第四章数列复习卷（含解析）-2023-2024学年高中数学人教A版2019选择性必修第二册

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第四章数列复习卷-2023-2024学年高中数学人教A版2019选择性必修第二册
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则数列的偶数项中最大项为（ ）
A． B． C． D．
2．已知是各项均为正整数的递增数列，前项和为，若，当取最大值时，的最大值为（ ）
A．63 B．64 C．71 D．72
3．数列满足．给出如下两个结论：①；②，则下面判断正确的为（ ）
A．①对②错 B．①错②对
C．①②都对 D．①②都错
4．已知在等比数列中，，等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．60 B．54 C．42 D．36
5．已知数列的前项和（为常数），则“”是“为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．设数列为等比数列，若，，则（ ）
A． B． C． D．
7．一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．数列各项均为实数，对任意满足，定义：行列式且行列式为定值，则下列选项中不可能的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．等差数列 的前 项和为 ，则（ ）
A． B．
C． D．当 时， 的最小值为 16
10．若数列为递增数列，则的通项公式可以为（ ）
A． B． C． D．
11．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．1849既是三角形数，又是正方形数
C．
D．，，总存在，，使得成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．等差数列中，，则 ．
13．在数列1、x、y，15中，若1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差数列，则x、y的值分别是 ．
14．已知数列满足 ，若 为数列 的前 项和，则
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若，求的最小值.
16．己知数列和的各项均为正，且，是公比3的等比数列．数列的前n项和满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
17．已知数列的前n项积为，数列满足，（，）．
(1)求数列，的通项公式；
(2)将数列，中的公共项从小到大排列构成新数列，求数列的通项公式．
18．已知等差数列和等比数列， ，，，
(1)求通项公式、；
(2)求满足的正整数m．
19．已知为等差数列，前项和为，若，；数列满足：，.
(1)求和的通项公式；
(2)对任意的，将中落入区间内项的个数记为.
（i）求；
（ii）记，的前项和记为，是否存在，，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
参考答案：
1．D
【分析】作商探讨数列的单调性，进而求出最大项即可.
【详解】数列中，，则，
令，解得，则当时，，即，
同理当时，，即，而当时，，
所以数列的偶数项中最大项为.
故选：D
2．C
【分析】因为是定值，要使当取最大值时也取得最大值，需满足前项是首相为，公差为的等差数列，通过计算的前项和与作比较，前项和与作比较即可得出的最大值.
【详解】因为是定值，要使当取最大值时也取得最大值，需满足各项尽可能取到最小值，又因为是各项均为正整数的递增数列，所以，即是首相为，公差为的等差数列，其中；的前项和为；
当时，；
当时，；
又因为，
所以的最大值为，此时，取得最大值为.
故选：C.
3．C
【分析】利用，可判断①，当时，，，可求判断②.
【详解】由，可得，故①正确；
，
当时，，不适合上式，
所以，故②正确.
故选：C.
4．C
【分析】首先根据等比数列的性质计算出，然后得出等差数列的，最后再根据等差数列求和公式即可求解.
【详解】由等比数列的性质可知，因为，所以，，
所以.
故选：C
5．C
【分析】先利用的表达式求出的通项为，然后分别证明充分性和必要性即可得到答案.
【详解】由于，故，且对有
，所以.
一方面，若，则适合，所以对任意正整数都有，从而.
故是等比数列，从而条件是充分的；
另一方面，若是等比数列，则，所以，从而条件是必要的.
故选：C.
6．D
【分析】根据条件得到，再利用等比数列的通项公式，即可求出结果.
【详解】因为数列为等比数列，设公比为，
因为，，所以，得到，
又，当时，，当时，，
故选：D.
7．A
【分析】由题意可得，则可推出，所以数列是等比数列，即可求得答案.
【详解】依题意，（），，
当时，
，又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
故选：A.
8．B
【分析】根据定义列方程组，判断是否有实数解，结合周期性逐一验证判断即可.
【详解】由题知，，
又，所以，是周期为3的周期数列.
对于A，若，，则，则或
若，则，得，
又，
由周期性可知，当时，满足，A不满足题意；
对于B，若，，则，即，
又，消元整理得，
即，无实数解，故B满足题意；
对于C，若，，则，
解得，显然恒成立，C不满足题意；
对于D，若，，则，
解得，显然此时恒成立，D不满足题意.
故选：B
【点睛】关键点睛：本题解题关键在于根据定义列方程组，判断是否有实数解，当有解时，结合周期性即可判断.
9．ABD
【分析】对于A，由等差数列性质即可判断；对于B，由公差的定义即可判断；对于C，作差结合公差小于0即可判断；对于D，只需注意到，由此即可判断.
【详解】对于A，由题意，故A正确；
对于B，，其中为等差数列的公差，即，故B正确；
对于C，，即，故C错误；
对于D，由题意，
从而当，，且，故D正确.
故选：ABD.
10．ABD
【分析】利用作差法判断A、B、D，利用特殊值判断C.
【详解】对于A：，
所以，所以为递增数列，故A正确；
对于B：，所以，所以为递增数列，故B正确；
对于C：因为，则，，所以不单调，故C错误；
对于D：，所以，所以为递增数列，故D正确；
故选：ABD
11．ACD
【分析】利用累加法分别求出，，进而分别利用裂项求和法、放缩法，逐个分析各个选项即可．
【详解】解：三角形数构成数列，3，6，10，，
易发现，，，，，
累加得，，
，
显然满足上式，
，
正方形数构成数列，4，9，16，，
易发现，，，，，
累加得，
，显然满足上式，，
对于A，，
，故A正确；
对于B，令，得，
，，
无正整数解，即1849不是三角形数，
令，，即1849是正方形数，故B错误；
对于C，，
，故C正确；
对于D，取，且，
令，有，
故，，总存在，，使得成立，故D正确．
故选：ACD
【点睛】本题主要考查了数列的应用，考查了归纳推理，考查了转化思想和运算求解能力；
本题的关键是通过累加法求出数列的通项，另外数列求和首先是把通项进行了适当的放缩，然后运用裂项相消求和。
12．0
【分析】根据等差数列的通项公式求解即可．
【详解】等差数列中，，
则公差，则．
故答案为：0.
13．或
【分析】由于1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差数列，则，从而得解．
【详解】1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差数列，
则，联立得到，解得或．
当时，，此时1、3、9成等比数列，且3、9、15成等差数列，符合题意；
当时，，此时1、、成等比数列，且、、15成等差数列，符合题意．
综上所得，x、y的值分别是或．
故答案为：或．
14．77
【分析】根据等差数列及等比数列求和公式分组求和计算即可.
【详解】因为当n为奇数时为等差数列，公差为1，,
;
当n为偶数时为等比数列，公比为2，,
;
所以.
故答案为：77.
15．(1)；
(2)5.
【分析】（1）根据给定的递推公式，按奇偶分别求出通项即可.
（2）由（1）的结论，利用等比数列前项和公式求出，再借助单调性求解即得.
【详解】（1）数列中，，，当时，，
则，由，得，
当为正奇数时，数列是首项为3，公差为4的等差数列，
则，即，
当为偶奇数时，数列是首项为5，公差为4的等差数列，
则，即，即，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，显然数列是首项为，公比的等比数列，
则，由，得，整理得，
而数列是递增数列，，因此，
所以的最小值为5.
16．(1)，
(2)
【分析】（1）利用递推公式可证得数列是等差数列，可求出数列的通项；利用等比数列的性质，可求出通项；
（2）根据裂项相消和分组求和法求解即可；
【详解】（1）由题设，当时或（舍），
由，知，
两式相减得，
（舍）或，即，
∴数列是首项为2，公差为2的等差数列，．
又．
（2）
则
当n为偶数时，；
当n为奇数时，．
所以.
17．(1)，
(2)
【分析】（1）对，两边同时取对数，对分类讨论即可求出，由等差数列定义即可求出；
（2）令，解出即可得解.
【详解】（1），，
当时，，
当时，，即，
而，满足上式，
所以数列的通项公式为；
若数列满足，（，），
则，
从而数列的通项公式为；
（2）令，解得，这表明，
从而只能，
所以，
所以数列的通项公式为.
18．(1)；
(2)
【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式，解方程求得公差和公比，可得所求
（2）讨论，当，且m为奇数，当，且m为偶数，结合数列的单调性，可得结论．
【详解】（1）设等差数列公差为，等比数列的公比为．
由，可得，
解得，则
（2）由，可得
即 (*)
当时，成立；
当时，不成立；
当时，不成立；
当时，且为奇数时，显然(*)式不成立；
当时，且为偶数时，设，
，
即，可得(*)式不成立．
综上所得，．
19．(1)，
(2)（i）（ii）存在
【分析】（1）的通项通过基本量法求解，的通项通过令，两式作商求解.
（2）（i）求出即可得出答案；
（ii）根据题意求出和的关系，在利用取值范围求出和.
【详解】（1），
所以，
①
当时，令得：②
①②得：，所以是公差为的等差数列，
当时有：，所以
（2）（i）
因为，所以，所以
（ii），把代入得：，
所以，，
所以
因为，，所以，
当时，（舍去），当时，（舍去），
当时，，所以存在，.
【点睛】关键点点睛：本题考查数列等差数列的基本量计算，数列与不等式的综合应用.解题的关键是设出公差，列式求解求得，进而通过得求出，此外，对于探究性问题，一般解法是先假设存在，再根据已知条件推出结论或矛盾，本题在解答过程中核心是借助化简整理得.考查数学运算求解能力，逻辑推理能力.
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