选择必修 第一章 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 课件

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选择必修 第一章
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.掌握空间向量线性运算和数量积的坐标表示． 1.比空间想象素养和数学运算素养.
2.掌握向量平行、垂直的坐标表示，并能解决相关的平行、垂直问题． 2.数学抽象素养和数学运算素养.
3.能熟练应用两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式. 3.数学运算素养.
温故知新
平面向量运算的坐标表示
设,则
= ；= ；
= ； = = ；
= = ；= = ；
= = ;
;
.
新知探究
有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？
设,,
与平面向量运算的坐标表示一样，我们有：
,
,
,
,
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示．
新知探究
设{i,j,k}为空间的一个单位正交基底，则
证明：,
=a1i+a2j+a3k，=b1i+b2j+b3k.
∴
因为,
∴ .
其他运算的坐标表示可以类似证明，请同学们自己完成.
由上可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示完全一致.
新知探究
例如，我们有：
一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
设,则.
类似平面向量运算的坐标表示，我们还可以得到：
⑴当时， .
注意：当时，不等价于.
因为的含义是的坐标分量b1,b2,b3至少有一个不为零,而非每个坐标分量都不为零.
例如，当与坐标平面Oxy平行时，b3=0，此时无意义.
因此只有在与三个坐标平面均不平行，即b1,b2,b3均不为零时才能有
.
新知探究
⑵ .
⑵,⑶,⑷都可以用，结合空间向量相应运算法则给出证明，请同学们自己完成.
⑶.
⑷.
新知探究
你能根据空间向量运算的坐标表示推导空间两点的距离公式吗？
如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，
设P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)是空间任意两点，则
O
x
y
z
P2
P1
,
于是
.
所以
.
这就是空间两点间的距离公式．
知新探究
1.设,,则
.
.
2.设P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)是空间任意两点，则
.
将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决夹角和距离的计算问题，而且可以使一些问题的解决变得简单．
新知探究
【例1】已知 ，求,，及
.
解：
.
.
.
.
.
初试身手
1.若向量，且满足条件，则x=________.
解：
∵，,
∴．
又∵，
∴2(1-x)=-2
解得 x=2.
新知探究
【例2】已知空间三点A(－2, 0, 2)，B(－1, 1, 2)，C(－3, 0, 4)，设,
．
⑴设,求；
⑵若,求k.
解：
⑴∵＝(－2, －1, 2)，且 ，
∴设＝λ＝(－2λ , －λ , 2λ)，得
||＝ ＝3|λ|＝3，
解得λ=±1，
∴ =（－2, －1, 2）或（2, 1, －2）.
新知探究
【例2】已知空间三点A(－2, 0, 2)，B(－1, 1, 2)，C(－3, 0, 4)，设,
．
⑴设,求；
⑵若,求k.
解：
⑵∵=（1,1,0）,=（-1,0,2），
∴=(k-1,k,2),=(k+2,k,-4)
∵，
∴
解得k=2或.
初试身手
2.已知A(-1,1,2)，B(1,0,-1)，点D在直线AB上，且，设C(λ,+λ,1+λ).若，则λ的值为( )
A. B. C. D.
解：
设D(x,y,z),则,
∵， ∴,
即,解得,D(,,0),,
∵，
∴,
解得λ=，故选B.
B
新知探究
【例3】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥DA1.
证明：
不妨设正方体的棱长1，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则
E(1,1,),F(,,1),
又A1(1,0,1),D(0,0,0)，
∴=(-,-,),
∴,
分析：要证明EF⊥DA1,只要证明,即证,
我们只要用坐标表示,并进行数量积运算即可.
∴=(1,0,1),
∴,即EF⊥DA1.
你能从本题的解答中体会到根据问题的特点，建立适当的空间直角坐标系，用向量表示相关元素，并通过向量及其坐标的运算求解问题的基本思路吗？
(1) 建立直角坐标系
(2)把点、向量坐标化
(3)对向量计算或证明
(4)结论
初试身手
3.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E1，F1分别在棱A1B1，C1D1上，
A1E1=A1B1, D1F1=C1D1, 求证：AE1//DF1.
证明：
如图所示,建立空间直角坐标系Oxyz,则
点A的坐标为（1,0,0）,点E1的坐标为（1，，1），
点F1的坐标为（0，，1）
∴(0,,1),（0，，1）,
∴，
又A,E1,D,F1不共线，
∴AE1//DF1.
O
A
B
C
y
D
A1
B1
C1
D1
F1
E1
x
新知探究
【例4】如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BC1的中点,E1,F1分别在棱A1B1,C1D1上,B1E1=A1B1, D1F1=C1D1 .
⑴求AM的长.
⑵求BE1与DF1所成角的余弦值.
解：
⑴如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz,则
于是,
AM=.
分析：⑴利用条件建立适当的空间直角坐标系，写出点A，M的坐标，利用空间两点间的距离公式求AM的长.
点A的坐标为（1,0,0）,点M的坐标为（，1，），
新知探究
【例4】如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BC1的中点,E1,F1分别在棱A1B1,C1D1上,B1E1=A1B1, D1F1=C1D1 .
⑴求AM的长.
⑵求BE1与DF1所成角的余弦值.
解：
⑵由已知，得
∴=(1,,1)-（1,1,0）=(0,,1),
=(0,,1)-(0,0,0)=(0,,1).
分析：⑵BE1与DF1所成角就是所成的角或它的补角，因此，可以通过的坐标运算得到结果.
B（1,1,0）,E1(1,,1)，D(0,0,0),F1(0,,1),
∴,,
新知探究
【例4】如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BC1的中点,E1,F1分别在棱A1B1,C1D1上,B1E1=A1B1, D1F1=C1D1 .
⑴求AM的长.
⑵求BE1与DF1所成角的余弦值.
∴.
.
∴
∴BE1与DF1所成角的余弦值为.
初试身手
4.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长AB=2,AB1⊥BC1,点O,O1分别为AC,A1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.
⑴求三棱柱的侧棱长；
⑵求异面直线AB1与BC所成角的余弦值.
解：
⑴设正三棱柱的侧棱长为h，由题意得
A(0,-1,0)，B(,0,0),B1(,0,h)，C1(0,1,h),
∴(,1,h),（，1，h）,
∴h=.
∵AB1⊥BC1，
∴=0,
初试身手
4.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长AB=2,AB1⊥BC1,点O,O1分别为AC,A1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.
⑴求三棱柱的侧棱长；
⑵求异面直线AB1与BC所成角的余弦值.
解：
⑵由⑴知
∴,=2,
(,1,),（，1，0）,
∴.
则异面直线AB1与BC所成角的余弦值为.
=-2,
课堂小结
1.空间向量运算的坐标表示
设,,
,
,
,
,
当时， .
.
.
.
2.空间向量位置关系的坐标表示
课堂小结
3.空间两点距离公式
设P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)是空间任意两点，则
.
作业布置
作业： P22 习题1.3 第4，5,6,8题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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