选择必修 第一章 1.4.1用空间向量研究直线、平面位置关系1.空间中点、直线和平面的向量表示 课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
选择必修 第一章
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
1.空间中点、直线和平面的向量表示
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量和平面的法向量． 1.数学抽象素养和空间直观素养.
2.掌握平面法向量的求法． 2.空间直观素养和数学运算素养.
新知引入
我们已经把向量从平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题，我们发现建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决立体几何问题的关键.本节我们进一步运用空间向量研究立体几何中有关直线、平面的位置关系和度量问题.
几何中
点
线
面
向量中
？
？
？
我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面．
新知探究
如何用向量表示空间中的一个点
O
P
如图，在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用向来表示，我们把向量称为点P的位置向量.
新知探究
我们知道， 空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l． 如何用向量表示直线l
用向量表示直线l， 就是要利用点A和直线l的方向向量表示直线上的任意一点．
P
a
A
B
l
如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取= a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知：
点P在直线l上
充要条件
存在实数t，使得 ,即.
新知探究
进一步，如图，取定空间中的任意一点O，
P
a
A
B
可以得到：点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使
①
或
②
O
①②式称为空间直线l的向量表示.
由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
你能证明这个结论吗？
新知探究
一个定点和两个定方向能否确定一个平面？进一步地，一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？
我们知道，平面α可以由α内两条相交直线确定.
如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为 和 ，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得
O
P
a
b
.
这样，点O与向量 , 不仅可以确定平面α，还可以具体表示出α内的任意一点.这种表示在解决几何问题时有重要作用.
知新探究
进一步地，如图，取定空间中的任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使
③
a
b
B
C
P
A
O
你能证明这个结论吗？
我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式．
由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
设取定空间任意一点O，取平面ABC的任意一点P，则，
又根据三角形的加法法则,,
所以，.
知新探究
我们知道，给定空间一点A和一条直线l，则过点A且垂直于直线l的平面是唯一确定的．由此得到启发，我们可以利用点A和直线l的方向向量来确定平面．
如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量 为平面α的法向量(normal vector).
给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合.
如果另有一条直线m⊥α，在直线m上任取向量 ,与有什么关系
注意：
①一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行；
②法向量一定是非零向量;
③平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量;
④向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有.
新知探究
【例1】若M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　)
A.(2，2，6) B.(1，1，3) C.(3，1，1) D.(－3，0，1)
解：
∵M，N在直线l上，
∴＝(1，1，3)，
则向量(1，1，3)，(2，2，6)都是直线l的一个方向向量．
故选AB.
AB
初试身手
1.已知两点A(1，-2，3)，B(2，1，-3)，求A，B连线与三个坐标平面的交点.
解：
设A，B连线与平面yOz的交点C1(0,y1,z1)
由得
(0，y1，z1)=(1-t)(1，-2，3)+t(2，1，-3)，
∴(0，y1，z1)=(1+t，-2+3t，3-6t)，
由1+t=0，得t=-1，
∴(0,-5,9),C1(0,-5,9).
同理可得C2(,0,-1)，
C3(,,0).
新知探究
【例2】在空间直角坐标系中，已知A(3，0，0)，B(0，4，0)，C(0，0，2)，试求平面ABC的一个法向量.
解：
设平面ABC的一个法向量为，
∵=(-3,4,0),=(-3,0,2),
∴,即,
令x=4,则y=3,z=6,(4,3,6)，
∴(4,3,6)是平面ABC的一个法向量.
知新探究
求平面法向量的步骤
1.设法向量：设出平面的法向量=(x，y，z)；
2.选向量：取平面内两个不共线的向量=(a1，b1，c1)，=(a2，b2，c2)；
3.列方程组：由列出方程组；
4.解方程组：；
5.取一组非零解，得法向量.
初试身手
2.已知点A(a，0，0)、B(0，b，0)、C(0，0，c)，求平面ABC的一个法向量．
解：
由已知可得：＝(－a，b，0)，＝ (－a，0，c)．
设平面ABC的一个法向量为＝(x，y，z)，则
,解得,
取x=bc，则y=ac,z=ab,
∴＝(bc,ac,ab).
因此，＝(bc,ac,ab)是平面ABC的一个法向量.
新知探究
【例3】已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1 =2，M为AB中点.以D为原点，DA, DC, DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系.
⑴求平面BCC1B1的一个法向量；
⑵求平面MCA1的一个法向量．
分析：⑴平面BCC1B1与y轴垂直，其法向量可以直接写出；
y
x
z
D
A
B
C
D1
A1
B1
C1
M
⑵平面MCA1可以看成由,, 中的两个向量所确定，运用法向量与它们的垂直关系，可转化为数量积运算求得法向量.
新知探究
⑴∵平面BCC1B1与y轴垂直，
y
x
z
D
A
B
C
D1
A1
B1
C1
M
⑵∵AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点，
解：
∴=(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量.
∴M，C，A1的坐标分别(3,2,0)、(0,4,0)、(3,0,2)，
因此=(-3,2,0),=(0,-2,2),
设=(x,y,z)是平面MCA1的一个法向量，则
,,
∴
∴
取y=3,则x=2,z=3,于是=(2,3,3)是平面MCA1的
一个法向量.
求平面的法向量，通常只需要求出平面的一个法向量．求直线的方向向量也是如此.
初试身手
3.已知正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为BB1，C1D1的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN的一个法向量．
解：
如图所示,以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系.
设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，则A(1,0,0),M(1,1,),
N(0,,1),
∴(0,1,),（-1，，1）,
∴，
设=(x,y,z)是平面AMN的一个法向量，
令y=2,则z=-4,x=3.=(3,2-4)，
∴平面AMN的一个法向量为=(3,2-4).
课堂小结
1.空间中点、直线和平面的向量表示
2.求平面法向量的步骤：
点→点+位置向量
线→点+方向向量
平面→点+法向量
设向量
选向量
列方程组
解方程组
赋非零值
得结论
作业布置
作业： P29 练习 第2,3题
P41 习题1.4 第1，2题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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