坐标
记作A(x, y, z).
知新探究
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量，作=
(如图)．由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z),使
.
有序实数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系O中的坐标，上式可简记作
.
符号(x,y, z)具有双重意义，它既可以表示向量，也可以表示点，在表述时要注意区分.
这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示.
知新探究
在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任意一点A，或任意一个向量,你能借助几何直观确定它们的坐标(x,y, z)吗？
事实上，如图，过点A分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面,依次交x轴、y轴和z轴于点B，C和D.
可以证明在x轴、y轴、z轴上的投影向量分别为,，，且 =+＋.
E
你能给出证明吗？
,
.
设点B，C和D在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x，y和z，那么点A(向量）的坐标为(x,y,z).
这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示.
知新探究
确定空间中一个点A或任意一个向量a的坐标的方法：
点A的坐标
给定的向量 的坐标
的坐标


应用空间向量基本定理确定坐标
根据几何直观确定 在各坐标轴上的投影向量，从而求得坐标
新知探究
【例1】如图，在长方体OABC－D A B C 中，OA=3,OC=4,OD =2,以{, }为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
⑴写出D ，C ，A ，B 四点的坐标；
⑵写出向量， ， ， 坐标.
解：
⑴因为点D'在z轴上，且OD'=2，所以.
所以点D'的坐标是（0,0,2）.
同理点C的坐标是（0,4,0）.
点A'在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A,O,D',它们在坐标轴上的坐标分别为3,0,2,所以点A'的坐标是(3,0,2).
点B'在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A,C,D,它们在坐标轴上的坐标分别为3,4,2,所以点B'的坐标是(3,4,2).
新知探究
【例1】如图，在长方体OABC－D A B C 中，OA=3,OC=4,OD =2,以{, }为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
⑴写出D ，C ，A ，B 四点的坐标；
⑵写出向量， ， ， 坐标.
解：
⑵=0i+4j+0k=(0，4，0)；
=0i+0j－2k=(0，0，－2)；
=－3i+4j+0k=(－3，4，0)；
=－3i+4j+2k=(－3，4，2).
知新探究
特殊位置的点的坐标

O
x
y
z
1
1
1

A

D

C

B

E

F
点P的位置 原点O x轴上A y轴上B z轴上C
坐标形式
点P的位置 xOy面内D yOz面内E zOx面内F
坐标形式
(0，0，0)
(x，0，0)
(0，y，0)
(0，0，z)
(x,y,0)
(0,y,z)
(x,0,z)
坐标轴上的点至少有两个坐标等于0;
坐标面上的点至少有一个坐标等于0.
初试身手
1.如图，在直三棱柱ABC A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz.
⑴写出B，C1，B1，M，N五点的坐标；
解：
点B在y轴上，且CB＝1，所以＝0i＋j＋0k，
所以点B的坐标是(0,1,0)．
同理，点C1的坐标为(0,0,2)．
点B1在x轴、y轴、z轴上的射影分别为C，B，C1，它们在坐标轴上的坐标分别为0,1,2，所以点B1的坐标是(0,1,2)．
同理，点M的坐标为(，2)，点N的坐标为(1,0,1)．
初试身手
1.如图，在直三棱柱ABC A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz.
⑵写出向量，， 的坐标．
解：
＝i－j＋k＝(1，－1，1)，
1＝i－j＋2k＝(1，－1,2)．
＝(－1,1，－2)．
新知探究
【例2】在空间直角坐标系中给定点M(1，-2，3)．
⑴求它分别关于xOy平面和xOz平面的对称点；
⑵关于z轴和原点的对称点的坐标.
解：
⑴M(1，-2，3)关于坐标平面xOy对称的点是(1，-2，-3)，
M(1，-2，3)关于xOz面对称的点是(1，2，3).
⑵M(1，-2，3)关于z轴对称点的坐标是(-1，2，3)，
M(1，-2，3)关于坐标原点对称点的坐标是(-1，2，-3)．
新知探究
对称性
点P(x，y，z)
关于坐标平面xOy的对称点为______________；
关于坐标平面yOz的对称点为______________；
关于坐标平面xOz的对称点为______________；
关于x轴的对称点为______________；
关于y轴的对称点为______________；
关于z轴的对称点为______________．
P1(x，y，－z)
P2(－x，y，z)
P3(x，－y，z)
P4(x，－y，－z)
P5(－x，y，－z)
P6(－x，－y，z)
初试身手
2.在空间坐标系Oxyz中，点M(2,-3,-4)在坐标平面xOy，xOz，yOz内的投影的坐标分别为 ， ， ，关于原点的对称点为 ，关于x轴的对称点为 .
(2,-3,0)
(2,0,-4)
(0,-3,-4)
(-2,3,4)
(2,3,4)
课堂小结
1.空间直角坐标系
2.空间坐标系内点或向量的坐标表示
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k }.以点О为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
x
y
z
i
j
k
O
在空间直角坐标系中O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量.
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量，作=，
.即.
在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示.
作业布置
作业： P18 练习 第3题 P22 习题1.3 第2，3题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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