第四章数列章末检测卷（含解析）-2023-2024学年高二数学下学期人教A版2019选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 第四章数列章末检测卷（含解析）-2023-2024学年高二数学下学期人教A版2019选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 999.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-07 09:41:21 | ||
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文档简介
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第四章数列章末检测卷-2023-2024学年高二数学下学期人教A版2019选择性必修第二册
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若等差数列满足，则（ ）
A．3 B． C．1 D．
2．从集合中任意选出三个不同的数，若这三个数依次成等比数列，则这个等比数列公比为2的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．36 B．48 C．96 D．24
4．设正数数列的前项和为，且，则（ ）
A．是等差数列 B．是等差数列
C．单调递增 D．单调递增
5．某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
6．在等差数列中，公差，若，则（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
7．各项不为0等差数列中，且，则（ ）
A． B． C．0 D．2
8．已知数列的各项均为正数，，若表示不超过的最大整数，则（ ）
A．615 B．620 C．625 D．630
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设数列的前项和为，已知，，则（ ）
A． B．
C．数列是等比数列 D．数列是等比数列
10．已知数列满足，记为数列的前项和，则（ ）
A． B．
C． D．
11．等差数列中，，，若，，则（ ）
A．有最小值，无最小值 B．有最小值，无最大值
C．无最小值，有最小值 D．无最大值，有最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．数列的最小项的值为 .
13．在中，三边，，所对应的角分别是，，，已知，，成等比数列.若，数列满足前项和为， .
14．若数列满足，（，为常数，则称数列为调和数列．已知数列为调和数列，且，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知数列是公差不为0的等差数列，其前n项和为，，，，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，，求数列的前100项和．
16．在数列中，，．
(1)记，证明：为等比数列；
(2)记为的前项和，若是递增数列，求实数的取值范围．
17．已知等差数列与正项等比数列满足，且，20，既是等差数列，又是等比数列．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，数列的前n项和，满足对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18．已知数列的前n项和为，且．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)数列的每一项均为正数，，数列的前n项和为，当时，求n的最小值．
19．已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求证：；
(3)表示不超过x的最大整数，；
求（i）；
（ii）．
参考答案：
1．B
【分析】设等差数列的公差为，由通项公式写出和，都代入中，化简即可求出.
【详解】设等差数列的公差为，则，，
因为，可得，
所以有，解得，
故选：B.
2．C
【分析】根据给定条件，利用列举法，结合古典概率计算即得.
【详解】从集合中任意选出三个不同的数，这三个数依次成等比数列，它们是：
，共8个，
其中公比是2的等比数列为，共2个，
所以等比数列公比为2的概率是.
故选：C
3．B
【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式，结合等差数列性质计算即得.
【详解】等差数列中，由，得.
故选：B
4．D
【分析】先利用和的关系求出，进而得出，；再逐项判断即可.
【详解】依题意可得：，.
因为，
所以当时，，即，解得，
当时，，整理得：，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
从而， .
因为当时，，
当时，.
也适合上式，
所以，故选项A、B错误，选项D正确.
因为，
所以选项C错误.
故选：D.
5．C
【分析】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得每次还款后欠银行贷款，即第12次还款后欠银行贷款为，进而由等比数列的前项和公式可得，从而可得.
【详解】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得：
第1次还款后欠银行贷款为，
第2次还款后欠银行贷款为，
…，
第12次还款后欠银行贷款为
，
因为贷款12个月还清，所以，即，
所以.
故选：C.
6．D
【分析】根据题意，利用等差数列的通项公式和求和公式，列出方程，即可求解.
【详解】因为，可得，
所以，即，
又因为，所以.
故选：D．
7．C
【分析】根据题意结合等差数列性质分析可得，进而可得，即可得结果.
【详解】因为为等差数列，且，则，
设等差数列的公差为，
又因为，则，
可得，即，
则，即，可知，
所以.
故选：C．
8．C
【分析】根据等差数列的定义求出，再根据新定义对分情况求出，再求和可得答案.
【详解】因为，
所以，可得是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，因为数列的各项均为正数，
所以，因为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
，
则.
故选：C.
9．ABD
【分析】根据和求得，即得A项；由递推式消去，可推得，代值检验即得B项；由需检验即可否定C项；由递推式消去，可推得，即得D项正确.
【详解】对于A，，所以，故A正确；
对于B，因为，则，由，可得，
于是，故B正确；
对于C，由B分析，，但不满足，则不是等比数列，故C错误；
对于D，因为，所以，即是首项为1，公比为5的等比数列，故D正确.
故选：ABD.
10．BC
【分析】
利用递推公式列举前三项可判定A，利用递推公式作商可判定B，利用A、B的结论可判定C，根据数列的周期性可判定D.
【详解】
由题意得，，解得，故A错误；
由，则，两式相除得，故B正确；
由可得，，故C正确；
，故D错误.
故选：BC.
11．AD
【分析】
先利用等差数列的通项公式求得基本量，从而得到，利用它们的表达式进行分析即可得解.
【详解】设等差数列的公差为，
依题意，得，解得，
，
，
当时，有最小值无最大值，
而，
易得，，且，
当时，，
当时，有最大值，无最小值.
故选：AD.
12．
【分析】直接根据反比例函数的单调性即可得解.
【详解】令，得，
令，得，
所以当时，，当时，，
而函数在上单调递减，
所以当时，取得最小值，
即数列的最小项的值为.
故答案为：.
13．
【分析】利用等比中项及正弦定理、余弦定理求出B，再分奇偶求出，分组求和即可得解.
【详解】因为，，成等比数列，所以，即,
又，所以，即，
由知，所以，
，为偶数，
，为奇数，
所以
.
故答案为：
14．2
【分析】根据调和数列，可得为等差数列，即可根据等差数列求和公式得，进而利用不等式即可求解．
【详解】数列为调和数列，故，所以为等差数列，
由，所以，
故，所以，
故，故，
由于．
当且仅当时等号成立，故的最大值为2．
故答案为：2.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可求解通项，
（2）利用等差等比求和公式，结合分组求和即可求解.
【详解】（1）设数列的首项为，公差为，
根据题意得即
解得或．
又因，所以．
所以的通项公式为．
（2）由（1）得．
即数列的偶数项是以4为首项，4为公差的等差数列，
奇数项是以为首项，16为公比的等比数列．
数列的前100项中偶数项有50项，奇数项有50项，
数列的前100项和．
，
．
所以．
16．(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）根据题意递推公式结合等比数列定义分析证明；
（2）由（1）可得，进而可得，结合二次函数性质分析求解.
【详解】（1）因为，即，
则，且，
所以数列是以首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）可知：，即，
所以
，
可知，
若是递增数列，结合二次函数对称性可得，解得，
所以实数的取值范围为.
17．(1)，．
(2)
【分析】（1）根据条件得到，求出公比和公差，得到数列和的通项公式；
（2）法1：利用错位相减法求和得到，变形得到，构造，作差得到，求出实数的取值范围；
法2：裂项相消法得到，变形得到，构造，作差得到，求出实数的取值范围.
【详解】（1）因为，20，既是等差数列，又是等比数列，
故，20，的公差为0，公比为1，
所以．
又，设公差为d、公比为，
则，解得或（舍去），
所以，．
（2）法1：由（1）可得，
所以，
，
所以
，
所以．
因为对任意的，不等式恒成立，
即对任意的，不等式恒成立，
所以对任意的，不等式恒成立，
令，则，
所以，…，
从而对，，所以，
即实数的取值范围为．
法2:：，
．
因为对任意的，不等式恒成立，
即对任意的，不等式恒成立，
所以对任意的，不等式恒成立，
令，则，
所以，…，
从而对，，所以，
即实数的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：数列单调性的思路，作差法判断数列的单调性或看作函数，利用导函数得到单调性，本题利用作差法得到数列的单调性.
18．(1)证明见解析
(2)2024．
【分析】（1）由与等差数列的定义，可证结论成立.
（2）先利用裂项求和法求，再解不等式可得n的最小值.
【详解】（1）当时，，
当时，，
所以，所以（常数），
故数列是以为首项，2为公差的等差数列．
（2）由（1）知，，得
所以
，
当时，即，所以n的最小值为2024．
19．(1)，；
(2)证明见解析；
(3)（i）；（ii）.
【分析】(1)设等比数列 的公比为 , 等差数列 的公差为 , 由已知列方程组求解 与 , 则数列 和 的通项公式可求;
(2)把数列 和 的通项公式代入, 整理后利用裂项相消法求 ;
(3)（i）由 , 求出 ，作和即可求得
（ii）利用错位相减法求 .
【详解】（1）(1)设等比数列 的公比为 , 等差数列 的公差为 ,
由 ，
得 , 解得 或 (舍去)；
故 ,
（2）由（1）知，，，则
证明：
则
；
（3）（i）
，
，
所以.
（ii）①，
则
②，
由①-②得：
.
【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式, 训练了裂项相消法与错位相减法求数列的前 项和, 考查运算求解能力, 是较难题.
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第四章数列章末检测卷-2023-2024学年高二数学下学期人教A版2019选择性必修第二册
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若等差数列满足，则（ ）
A．3 B． C．1 D．
2．从集合中任意选出三个不同的数，若这三个数依次成等比数列，则这个等比数列公比为2的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．36 B．48 C．96 D．24
4．设正数数列的前项和为，且，则（ ）
A．是等差数列 B．是等差数列
C．单调递增 D．单调递增
5．某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
6．在等差数列中，公差，若，则（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
7．各项不为0等差数列中，且，则（ ）
A． B． C．0 D．2
8．已知数列的各项均为正数，，若表示不超过的最大整数，则（ ）
A．615 B．620 C．625 D．630
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设数列的前项和为，已知，，则（ ）
A． B．
C．数列是等比数列 D．数列是等比数列
10．已知数列满足，记为数列的前项和，则（ ）
A． B．
C． D．
11．等差数列中，，，若，，则（ ）
A．有最小值，无最小值 B．有最小值，无最大值
C．无最小值，有最小值 D．无最大值，有最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．数列的最小项的值为 .
13．在中，三边，，所对应的角分别是，，，已知，，成等比数列.若，数列满足前项和为， .
14．若数列满足，（，为常数，则称数列为调和数列．已知数列为调和数列，且，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知数列是公差不为0的等差数列，其前n项和为，，，，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，，求数列的前100项和．
16．在数列中，，．
(1)记，证明：为等比数列；
(2)记为的前项和，若是递增数列，求实数的取值范围．
17．已知等差数列与正项等比数列满足，且，20，既是等差数列，又是等比数列．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，数列的前n项和，满足对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18．已知数列的前n项和为，且．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)数列的每一项均为正数，，数列的前n项和为，当时，求n的最小值．
19．已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求证：；
(3)表示不超过x的最大整数，；
求（i）；
（ii）．
参考答案：
1．B
【分析】设等差数列的公差为，由通项公式写出和，都代入中，化简即可求出.
【详解】设等差数列的公差为，则，，
因为，可得，
所以有，解得，
故选：B.
2．C
【分析】根据给定条件，利用列举法，结合古典概率计算即得.
【详解】从集合中任意选出三个不同的数，这三个数依次成等比数列，它们是：
，共8个，
其中公比是2的等比数列为，共2个，
所以等比数列公比为2的概率是.
故选：C
3．B
【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式，结合等差数列性质计算即得.
【详解】等差数列中，由，得.
故选：B
4．D
【分析】先利用和的关系求出，进而得出，；再逐项判断即可.
【详解】依题意可得：，.
因为，
所以当时，，即，解得，
当时，，整理得：，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
从而， .
因为当时，，
当时，.
也适合上式，
所以，故选项A、B错误，选项D正确.
因为，
所以选项C错误.
故选：D.
5．C
【分析】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得每次还款后欠银行贷款，即第12次还款后欠银行贷款为，进而由等比数列的前项和公式可得，从而可得.
【详解】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得：
第1次还款后欠银行贷款为，
第2次还款后欠银行贷款为，
…，
第12次还款后欠银行贷款为
，
因为贷款12个月还清，所以，即，
所以.
故选：C.
6．D
【分析】根据题意，利用等差数列的通项公式和求和公式，列出方程，即可求解.
【详解】因为，可得，
所以，即，
又因为，所以.
故选：D．
7．C
【分析】根据题意结合等差数列性质分析可得，进而可得，即可得结果.
【详解】因为为等差数列，且，则，
设等差数列的公差为，
又因为，则，
可得，即，
则，即，可知，
所以.
故选：C．
8．C
【分析】根据等差数列的定义求出，再根据新定义对分情况求出，再求和可得答案.
【详解】因为，
所以，可得是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，因为数列的各项均为正数，
所以，因为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
，
则.
故选：C.
9．ABD
【分析】根据和求得，即得A项；由递推式消去，可推得，代值检验即得B项；由需检验即可否定C项；由递推式消去，可推得，即得D项正确.
【详解】对于A，，所以，故A正确；
对于B，因为，则，由，可得，
于是，故B正确；
对于C，由B分析，，但不满足，则不是等比数列，故C错误；
对于D，因为，所以，即是首项为1，公比为5的等比数列，故D正确.
故选：ABD.
10．BC
【分析】
利用递推公式列举前三项可判定A，利用递推公式作商可判定B，利用A、B的结论可判定C，根据数列的周期性可判定D.
【详解】
由题意得，，解得，故A错误；
由，则，两式相除得，故B正确；
由可得，，故C正确；
，故D错误.
故选：BC.
11．AD
【分析】
先利用等差数列的通项公式求得基本量，从而得到，利用它们的表达式进行分析即可得解.
【详解】设等差数列的公差为，
依题意，得，解得，
，
，
当时，有最小值无最大值，
而，
易得，，且，
当时，，
当时，有最大值，无最小值.
故选：AD.
12．
【分析】直接根据反比例函数的单调性即可得解.
【详解】令，得，
令，得，
所以当时，，当时，，
而函数在上单调递减，
所以当时，取得最小值，
即数列的最小项的值为.
故答案为：.
13．
【分析】利用等比中项及正弦定理、余弦定理求出B，再分奇偶求出，分组求和即可得解.
【详解】因为，，成等比数列，所以，即,
又，所以，即，
由知，所以，
，为偶数，
，为奇数，
所以
.
故答案为：
14．2
【分析】根据调和数列，可得为等差数列，即可根据等差数列求和公式得，进而利用不等式即可求解．
【详解】数列为调和数列，故，所以为等差数列，
由，所以，
故，所以，
故，故，
由于．
当且仅当时等号成立，故的最大值为2．
故答案为：2.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可求解通项，
（2）利用等差等比求和公式，结合分组求和即可求解.
【详解】（1）设数列的首项为，公差为，
根据题意得即
解得或．
又因，所以．
所以的通项公式为．
（2）由（1）得．
即数列的偶数项是以4为首项，4为公差的等差数列，
奇数项是以为首项，16为公比的等比数列．
数列的前100项中偶数项有50项，奇数项有50项，
数列的前100项和．
，
．
所以．
16．(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）根据题意递推公式结合等比数列定义分析证明；
（2）由（1）可得，进而可得，结合二次函数性质分析求解.
【详解】（1）因为，即，
则，且，
所以数列是以首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）可知：，即，
所以
，
可知，
若是递增数列，结合二次函数对称性可得，解得，
所以实数的取值范围为.
17．(1)，．
(2)
【分析】（1）根据条件得到，求出公比和公差，得到数列和的通项公式；
（2）法1：利用错位相减法求和得到，变形得到，构造，作差得到，求出实数的取值范围；
法2：裂项相消法得到，变形得到，构造，作差得到，求出实数的取值范围.
【详解】（1）因为，20，既是等差数列，又是等比数列，
故，20，的公差为0，公比为1，
所以．
又，设公差为d、公比为，
则，解得或（舍去），
所以，．
（2）法1：由（1）可得，
所以，
，
所以
，
所以．
因为对任意的，不等式恒成立，
即对任意的，不等式恒成立，
所以对任意的，不等式恒成立，
令，则，
所以，…，
从而对，，所以，
即实数的取值范围为．
法2:：，
．
因为对任意的，不等式恒成立，
即对任意的，不等式恒成立，
所以对任意的，不等式恒成立，
令，则，
所以，…，
从而对，，所以，
即实数的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：数列单调性的思路，作差法判断数列的单调性或看作函数，利用导函数得到单调性，本题利用作差法得到数列的单调性.
18．(1)证明见解析
(2)2024．
【分析】（1）由与等差数列的定义，可证结论成立.
（2）先利用裂项求和法求，再解不等式可得n的最小值.
【详解】（1）当时，，
当时，，
所以，所以（常数），
故数列是以为首项，2为公差的等差数列．
（2）由（1）知，，得
所以
，
当时，即，所以n的最小值为2024．
19．(1)，；
(2)证明见解析；
(3)（i）；（ii）.
【分析】(1)设等比数列 的公比为 , 等差数列 的公差为 , 由已知列方程组求解 与 , 则数列 和 的通项公式可求;
(2)把数列 和 的通项公式代入, 整理后利用裂项相消法求 ;
(3)（i）由 , 求出 ，作和即可求得
（ii）利用错位相减法求 .
【详解】（1）(1)设等比数列 的公比为 , 等差数列 的公差为 ,
由 ，
得 , 解得 或 (舍去)；
故 ,
（2）由（1）知，，，则
证明：
则
；
（3）（i）
，
，
所以.
（ii）①，
则
②，
由①-②得：
.
【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式, 训练了裂项相消法与错位相减法求数列的前 项和, 考查运算求解能力, 是较难题.
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