第五章一元函数的导数及其应用复习卷（含解析）-2023-2024学年高中数学人教A版2019选择性必修第二册

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第五章一元函数的导数及其应用复习卷-2023-2024学年高中数学人教A版2019选择性必修第二册
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，，.则（ ）
A． B． C． D．
2．若函数在其定义域内的一子区间上不是单调函数，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．若函数可导，，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
4．函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知为的导函数，则的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．某莲藕种植塘每年的固定成本是3万元，每年最大规模的种植量是15万斤，每种植1斤莲藕，成本增加1元，销售额（单位：万元）与莲藕种植量（单位：万斤）满足，要使销售利润最大，每年需种植莲藕（ ）
A．12万斤 B．10万斤 C．8万斤 D．6万斤
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．恒成立 B．在上单调递增
C．在上有4个零点 D．是周期函数
10．已知定义在实数集R上的函数，其导函数为，且满足，，则（ ）
A．的图像关于点成中心对称
B．
C．
D．
11．关于函数的图象的切线，下列说法正确的是（ ）
A．在点处的切线方程为
B．经过点的切线方程为
C．切线与的图象必有两个公共点
D．在点处的切线过点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数的图象在处的切线方程为，则 ．
13．已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则a的取值范围为 ．
14．已知函数，则曲线在点处的切线方程为 .
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数.
(1)证明曲线在处的切线过原点；
(2)讨论的单调性；
16．已知，曲线在点处的切线为.
(1)当时，求直线的方程；
(2)证明：与曲线有一个异于点的交点，且；
(3)在（2）的条件下，令，求的取值范围.
17．已知函数.
(1)当时，曲线与曲线恰有一条公切线，求实数与的值；
(2)若函数有两个极值点且，求的取值范围.
18．已知函数.
(1)当时，直线（为常数）与曲线相切，求的值；
(2)若恒成立，求的取值范围；
(3)若有两个零点，求证：.
19．设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中）.定义：若在区间上恒成立，则称函数在区间上为凸函数.已知，（）.
(1)判断函数在区间上是否为凸函数，说明理由；
(2)已知函数为上的凸函数，求的取值范围，并证明：函数图象上任意一点的切线总在的图象的上方；
(3)若，求函数（）的最小值.
参考答案：
1．B
【分析】令，构造函数，利用导数求取单调性可得、之间大小关系，构造函数，利用导数求取单调性可得、之间大小关系，再由，即可得解.
【详解】由，令，
即，
令，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
则有，即，
令，
则在上恒成立，
故在上单调递减，
则有，即，
故，又，
所以.
故选：B.
2．D
【分析】由题意转化为极值点在区间，求解函数的极值点，并列不等式，即可求解.
【详解】函数定义域为，求导得，令，得，
当时，单调递减；
当时，单调递增，由题意得，
解得：.
故选：D.
3．A
【分析】利用导数的定义即可求解.
【详解】根据题意，对于函数，有，
则.
故选：A.
4．B
【分析】先确定函数定义域，然后令可分解因式得，通过求导研究函数的单调性，确定最小值符号，即可得出结论.
【详解】解：由题可得，故令，
即，令，
则，
由，
所以在单调递增，在递减，
又，，
在与分别有一个零点，
所以有两个零点，故有两个零点，
故选：B.
5．C
【分析】利用复合函数的求导方法计算即可.
【详解】由得.
故选：C.
6．A
【分析】由题意，设，则，利用导数讨论函数的性质求出即可．
【详解】设，则，
所以，
令，则，
令，函数在上单调递减，
令，函数在上单调递增，
所以，
即的最小值为．
故选：A
7．A
【分析】求导可得，则为奇函数且，结合选项即可求解.
【详解】由题意知，，定义域为，
又，所以为奇函数，排除BD；
又，排除C；
结合选项，A符合题意.
故选：A
8．A
【分析】写出销售利润，求导得到函数单调性和最值，得到答案.
【详解】设销售利润为，
则，
所以，
令得，令得，
可知在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，销售利润最大.
故选：A
9．AC
【分析】利用三角函数的有界性，结合放缩法即可求解A，利用端点处的函数值比较，即可判断B，由导数求解函数的单调性，作出函数图象，即可求解C，利用三角函数的周期公式，即可求解D.
【详解】对于A, ,故A正确，
对于B，故，故B错误，
对于C,令，
记，
则，
当单调递增，
当单调递减，
且，而，
在同一直角坐标系中作出函数图象如下：故两函数图象有4个不同的交点，因此函数在上有4个零点，C正确，
对于D，由于为周期函数，且最小正周期为，而也为周期函数，且最小正周期为，
由于为无理数，而2为有理数，则不存在整数使得，
所以不是周期函数，D错误，
故选：AC
【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
10．BCD
【分析】对A、B，利用赋值法进行计算即可得；对C、D，利用赋值法后结合数列的性质进行相应的累加及等差数列公式法求和即可得.
【详解】对A：令，则有，即，
令，则有，又，故，不关于对称，故A错误；
对于B，令，则有，
两边同时求导，得，
令，则有，故B正确；
对C：令，则有，即，
则
，故C正确；
对D：令，则有，即，
则，即，
又，故，
则，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题C、D选项关键在于利用赋值法，结合数列的性质进行相应的累加及等差数列公式法求和.
11．ACD
【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义判断A、C、D，设切点为，表示出切线方程，求出，即可判断B.
【详解】由得，
对于A：由，所以函数在点处的切线方程为，即，故A正确；
对于B：设切点为，所以，所以切线方程为，
又切线过点，所以，解得或，
所以过点的切线方程为或，故B错误；
对于C、D：，则在点的切线方程为，
则，即，
因为，则，即，
即，所以，
又，当时，
又点在函数上，且与点相异，
即过曲线上任意点（除原点外）的切线必经过曲线上另一点（不是切点），
对于切线，则切点不是坐标原点，
所以切线与的图象必有两个公共点，故C、D正确.
故选：ACD
12．6
【分析】由切线方程得切点坐标和切线斜率，可计算.
【详解】函数的图象在处的切线方程为，
则切点坐标为，切线斜率，
所以.
故答案为：6.
13．
【分析】令，根据题意可知在上单调递增，进而对函数求导，将问题转化为导函数恒成立，最后解出答案.
【详解】令，因为，所以，即，即在上单调递增，
故在上恒成立，
即在上恒成立，
令.则，
所以，所以
即的取值范围为.
故答案为：.
14．
【分析】对函数求导，代入得，根据点斜式写出切线方程；
【详解】函数，
，
则曲线在点处的切线方程，
即.
故答案为：.
15．(1)证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）可求得切点为，斜率，则切线方程为，则恒过原点；
（2）首先求函数的导数，当时，和，可得的单调区间；当时，令，当时由的判别式和，讨论出函数的单调区间；当时，的判别式，讨论出函数的单调区间.
【详解】（1）由题设得，所以，
又因为，所以切点为，斜率，
所以切线方程为，即恒过原点．
（2）由（1）得，
当时，，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减；
当时，令，则，
当且时，即时，，在上单调递增，
当时，，
由，则，或，则，
所以在上单调递增，在上单调递增；
由，则，则，
所以在上单调递减；
当时，，则为开口向下的二次函数，
对称轴，，，
由，则，则，所以在上单调递增，
由，则，则，所以在上单调递减；
综上：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
16．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；
（2）设，，利用零点存在定理证明存在使得即可；
（3）设，则计算可得. 令，则命题即要研究有正根的充要条件. 再对分类讨论，利用高阶导数研究的单调性，即可求解.
【详解】（1）当时，，而，所以.
所以的方程是，即；
（2）由于，故的方程可化为.
设，则直线的方程为.
令，
设，则对有，所以在上单调递增.
记，则
.
由于，
且
，
故一定存在，使得，即.
而，故是与曲线的交点，且；
（3）对，设.
则，
，
.
由于当时，的导数，
故在上单调递增.
若，则.
所以对有，从而在上单调递增；
所以对有，从而在上单调递增；
所以对有，从而在上单调递增；
所以对有，从而在上无零点.
若，则.
由于对有，
故.
从而存在使.
结合在上单调递增，知对有，从而在上单调递减；
所以对有，从而在上单调递减；
所以对有，从而在上单调递减；
所以，又由于对有
，
故对有，从而当时，有
.
结合，就知道在上存在零点，从而在上存在零点.
综上，对，函数在上存在零点的充要条件是.
最后，一方面我们取，就有
，
所以在上存在零点，故，得；
另一方面，对任意，取，则在上存在零点.
记该零点为，取，则
.
所以这样的满足原条件，且.
综上，的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于，将取值范围问题转化为函数的零点存在性问题，然后即可使用导数研究零点的存在性.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，得到，求得，得到切点，求得，再由，求得点在曲线上，即可求解；
（2）求得，根据函数有两个极值点，转化为有两个不等正根，列出方程组，得到，得到，令，结合单调性求得，再由，即可求解.
【详解】（1）解：当时，，可得，
令，可得，
又由，所以切点在直线上，则，
因为，所以，令，则，
在直线方程中，令，可得，
又因为点在曲线上，所以.
（2）解：函数，可得，
由函数有两个极值点，所以有两个不等正根，则，
由
，
可得，
令，，
所以在区间上单调递增，
因为，
所以由，可得，
令函数，可得，
所以在上单调递减，可得，
又因为，所以的取值范围是.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
18．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据导数几何意义先求切点，即可得解；
（2）方法一：利用导数求函数的最小值；
方法二：分离参数法，等价于恒成立；
方法三：由题意，分离参数法，等价于恒成立；
（3）方法一：思路一：构造函数，利用导数研究函数单调性；思路二：要证，即证，令，即证；思路三：令，要证，即证，即证，即证，利用导数证明；
方法二：由，令，求其最小值，由的单调性可知，思路一：构造函数，利用导数得证；思路二：令，要证，即证，即证；思路三：令，则，要证，即证，即证；思路四：对两边取对数，得，下面同方法一.
【详解】（1）当时，.
设切点，则
消得，解得，代入得.
（2）方法一：因为，
所以，
当时，设，则，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以.
又-axe，故恒成立，所以成立.
当时，，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增.
故，解得，又，所以，
综上所述，的取值范围为.
方法二：因为恒成立，
又，所以上式等价于恒成立.
记，则，
设，则.
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增.
所以.
所以当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增.
所以.
故的取值范围为.
方法三：因为恒成立，
又，所以上式等价于恒成立.
记，则，
所以当时，在上单调递减；当时，在上单调递增.所以.
令，则，则恒成立.
记，则，
所以在上单调递增，所以，所以.
故的取值范围为.
（3）方法一：因为有两个零点，不妨设，
则，
即，即，
令，则，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以.
令，则单调递增，
又，所以，即.
由的单调性可知.
思路一：构造函数.
则，
故在上单调递减，
又，所以，则，即，
又，所以，
又在上单调递增，所以.
故.
思路二：要证，即证，即证.
令，即证.
构造函数.
则，
故在内单调递减，则，即.
故.
思路三：因为，即，
令，则
即
要证，即证，
即证，即证，
下同思路一，略.
方法二：因为有两个零点，不妨设，
则，
即.
令，则，
所以当时，单调递减；当时，单调递增.
所以.
令，则单调递增，
又，所以，即
由的单调性可知.
思路一：构造函数.
则
，
令，则，
所以当时，单调递减，
所以当时，，则，所以，
故在上单调递减，又，所以，则，即，
又，所以，
又在上单调递增，所以.
故.
思路二：因为，所以，
即，
令，要证，即证，
即证.
构造函数.
则，
故在上单调递减，则.
故.
注：要证明，即证，构造函数.
则，
故在上单调递减，则.故.
思路三：令，则即.
要证，即证，即证.
下同思路二，略.
思路四：对两边取对数，得，下面同方法一.
【点睛】方法点睛：
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
19．(1)在区间上为凸函数，理由见解析
(2)，证明见解析
(3).
【分析】（1）求出，判断是否小于恒成立；
（2）求出，根据凸函数的定义转化为恒成立问题，分离参数求解即可；把“函数图象上任意一点的切线总在的图象的上方”转化为，利用导数求解的单调性和最值即可；
（3）令，，根据导数、、的范围确定的单调性及最值，得到，再去绝对值即可.
【详解】（1）由可得，
∴，∵，∴，
∴在区间上为凸函数.
（2）①由，，
得，.
因为函数是上的凸函数，故在上恒成立，
即，在上恒成立，
故，故，所以实数的范围是.
②证明如下：
设切点为，则切线方程为，，
令，
，
依题意，只需证明即可；
，，
故函数在上为减函数，又，
故当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴，则恒成立，即得证.
（3）令，，
则，， 当时，，，
所以在恒成立，
故在上单调递减，所以，
即，所以，
故函数（）的最小值为.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的策略：
（1）通常需要构造新的函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）先分离变量，再构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，先考虑用分离常数法，若参数分离不易求解时，就要考虑利用分类讨论和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.
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