第五章一元函数的导数及其应用章末检测卷（含答案）-2023-2024学年高二数学下学期人教A版2019选择性必修第二册

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第五章一元函数的导数及其应用章末检测卷-2023-2024学年高二数学下学期人教A版2019选择性必修第二册
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设曲线在点处的切线与直线平行，则（　　）。
A．1 B．2 C． D．
2．已知函数，则下面对函数的描述正确的是（　　）
A．， B．，
C．， D．
3．函数的单调递减区间是（　　）
A． B． C． D．
4．已知函数g（x）为奇函数，其图象在点（a，g（a））处的切线方程为2x-y+1=0，记g（x）的导函数为g'（x），则g'（-a）=（　　）
A．2 B．-2 C． D．
5．已知可导函数f（x）的定义域为（－∞，0），其导函数f'（x）满足xf'（x）＋2f（x）＞0，则不等式的解集为（　　）
A．（－2025，－2024） B．（－2024，－2023）
C．（－∞，－2024） D．（－∞，－2023）
6．函数f（x）＝lnx－x＋1的图像在点（1，f（1））处的切线方程是（　　）
A．y＝0 B．x＝0 C．y＝1 D．x＝1
7． 已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．某莲藕种植塘每年的固定成本是3万元，每年最大规模的种植量是15万斤，每种植1斤莲藕，成本增加1元，销售额（单位：万元）与莲藕种植量（单位：万斤）满足，要使销售利润最大，每年需种植莲藕（　　）
A．12万斤 B．10万斤 C．8万斤 D．6万斤
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若a，b为正实数，且，则下列不等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
10．已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．函数存在极小值
B．
C．当时，
D．若函数有且仅有两个零点，则且
11．已知函数图象上的点与方程的解一一对应，则下列选项中正确的是（　　）
A． B．0是的极值点
C．在上单调递增 D．的最小值为0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．函数无极值，则实数的取值范围是　 　.
13．已知函数是的导函数，则　 　．
14．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为　 　．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数f（x）＝ln（x+2）﹣ax．
（1）讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）证明：f（x）＜ex﹣ax﹣．
16．已知.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若对任意的，且，都有，求实数的取值范围.
17．已知函数f（x）＝mx－lnx，的定义域为（0，＋∞）．
（1）求g（x）的极值点；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）若函数f（g（x））存在唯一极小值点，求m的取值范围．
18．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数，若函数在上为增函数，求实数的取值范围．
19．已知函数，常数．
（1）当时，函数取得极小值-2，求函数的极大值．
（2）设定义在上的函数在点处的切线方程为，当时，若在内恒成立，则称点为的“类优点”，若点是函数的“类优点”，
①求函数在点处的切线方程；
②求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】A
6．【答案】A
7．【答案】A
8．【答案】A
9．【答案】B,D
10．【答案】A,C,D
11．【答案】A,B,C
12．【答案】
13．【答案】-2
14．【答案】2
15．【答案】（1）解：由，得分当时，单调递增；
当时，在（0；
当时，可得时，单调递增，
时，
综上所述，当时，)单调递增，
当时，在，
当时，在在.
（2）证明：要证，即证.
令，则，
可知g'（x）在（﹣2，+∞）上单调递增
又，
故g'（x）＝8在（﹣2，+∞）上有唯一的实根x0，且，
当x∈（﹣2，x2）时，g'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g'（x）＞2，
从而当x＝x0时，g（x）有最小值
由g'（x0）＝2，得，
故，
综上，．
16．【答案】（1）解：由题意知
则曲线在处的切线方程为
（2）解：不妨设，则
则设，可知在上严格递增
则恒成立
则
设
则当时，严格递增，当时，严格
递减，则
则实数的取值范围为.
17．【答案】（1）解：g（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），，
令g'（x）＞0得x＞1，令g'（x）＜0得x＜1且x≠0
故g（x）在（－∞，0）和（0，1）单调递减，在（1，＋∞）单调递增．
所以x＝1是g（x）的极小值点，无极大值点
（2）解：f（x）的定义域为（0，＋∞），
若m＜0，f'（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减
若m＞0，令f'（x）＞0得；令f'（x）＜0得
所以f（x）在上单调递减，在上单调递增
综上，当m＜0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递减，
当m＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增
（3）解：令，则．
令，则
①当m＜0时，h'（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立，
故当x∈（0，1）时，F'（x）＞0，F（x）单调递增，当x∈（1，＋∞）时，F'（x）＜0，F（x）单调递减．
所以F（x）有唯一极大值点，没有极小值点，不满足题意．
②当m≥1时，在（0，＋∞）恒成立，h（x）在（0，＋∞）单增，h（x）＞h（0）＝m＞1
故当x∈（0，1）时，F'（x）＜0，F（x）单调递减，当x∈（1，＋∞）时，F'（x）＞0，F（x）单调递增．
所以F（x）有唯一极小值点，满足题意．
③当0＜m＜1时，令h'（x）＜0，得0＜x＜－lnm；令h'（x）＞0，得x＞－lnm
故h（x）在（0，－lnm）上单调递减，在（－lnm，＋∞）上单调递增．
则令，得
当时，h（x）≥0在（0，＋∞）上恒成立，由②可知F（x）有唯一极小值点，满足题意
当时，h（－lnm）＜0，h（0）＝m＞0，，
又因为h（x）在（0，－lnm）上单调递减，在（－lnm，＋∞）上单调递增，
所以存在唯一实数，使得，，又h（1）＝me－1＜0
故当时，F'（x）＜0；当时，F'（x）＞0；当时，F'（x）＜0；
当时，F'（x）＞0
故F（x）在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
所以F（x）的极小值点为，，不唯一，不满足题意．
所综上，m的取值范围为
18．【答案】（1）由题意得，，
①当时，，函数在上单调递增；
②当时，令，解得，
，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，
在上单调递增
（2）因为函数在上为增函数，
所以，在上恒成立。
即在上恒成立．
令，当时，，
所以，在上单调递增，。
所以，，解得，
所以，实数的取值范围为．
19．【答案】（1）由题意，，得，
此时
令，得或，
当或时，；当时，，
所以在与上单调递增，在上递减，
所以当时，有极大值
（2）①
，
所以函数在点处的切线方程为
②若点是函数的“类优点”，
令常数，
则当时，恒有，
又，且
令，得或
则当时，在上递增。
当时，；
当时，
故当时，恒有成立
当时，由，得，
在上递减，。
所以在，不成立。
当时，由，得，
在上递减，
所以在，不成立。
综上可知，若点是函数的“类优点”，则实数
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