第三章圆锥曲线的方程复习卷（含解析）-2023-2024学年高中数学人教A版2019选择性必修第一册
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| 名称 | 第三章圆锥曲线的方程复习卷（含解析）-2023-2024学年高中数学人教A版2019选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-07 09:48:49 | ||
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文档简介
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第三章圆锥曲线的方程复习卷-2023-2024学年高中数学人教A版2019选择性必修第一册
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．点P是椭圆上一动点，则点P到两焦点的距离之和为（ ）
A．2 B． C． D．4
2．若双曲线的实轴长为，则正数（ ）
A． B． C． D．
3．已知，抛物线的焦点为是抛物线上任意一点，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．若双曲线C：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．设O为坐标原点，直线过抛物线：（）的焦点且与交于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的最小值为2
C．若，则 D．轴上存在一点，使为定值
7．年月日时分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列结论中正确的个数是（ ）个.
①椭圆的长轴长为
②线段长度的取值范围是
③的面积最小值是
④的周长恒为
A．1 B．2 C．3 D．4
8．中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的曲线．用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“”形对应着数学曲线中的双纽线．在平面直角坐标系中，把与定点、距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线，记为曲线.关于曲线，有下列两个命题：
①曲线上的点的横坐标的取值范围是；
②若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为.
则（ ）
A．①为真命题，②为假命题 B．①为假命题，②为真命题
C．①为真命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知曲线，则（ ）
A．曲线在第一象限为双曲线的一部分
B．曲线的图象关于原点对称
C．直线与曲线没有交点
D．存在过原点的直线与曲线有三个交点
10．已知椭圆的焦点分别为，焦距为为椭圆C上一点，则下列选项中正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．的周长为3
C．不可能是直角 D．当时，的面积为
11．已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，动点在上，若定点满足，则（ ）
A．的准线方程为 B．周长的最小值为5
C．四边形可能是平行四边形 D．的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为 .
13．已知椭圆的左，右焦点分别是，下顶点为点，直线交椭圆C于点N，设的内切圆与相切于点E，若，则椭圆C的离心率为 ，的内切圆半径长为 ．
14．如图所示，设点F是双曲线 与抛物线 的公共焦点，B是上的一点，若双曲线一条渐近线恰好垂直平分BF，双曲线的离心率为e，则
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知抛物线：经过点.
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线与的交点为，，直线与倾斜角互补.
（i）求的值；
（ii）若，求面积的最大值.
16．已知椭圆的离心率是，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设圆，若直线与圆相切，求点的坐标；
17．已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．
(1)求双曲线的方程．
(2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在出直线l的方程；若不存在，说明理由．
(3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．
18．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.
(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程；
(2)经过点C和焦点的直线l与抛物线交于另一点Q，求的值；
(3)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？
19．已知椭圆C:的左右焦点为，，M为椭圆C上一点.
(1)若点M的坐标为，求的面积；
(2)若点M的坐标为，且是钝角，求横坐标的范围；
(3)若点M的坐标为，且直线与椭圆C交于两个不同的点A，B.求证：为定值.
参考答案：
1．C
【分析】由椭圆的定义求解即可.
【详解】由可得：，
由椭圆的定义可知：点P到两焦点的距离之和为.
故选：C.
2．A
【分析】依题意可得，解得即可.
【详解】由双曲线实轴长为，有，又，
.
故选：A.
3．C
【分析】过点作垂直于准线且交准线于H，则的周长转化成即可求解.
【详解】由题意，抛物线的准线，过点作垂直于准线且交准线于H，则，
由题可知，的周长为，又，
如图，，当三点共线时，
的周长最小，且最小值为.
故选：C.
4．B
【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离大于半径求得a和b的关系，进而利用求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．
【详解】双曲线渐近线为，且与圆没有公共点，
圆心到渐近线的距离大于半径，即，，，．
故选：B．
5．A
【分析】根据椭圆与双曲线的离心率的性质即可解决．
【详解】由题意得到椭圆①，②的b值相同，a值①比②小，则，可以知道，；
根据双曲线的开口越大离心率越大，则．
所以，
故选：A．
6．D
【分析】对于A选项，利用过焦点的弦长最短时是通径的结论即可得到；对于B选项，利用抛物线上的点的性质进行转化，再结合图象，三点共线时，对应的线段和最小；对于C选项，得到点的坐标，直线方程，联立直线与抛物线的方程求得点的坐标进而求得；对于D选项，设出直线方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理，代入进行化简，要使得为定值，，从而存在点.
【详解】
A选项，因为过焦点，故当且仅当为通径时，最短，即，从而，故A错误；
B选项，由抛物线的定义知，所以，
由图知，当且仅当三点共线时，取得最小值，即，故B错误；
C选项，由图是抛物线的准线与准线的交点，所以，在中，，所以，
所以，所以，所以，
联立得，得，从而，
所以，故C错误；
D选项，设，联立得，，
设，则，设轴上存在一点，
则
，
故当时，，即存在使得为定值，故D正确.
故选：D.
7．C
【分析】由题设椭圆中可得，又、判断①②；令得，特殊值判断③；利用椭圆定义求焦点三角形周长判断④.
【详解】由题意，椭圆中几何量，所以，则，
故①正确；
因为，由椭圆性质可知，
所以，故②正确；
设，则
，取，
则，故③错误；
由椭圆定义知，，
所以的周长，故④正确，故答案为①②④.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题③的关键点在于设，由表示出，结合三角函数的性质即可得出答案.
8．B
【分析】利用定义求得曲线C的轨迹方程为，由关于的方程有解，求的取值范围判断命题①；先判断得直线与曲线必有一个公共点，再将代入曲线得到无非零解方程，求实数的取值范围判断命题②.
【详解】对于①：由伯努利双纽线的定义可知，曲线C的方程为:
，
化简得，
设，则
方程化为
设上述方程的两个根为,则至少有一个大于等于0
则需有
由于，
，解得，
①为假命题；
对于②：直线与曲线一定有公共点，若直线与曲线只有一个交点，
将代入曲线方程中得，方程无非零解，
即无实数解，故有，
所以，解得或，故②为真命题.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用平面轨迹方程的求法求得曲线C的轨迹方程，横坐标的取值范围由方程有解判断，直线与曲线的交点问题一般通过联立方程分析判断.
9．AC
【分析】分，，和四种情况，得到曲线在各个象限上的曲线方程，得到答案.
【详解】当时，曲线，为焦点在轴上的双曲线的一部分，渐近线为，
当时，曲线，为焦点在轴的椭圆的一部分；
当时，曲线，为焦点在轴上的双曲线的一部分，渐近线为，
当时，曲线没有图象.
由图象可知，A正确，B错误，结合曲线的渐近线可知C正确，D错误.
故选：AC
10．AD
【分析】先确定椭圆的方程，再根据方程分析椭圆的性质.
【详解】由题意，焦距为，又，所以椭圆焦点必在轴上，
由.
所以椭圆的离心率，故A正确；
根据椭圆的定义，的周长为，故B错误；
如图：
取为椭圆的上顶点，则,
所以为钝角，所以椭圆上存在点，使得为直角，故C错误；
如图：
当时，设，，
则，
所以，故D正确.
故选：AD
11．BD
【分析】首先表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，由距离公式得到方程，即可求出，求出抛物线方程，即可判断A；根据抛物线的定义判断B，求出点坐标，即可判断C；设，结合数量积的坐标运算分析求解.
【详解】对于选项A：因为抛物线的焦点为，准线方程为，
又点满足，则，
整理得，解得或（舍去），
即抛物线，
所以准线方程为，焦点为，故A错误；
对于选项B：过点作准线的垂线，垂足为，
由抛物线的定义可知，
则周长
，
当且仅当、、三点共线时取等号，
所以周长的最小值为，故B正确；
对于选项C：过点作的平行线，交抛物线于点，
即，解得，即，
则，
所以四边形不是平行四边形，故C错误；
对于选项D：设，则，
可得，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，故D正确；
故选：BD
12．
【分析】由题意结合抛物线的定义求出，设点关于直线对称点为，则，从而可求出的最小值.
【详解】由，得，所以，准线为，
不妨设点在第一象限，过作于，则，得，
则，得，所以，
设点关于直线对称点为，则，
所以，
当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为，
故答案为：
13． / /
【分析】借助切线长定理与椭圆性质可得，从而可结合椭圆定义得到的值，即可得其离心率；借助余弦定理的推论可得三角形各边长，结合面积公式运用等面积法即可求取内切圆半径.
【详解】设的内切圆与、相切于点，，
由切线长定理可得，，，
又，则，故，
由椭圆定义可知，
即,
故，又，则；
则，故，设，则，
即，，
则有，
计算可得，则，
又，则，
即有，即.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题关键点一个是借助切线长定理与椭圆性质得到，从而可结合椭圆定义得到的值，第二个是借助等面积法求取内切圆半径.
14．
【分析】由题意可得，进而可设，由题意可得，消去，可得，计算可得结论.
【详解】由题意可得，所以，
设，的斜率为，中点，
因为双曲线一条渐近线恰好垂直平分BF，
所以，所以，所以，
所以，所以，
所以，
所以，所以，，
所以，所以，
所以，所以，
所以，所以.
故答案为：.
15．(1)
(2)（i）；（ii）.
【分析】（1）把点坐标代入抛物线方程，可求的值.
（2）（i）把直线方程代入抛物线方程，消去，得到关于的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系，得到和，把直线与倾斜角互补，转化成,可求的值；（ii）先求弦长，再求到直线的距离，可表示出的面积，再结合基本不等式可求面积的最大值.
【详解】（1）由题意可知，，所以 ，
所以 抛物线的方程为.
（2）（i）如图：
设，将直线的方程代入得：
，所以，
因为直线与倾斜角互补，
所以，
即，
所以，
即，所以.
（ii）由（i）可知，所以，
则，
因为，所以，即，
又点到直线的距离为，
所以，
因为，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以面积最大值为 .
16．(1)
(2)或
【分析】（1）根据离心率得到，从而得到椭圆方程.
（2）确定圆心和半径，设出直线，根据圆心到直线的距离等于半径得到斜率，解得答案.
【详解】（1）椭圆的离心率是，解得.
故椭圆方程为：.
（2）圆，即，
故圆心，半径，，
设直线的方程为，即，
直线与圆相切，则，解得，
当时，，解得或（舍），故，
当时，，解得或（舍），故，
故或
17．(1)；
(2)不存在，理由见解析；
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意列式求，进而可得双曲线方程；
（2）设，联立方程，利用韦达定理判断是否为零即可；
（3）用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值．
【详解】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上，
可得，解得，所以双曲线的方程为．
（2）双曲线的左焦点为，
当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，不符合题意，
当直线的斜率不为0时，设，
由，消去得，
显然，，
设，则，得，
于是，
，
即，因此与不垂直，
所以不存在直线，使得点在以为直径的圆上．
（3）由直线，得，
则，又，
于是
，
而，即有，且，
所以，即为定值．
【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
18．(1)
(2)
(3)4.1米
【分析】（1）设该抛物线的方程为，代入点可得答案；
（2）直线与抛物线联立求出、可得答案；
（3）设车辆高为h，代入抛物线方程可得答案.
【详解】（1）如图所示.
依题意，设该抛物线的方程为，
因为点在抛物线上，所以该抛物线的方程为；
（2），，，设，令，
所以直线与抛物线联立，
由解得，，，
则；
（3）设车辆高为h，则，故，
代入抛物线方程，解得，
所以通过隧道的车辆限制高度为4.1米.
19．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）先根据点在椭圆上，求出的值，再求的面积.
（2）根据点在椭圆上，先明确的关系，再由余弦定理，表示出，由求的范围.
（3）把直线方程与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系，得到，，并用它们表示出，进行化简整理即可.
【详解】（1）因为点在椭圆上，所以，因为，所以，
因为，，所以，，，
所以.
（2）如图：
因为点M在椭圆上，所以，
由余弦定理得
因为是钝角，所以，
又因为，所以，解得，
的范围为.
（3）如图：
设，，
由得，
，，，
又，，所以
，
即有为定值.
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第三章圆锥曲线的方程复习卷-2023-2024学年高中数学人教A版2019选择性必修第一册
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．点P是椭圆上一动点，则点P到两焦点的距离之和为（ ）
A．2 B． C． D．4
2．若双曲线的实轴长为，则正数（ ）
A． B． C． D．
3．已知，抛物线的焦点为是抛物线上任意一点，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．若双曲线C：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．设O为坐标原点，直线过抛物线：（）的焦点且与交于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的最小值为2
C．若，则 D．轴上存在一点，使为定值
7．年月日时分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列结论中正确的个数是（ ）个.
①椭圆的长轴长为
②线段长度的取值范围是
③的面积最小值是
④的周长恒为
A．1 B．2 C．3 D．4
8．中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的曲线．用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“”形对应着数学曲线中的双纽线．在平面直角坐标系中，把与定点、距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线，记为曲线.关于曲线，有下列两个命题：
①曲线上的点的横坐标的取值范围是；
②若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为.
则（ ）
A．①为真命题，②为假命题 B．①为假命题，②为真命题
C．①为真命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知曲线，则（ ）
A．曲线在第一象限为双曲线的一部分
B．曲线的图象关于原点对称
C．直线与曲线没有交点
D．存在过原点的直线与曲线有三个交点
10．已知椭圆的焦点分别为，焦距为为椭圆C上一点，则下列选项中正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．的周长为3
C．不可能是直角 D．当时，的面积为
11．已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，动点在上，若定点满足，则（ ）
A．的准线方程为 B．周长的最小值为5
C．四边形可能是平行四边形 D．的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为 .
13．已知椭圆的左，右焦点分别是，下顶点为点，直线交椭圆C于点N，设的内切圆与相切于点E，若，则椭圆C的离心率为 ，的内切圆半径长为 ．
14．如图所示，设点F是双曲线 与抛物线 的公共焦点，B是上的一点，若双曲线一条渐近线恰好垂直平分BF，双曲线的离心率为e，则
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知抛物线：经过点.
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线与的交点为，，直线与倾斜角互补.
（i）求的值；
（ii）若，求面积的最大值.
16．已知椭圆的离心率是，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设圆，若直线与圆相切，求点的坐标；
17．已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．
(1)求双曲线的方程．
(2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在出直线l的方程；若不存在，说明理由．
(3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．
18．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.
(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程；
(2)经过点C和焦点的直线l与抛物线交于另一点Q，求的值；
(3)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？
19．已知椭圆C:的左右焦点为，，M为椭圆C上一点.
(1)若点M的坐标为，求的面积；
(2)若点M的坐标为，且是钝角，求横坐标的范围；
(3)若点M的坐标为，且直线与椭圆C交于两个不同的点A，B.求证：为定值.
参考答案：
1．C
【分析】由椭圆的定义求解即可.
【详解】由可得：，
由椭圆的定义可知：点P到两焦点的距离之和为.
故选：C.
2．A
【分析】依题意可得，解得即可.
【详解】由双曲线实轴长为，有，又，
.
故选：A.
3．C
【分析】过点作垂直于准线且交准线于H，则的周长转化成即可求解.
【详解】由题意，抛物线的准线，过点作垂直于准线且交准线于H，则，
由题可知，的周长为，又，
如图，，当三点共线时，
的周长最小，且最小值为.
故选：C.
4．B
【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离大于半径求得a和b的关系，进而利用求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．
【详解】双曲线渐近线为，且与圆没有公共点，
圆心到渐近线的距离大于半径，即，，，．
故选：B．
5．A
【分析】根据椭圆与双曲线的离心率的性质即可解决．
【详解】由题意得到椭圆①，②的b值相同，a值①比②小，则，可以知道，；
根据双曲线的开口越大离心率越大，则．
所以，
故选：A．
6．D
【分析】对于A选项，利用过焦点的弦长最短时是通径的结论即可得到；对于B选项，利用抛物线上的点的性质进行转化，再结合图象，三点共线时，对应的线段和最小；对于C选项，得到点的坐标，直线方程，联立直线与抛物线的方程求得点的坐标进而求得；对于D选项，设出直线方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理，代入进行化简，要使得为定值，，从而存在点.
【详解】
A选项，因为过焦点，故当且仅当为通径时，最短，即，从而，故A错误；
B选项，由抛物线的定义知，所以，
由图知，当且仅当三点共线时，取得最小值，即，故B错误；
C选项，由图是抛物线的准线与准线的交点，所以，在中，，所以，
所以，所以，所以，
联立得，得，从而，
所以，故C错误；
D选项，设，联立得，，
设，则，设轴上存在一点，
则
，
故当时，，即存在使得为定值，故D正确.
故选：D.
7．C
【分析】由题设椭圆中可得，又、判断①②；令得，特殊值判断③；利用椭圆定义求焦点三角形周长判断④.
【详解】由题意，椭圆中几何量，所以，则，
故①正确；
因为，由椭圆性质可知，
所以，故②正确；
设，则
，取，
则，故③错误；
由椭圆定义知，，
所以的周长，故④正确，故答案为①②④.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题③的关键点在于设，由表示出，结合三角函数的性质即可得出答案.
8．B
【分析】利用定义求得曲线C的轨迹方程为，由关于的方程有解，求的取值范围判断命题①；先判断得直线与曲线必有一个公共点，再将代入曲线得到无非零解方程，求实数的取值范围判断命题②.
【详解】对于①：由伯努利双纽线的定义可知，曲线C的方程为:
，
化简得，
设，则
方程化为
设上述方程的两个根为,则至少有一个大于等于0
则需有
由于，
，解得，
①为假命题；
对于②：直线与曲线一定有公共点，若直线与曲线只有一个交点，
将代入曲线方程中得，方程无非零解，
即无实数解，故有，
所以，解得或，故②为真命题.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用平面轨迹方程的求法求得曲线C的轨迹方程，横坐标的取值范围由方程有解判断，直线与曲线的交点问题一般通过联立方程分析判断.
9．AC
【分析】分，，和四种情况，得到曲线在各个象限上的曲线方程，得到答案.
【详解】当时，曲线，为焦点在轴上的双曲线的一部分，渐近线为，
当时，曲线，为焦点在轴的椭圆的一部分；
当时，曲线，为焦点在轴上的双曲线的一部分，渐近线为，
当时，曲线没有图象.
由图象可知，A正确，B错误，结合曲线的渐近线可知C正确，D错误.
故选：AC
10．AD
【分析】先确定椭圆的方程，再根据方程分析椭圆的性质.
【详解】由题意，焦距为，又，所以椭圆焦点必在轴上，
由.
所以椭圆的离心率，故A正确；
根据椭圆的定义，的周长为，故B错误；
如图：
取为椭圆的上顶点，则,
所以为钝角，所以椭圆上存在点，使得为直角，故C错误；
如图：
当时，设，，
则，
所以，故D正确.
故选：AD
11．BD
【分析】首先表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，由距离公式得到方程，即可求出，求出抛物线方程，即可判断A；根据抛物线的定义判断B，求出点坐标，即可判断C；设，结合数量积的坐标运算分析求解.
【详解】对于选项A：因为抛物线的焦点为，准线方程为，
又点满足，则，
整理得，解得或（舍去），
即抛物线，
所以准线方程为，焦点为，故A错误；
对于选项B：过点作准线的垂线，垂足为，
由抛物线的定义可知，
则周长
，
当且仅当、、三点共线时取等号，
所以周长的最小值为，故B正确；
对于选项C：过点作的平行线，交抛物线于点，
即，解得，即，
则，
所以四边形不是平行四边形，故C错误；
对于选项D：设，则，
可得，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，故D正确；
故选：BD
12．
【分析】由题意结合抛物线的定义求出，设点关于直线对称点为，则，从而可求出的最小值.
【详解】由，得，所以，准线为，
不妨设点在第一象限，过作于，则，得，
则，得，所以，
设点关于直线对称点为，则，
所以，
当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为，
故答案为：
13． / /
【分析】借助切线长定理与椭圆性质可得，从而可结合椭圆定义得到的值，即可得其离心率；借助余弦定理的推论可得三角形各边长，结合面积公式运用等面积法即可求取内切圆半径.
【详解】设的内切圆与、相切于点，，
由切线长定理可得，，，
又，则，故，
由椭圆定义可知，
即,
故，又，则；
则，故，设，则，
即，，
则有，
计算可得，则，
又，则，
即有，即.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题关键点一个是借助切线长定理与椭圆性质得到，从而可结合椭圆定义得到的值，第二个是借助等面积法求取内切圆半径.
14．
【分析】由题意可得，进而可设，由题意可得，消去，可得，计算可得结论.
【详解】由题意可得，所以，
设，的斜率为，中点，
因为双曲线一条渐近线恰好垂直平分BF，
所以，所以，所以，
所以，所以，
所以，
所以，所以，，
所以，所以，
所以，所以，
所以，所以.
故答案为：.
15．(1)
(2)（i）；（ii）.
【分析】（1）把点坐标代入抛物线方程，可求的值.
（2）（i）把直线方程代入抛物线方程，消去，得到关于的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系，得到和，把直线与倾斜角互补，转化成,可求的值；（ii）先求弦长，再求到直线的距离，可表示出的面积，再结合基本不等式可求面积的最大值.
【详解】（1）由题意可知，，所以 ，
所以 抛物线的方程为.
（2）（i）如图：
设，将直线的方程代入得：
，所以，
因为直线与倾斜角互补，
所以，
即，
所以，
即，所以.
（ii）由（i）可知，所以，
则，
因为，所以，即，
又点到直线的距离为，
所以，
因为，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以面积最大值为 .
16．(1)
(2)或
【分析】（1）根据离心率得到，从而得到椭圆方程.
（2）确定圆心和半径，设出直线，根据圆心到直线的距离等于半径得到斜率，解得答案.
【详解】（1）椭圆的离心率是，解得.
故椭圆方程为：.
（2）圆，即，
故圆心，半径，，
设直线的方程为，即，
直线与圆相切，则，解得，
当时，，解得或（舍），故，
当时，，解得或（舍），故，
故或
17．(1)；
(2)不存在，理由见解析；
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意列式求，进而可得双曲线方程；
（2）设，联立方程，利用韦达定理判断是否为零即可；
（3）用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值．
【详解】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上，
可得，解得，所以双曲线的方程为．
（2）双曲线的左焦点为，
当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，不符合题意，
当直线的斜率不为0时，设，
由，消去得，
显然，，
设，则，得，
于是，
，
即，因此与不垂直，
所以不存在直线，使得点在以为直径的圆上．
（3）由直线，得，
则，又，
于是
，
而，即有，且，
所以，即为定值．
【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
18．(1)
(2)
(3)4.1米
【分析】（1）设该抛物线的方程为，代入点可得答案；
（2）直线与抛物线联立求出、可得答案；
（3）设车辆高为h，代入抛物线方程可得答案.
【详解】（1）如图所示.
依题意，设该抛物线的方程为，
因为点在抛物线上，所以该抛物线的方程为；
（2），，，设，令，
所以直线与抛物线联立，
由解得，，，
则；
（3）设车辆高为h，则，故，
代入抛物线方程，解得，
所以通过隧道的车辆限制高度为4.1米.
19．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）先根据点在椭圆上，求出的值，再求的面积.
（2）根据点在椭圆上，先明确的关系，再由余弦定理，表示出，由求的范围.
（3）把直线方程与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系，得到，，并用它们表示出，进行化简整理即可.
【详解】（1）因为点在椭圆上，所以，因为，所以，
因为，，所以，，，
所以.
（2）如图：
因为点M在椭圆上，所以，
由余弦定理得
因为是钝角，所以，
又因为，所以，解得，
的范围为.
（3）如图：
设，，
由得，
，，，
又，，所以
，
即有为定值.
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