第七章复数知识精讲+解题方法点拨+考点+跟踪训练-高一数学下学期人教A版2019必修第二册

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第七章复数知识精讲+解题方法点拨+考点+跟踪训练-高一数学下学期人教A版2019必修第二册
考点卡片
虚数单位i、复数
【知识精讲】
i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．
纯虚数
【知识精讲】
形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数，a，b分别叫做它的实部和虚部，当a＝0，b≠0时，叫做纯虚数．
纯虚数也可以理解为非零实数与虚数单位i相乘得到的结果．
【解题方法点拨】
复数与复平面上的点是一一对饮的，这为形与数之间的相互转化提供了一条重要思路．要完整理解复数为纯虚数的等价条件，复数z＝a+bi（a，b∈R）为纯虚数的充要条件是a＝0，b≠0．
实数集和虚数集的并集是全体复数集．虚数中包含纯虚数，即由纯虚数构成的集合可以看成是虚数集的一个真子集．
【考点】
纯虚数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点，考察学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）复数的概念；（2）复数的模；（3）复数相等的四则运算；（4）复数在复平面内对应的点．
复数的代数表示法及其几何意义
【知识精讲】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
3、复数中的解题策略：
（1）证明复数是实数的策略：
①z＝a+bi∈R b＝0（a，b∈R）；②z∈R ＝z．
（2）证明复数是纯虚数的策略：
①z＝a+bi为纯虚数 a＝0，b≠0（a，b∈R）；
②b≠0时，z﹣＝2bi为纯虚数；③z是纯虚数 z+＝0且z≠0．
共轭复数
【知识精讲】
实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数．如2+3i与2﹣3i互为共轭复数，用数学语言来表示即：复数Z＝a+bi的共轭复数＝a﹣bi．
【解题方法点拨】
共轭复数的常见公式有：
；；；
【考点】
共轭复数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，要求能够掌握共轭复数的性质，并能将复数的共轭加法运算和乘法运算进行推广．运用共轭复数运算解决一些简单的复数问题，提高数学符号变换的能力，培优学生类比推广思想，从特殊到一般的方法和探究方法．
复数的模
【知识精讲】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭 a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．
复数的运算
【知识精讲】
复数的加、减、乘、除运算法则
复数的三角表示
【知识精讲】
在复平面中，我们设，θ是以x轴的非负半轴为始边，以OZ所在射线为终边的角，
则a＝rcosθ，b＝rsinθ，z＝a+bi＝r（cosθ+isinθ），
我们把r（cosθ+isinθ）叫做复数a+bi的三角形式，其中r是复数的模，是复数的辐角．
【解题方法点拨】
（1）复数的三角形式Z＝r（cosθ+isinθ）满足以下条件：
①r≥0；
②加号连接；
③cos在前，sin在后；
④θ前后一致，可为任意值．
（2）代数式化三角式的步骤：
①先求复数的模；
②决定辐角所在的象限；
③根据象限求出辐角；
④求出复数三角式．
注意：一般在复数三角式中的辐角，常取它的主值，这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定要主值．
【考点】
教材上明确标注*，说明不作考试要求．至今未曾在高考题中出现过本考点．
跟踪训练
一．选择题（共8小题）
1．（2024春 阳泉期末）已知zi＝1﹣2i，则在复平面内，复数z对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024春 河北区期末）已知复数z＝a+3i，，则a+b＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
3．（2024春 玄武区校级期末）若，则复数z＝（　　）
A． B． C． D．
4．（2024 东兴区校级模拟）＝（　　）
A．1﹣3i B．1+3i C．﹣3+i D．﹣3﹣i
5．（2024春 苏州期末）设i为虚数单位，已知复数，则|z|＝（　　）
A． B． C． D．
6．（2024春 长治期末）已知z＝1+bi（b＞0），且|z|＝2，则＝（　　）
A． B． C．﹣1+i D．1﹣i
7．（2024春 绍兴期末）若z1＝1+2i，z2＝2+i，则＝（　　）
A． B． C． D．
8．（2024 李沧区校级模拟）已知复数z＝cosθ+isinθ（i为虚数单位），则（　　）
A． B．z2＝1
C． D．为纯虚数
二．多选题（共3小题）
9．（2024春 盐城期末）若复数z＝2﹣2i（i为虚数单位），则下列结论正确的有（　　）
A．
B．z的虚部为﹣2i
C．z+＝4
D．z在复平面内对应的点在第二象限
（多选）10．（2024春 台州期末）在复平面内，满足下列条件的复数z所对应的点与点Z1（3，4），Z2（﹣3，4），Z3（4，3）在同一个圆上的是（　　）
A．z＝1+6i B．i z＝4﹣3i C． D．z2＝5+12i
（多选）11．（2024春 涉县校级期末）已知复数，z2＝3﹣4i，z3＝（4+5i）（1﹣i），则（　　）
A．若z1，z2，z3的虚部依次为a，b，c，则2b＝a+c
B．若z1，z2，z3的实部依次为m，n，p，则n2＝mp
C．
D．
三．填空题（共3小题）
12．（2024春 河北区期末）i是虚数单位，复数＝　 　．
13．（2024 开福区校级模拟）在复平面内，复数z1和z2对应的点分别为A，B，则z1 z2＝　 　．
14．（2024春 闵行区校级期末）在复平面上，复数z1＝2+i，z2＝1﹣i对应的点分别为A、B，O为坐标原点，则＝　 　．
四．解答题（共5小题）
15．（2024春 徐汇区校级期末）已知2﹣i是关于x的方程x2+mx+n＝0（m，n∈R）的一个根，其中i为虚数单位．
（1）求m+2n的值；
（2）记复数z＝m+ni，求复数的模．
16．（2024春 武强县校级期末）已知复数z1＝1+mi，z2＝2+3i（m∈R）．
（1）若m＝﹣1，且（2﹣3i）z1+z2＝x+yi，求实数x，y的值；
（2）若为纯虚数，且，求复数z的模．
17．（2024春 徐汇区校级期末）设复数z1，z2满足：z1z2+2iz1﹣2iz2+1＝0．
（1）若，求z1与z2．
（2）若z1，z2是实系数一元二次方程的两个根，求实数p的值．
18．（2024春 杨浦区校级期末）已知复数z满足z（1+i）＝2i，O为坐标原点，复数z在复平面内对应的向量为．
（1）求|z+3﹣4i|；
（2）若向量绕O逆时针旋转得到对应的复数为z′，求z z′．
19．（2024春 新吴区校级期末）已知复数，z2＝（2+i）m﹣3（1+2i），m∈R，i为虚数单位．
（1）若z1+z2是纯虚数，求实数m的值；
（2）若z1+z2＞0，求|z2|．
第七章复数知识精讲+解题方法点拨+考点+跟踪训练-高一数学下学期人教A版2019必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024春 阳泉期末）已知zi＝1﹣2i，则在复平面内，复数z对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．
【解答】解：由zi＝1﹣2i，
得z＝＝＝﹣2﹣i，
∴在复平面内复数z对应的点的坐标为（﹣2，﹣1），位于第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2．（2024春 河北区期末）已知复数z＝a+3i，，则a+b＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【分析】由共轭复数的定义求出a，b即可．
【解答】解：复数z＝a+3i，，
由共轭复数的定义可知，
a＝2，b＝﹣3，
则有a+b＝2﹣3＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了共轭复数的定义，是基础题．
3．（2024春 玄武区校级期末）若，则复数z＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据复数的除法法则运算．
【解答】解：由题意，＝＝＝，
则复数z＝﹣i．
故选：C．
【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．
4．（2024 东兴区校级模拟）＝（　　）
A．1﹣3i B．1+3i C．﹣3+i D．﹣3﹣i
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：＝，
故选：A．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
5．（2024春 苏州期末）设i为虚数单位，已知复数，则|z|＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】由已知结合复数的四则运算进行化简，然后结合模长公式即可求解．
【解答】解：＝＝，
则|z|＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了复数的四则运算及复数的模长公式的应用，属于基础题．
6．（2024春 长治期末）已知z＝1+bi（b＞0），且|z|＝2，则＝（　　）
A． B． C．﹣1+i D．1﹣i
【分析】由已知条件求出b的值即可得答案．
【解答】解：由z＝1+bi（b＞0），且|z|＝2，得1+b2＝4，解得．
则＝．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的基本概念，是基础题．
7．（2024春 绍兴期末）若z1＝1+2i，z2＝2+i，则＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：z1＝1+2i，z2＝2+i，
则＝＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
8．（2024 李沧区校级模拟）已知复数z＝cosθ+isinθ（i为虚数单位），则（　　）
A． B．z2＝1
C． D．为纯虚数
【分析】由复数的模长、共轭复数以及复数的运算、纯虚数的概念依次判断，即可求解．
【解答】解：对于A，|z|＝＝1，故A错误，
对于B，z2＝（cosθ+isinθ）2＝cos2θ+2sinθcosθi+i2sin2θ＝cos2θ﹣sin2θ+2cosθsinθi，故B错误，
对于C，＝（cosθ+isinθ）（cosθ﹣isinθ）＝cos2θ+sin2θ＝1，故C正确，
对于D，z+＝cosθ+isinθ+＝cosθ+isinθ+＝2cosθ，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查复数运算法则、同角三角函数关系式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024春 盐城期末）若复数z＝2﹣2i（i为虚数单位），则下列结论正确的有（　　）
A．
B．z的虚部为﹣2i
C．z+＝4
D．z在复平面内对应的点在第二象限
【分析】直接利用复数的运算性质判断选项．
【解答】解：z＝2﹣2i，，故A正确；z的虚部为﹣2，故B错误；
，故C正确；z在复平面内对应的点的坐标为（2，﹣2），在第四象限，故D错误．
∴结论正确的有AC．
故选：AC．
【点评】本题考查了复数的基本概念，考查了复数模的求法，是基础题．
（多选）10．（2024春 台州期末）在复平面内，满足下列条件的复数z所对应的点与点Z1（3，4），Z2（﹣3，4），Z3（4，3）在同一个圆上的是（　　）
A．z＝1+6i B．i z＝4﹣3i C． D．z2＝5+12i
【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解：点Z1（3，4），Z2（﹣3，4），Z3（4，3）对应的复数分别为z1＝3+4i，z2＝﹣3+4i，z3＝4+3i，
点Z1（3，4），Z2（﹣3，4），Z3（4，3）均在以原点为圆心，5为半径的圆上，
对于A，|z|＝≠5，故A错误；
对于B，iz＝4﹣3i，
则z＝﹣3﹣4i，
故|z|＝，故B正确；
对于C，，解得|z|＝5，故C正确；
对于D，z2＝5+12i，
则，解得|z|＝≠5，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，以及复数模公式，是基础题．
（多选）11．（2024春 涉县校级期末）已知复数，z2＝3﹣4i，z3＝（4+5i）（1﹣i），则（　　）
A．若z1，z2，z3的虚部依次为a，b，c，则2b＝a+c
B．若z1，z2，z3的实部依次为m，n，p，则n2＝mp
C．
D．
【分析】利用复数的运算法则分别化简z1，z2，z3，进而判断出正误．
【解答】解：∵复数＝＝＝1﹣3i，z2＝3﹣4i，z3＝（4+5i）（1﹣i）＝4+5+i＝9+i．
A．∵z1，z2，z3的虚部分别为﹣3，﹣4，1，∵﹣8≠﹣3+1，故A不正确；
B．∵z1，z2，z3的实部分别为1，3，9，32＝1×9＝9，故B正确；
C．∵z1+z2＝4﹣7i，∴，故C正确；
D.，故D正确，
故选：BCD．
【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、实部虚部的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
12．（2024春 河北区期末）i是虚数单位，复数＝　﹣1+2i　．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：＝＝﹣1+2i．
故答案为：﹣1+2i．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
13．（2024 开福区校级模拟）在复平面内，复数z1和z2对应的点分别为A，B，则z1 z2＝　﹣1﹣3i　．
【分析】根据题意写出复数z1，z2，再计算z1 z2．
【解答】解：由题意知，z1＝﹣2﹣i，z2＝1+i，
所以z1 z2＝（﹣2﹣i） （1+i）＝﹣2﹣2i﹣i﹣i2＝﹣1﹣3i．
故答案为：﹣1﹣3i．
【点评】本题考查了复数的定义与运算问题，是基础题．
14．（2024春 闵行区校级期末）在复平面上，复数z1＝2+i，z2＝1﹣i对应的点分别为A、B，O为坐标原点，则＝　1　．
【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，以及向量的数量积运算，即可求解．
【解答】解：，复数z1＝2+i，z2＝1﹣i对应的点分别为A、B，
则A（2，1），B（1，﹣1），
O为坐标原点，
故，，
所以＝2×1+（﹣1）×1＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，以及向量的数量积运算，是基础题．
四．解答题（共5小题）
15．（2024春 徐汇区校级期末）已知2﹣i是关于x的方程x2+mx+n＝0（m，n∈R）的一个根，其中i为虚数单位．
（1）求m+2n的值；
（2）记复数z＝m+ni，求复数的模．
【分析】（1）把2﹣i代入方程x2+mx+n＝0，整理后利用复数相等的条件列式求解m与n的值，则答案可求；
（2）求出z，代入，然后利用商的模等于模的商求解．
【解答】解：（1）∵2﹣i是关于x的方程x2+mx+n＝0（m，n∈R）的一个根，
∴（2﹣i）2+m（2﹣i）+n＝0，即4﹣4i+i2+2m﹣mi+n＝0，
∴3+2m+n﹣（4+m）i＝0，
则3+2m+n＝0，4+m＝0，
解得：m＝﹣4，n＝5，得m+2n＝6；
（2）z＝﹣4+5i，，
∴，则＝．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．
16．（2024春 武强县校级期末）已知复数z1＝1+mi，z2＝2+3i（m∈R）．
（1）若m＝﹣1，且（2﹣3i）z1+z2＝x+yi，求实数x，y的值；
（2）若为纯虚数，且，求复数z的模．
【分析】（1）利用复数代数形式的四则运算化简，由复数相等的条件即可求解．
（2）化简，利用复数为纯虚数求出m值，再利用求出复数的模即可．
【解答】解：（1）若m＝﹣1，则z1＝1+mi＝1﹣i，
∵（2﹣3i）z1+z2＝x+yi，∴1﹣2i＝x+yi，∴x＝1，y＝﹣2．
（2）＝＝＝+i，
∵为纯虚数，∴，∴m＝﹣，
∴＝（1﹣i）﹣i（2﹣3i）＝﹣2﹣i，
∴|z|＝＝．
【点评】本题考查复数代数形式的四则运算，复数的基本概念和复数相等的条件，求模公式，属于基础题．
17．（2024春 徐汇区校级期末）设复数z1，z2满足：z1z2+2iz1﹣2iz2+1＝0．
（1）若，求z1与z2．
（2）若z1，z2是实系数一元二次方程的两个根，求实数p的值．
【分析】（1）设z1＝a+bi（a，b∈R），由＝2i得到z2＝a﹣（b+2）i，从而代入z1z2+2i z1﹣2i z2+1＝0化简求解；
（2）由题意设z1＝+bi，则z2＝﹣bi，从而得到2+b2＝p，p+2i 2bi+1＝0，从而解得．
【解答】解：（1）设z1＝a+bi（a，b∈R），则z2＝a﹣（b+2）i，
∵z1z2+2i z1﹣2i z2+1＝0，
∴（a+bi）（a﹣（b+2）i）+2i（a+bi）﹣2i（a﹣（b+2）i）+1＝0，
∴a2+b（b+2）+1﹣4b﹣4﹣2ai＝0，
∴a2+b（b+2）+1﹣4b﹣4＝0，2a＝0，
解得，a＝0，b＝3或b＝﹣1，
故z1＝3i，z2＝﹣5i或z1＝﹣i，z2＝﹣i；
（2）∵z1，z2是实系数一元二次方程x2﹣2x+p＝0的两个根，
∴z1+z2＝2，z1z2＝p，
设z1＝+bi，则z2＝﹣bi，
由题意得，z1z2＝2+b2＝p，
z1z2+2iz1﹣2iz2+1＝p+2i 2bi+1＝0，
解得，b＝1，p＝3或b＝3，p＝11；
故p＝3或p＝11．
【点评】本题考查了复数运算的常规方法，待定系数法，同时考查了学生的化简运算能力，属于中档题．
18．（2024春 杨浦区校级期末）已知复数z满足z（1+i）＝2i，O为坐标原点，复数z在复平面内对应的向量为．
（1）求|z+3﹣4i|；
（2）若向量绕O逆时针旋转得到对应的复数为z′，求z z′．
【分析】（1）求出对应复数，再利用模的公式求模即可．
（2）利用复数的几何意义结合旋转的性质求出对应复数，再求乘积即可．
【解答】解：（1）由z（1+i）＝2i得：，
∴．
（2）又z＝1+i，由复数的几何意义，
得向量绕原点O逆时针旋转得到的，
则对应的复数为z′＝﹣1+i，则z z′＝（1+i） （﹣1+i）＝﹣2．
【点评】本题主要考查复数模公式，以及复数的几何意义，是基础题．
19．（2024春 新吴区校级期末）已知复数，z2＝（2+i）m﹣3（1+2i），m∈R，i为虚数单位．
（1）若z1+z2是纯虚数，求实数m的值；
（2）若z1+z2＞0，求|z2|．
【分析】（1）结合复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解；
（2）结合实数的定义，即可求解．
【解答】解：（1）＝＝m2+m2i，
z2＝（2+i）m﹣3（1+2i）＝2m﹣3+（m﹣6）i，
故+（m2+m﹣6）i，
z1+z2是纯虚数，
则，解得m＝1；
（2）+（m2+m﹣6）i，
则，解得m＝2，
故．
【点评】本题主要考查复数的概念，以及复数的运算，属于基础题．
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