四川省成都市玉林中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题（含答案）

玉林中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题
（考试时间：120分钟；总分：150分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（　　）
A. B.
C. D.
2．在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，则点到直线的距离是（　　）
A. B. C. D.
3．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗一头细．在粗的一端截下一尺，重四斤；在细的一端截下一尺，重二斤．问依次每一尺各重几斤？”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，则中间三尺的质量为 (　　)
A．3斤 B．6斤 C．9斤 D．12斤
4．设X，Y为随机变量，且E(X )＝2，E(X 2 )＝6，Y＝2X－1，则D(Y )等于 (　　)
A．9 B．8 C．5 D．4
5．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 (　　)
A．144 B．120 C．72 D．24
6．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是 (　　)
A．(－∞，－]∪[，＋∞) B．[－，]
C．(－∞，－)∪(，＋∞) D．(－，)
7．已知小黄每天步行上学的概率为0.6，骑自行车上学的概率为0.4，且步行上学有0.05的概率迟到，骑自行车上学有0.02的概率迟到．若小明今天上学迟到了，则他今天骑自行车上学的概率为（　　）
A. B. C. D.
8．已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的按比例得分，有错选的得0分.
9．在一个袋中装有大小相同的4个黑球、6个白球，现从中任取3个球，设取出的3个球中白球的个数为X，则下列结论正确的是(　　)
A．随机变量X服从超几何分布 B．随机变量X服从二项分布
C．P(X＝2)＝ D．E(X)＝
10．抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A. l与相切 B. 当P，A，B三点共线时，
C. 当时， D. 满足的点有且仅有2个
11. 设函数，则（ ）
A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点
C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴 D. 存在a，使得点为曲线的对称中心
三、填空题：本大题共3小题,每小题5分,共15分.
12．的展开式中的常数项为 ．
13．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销量为Q，销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出) ．
14．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若双曲线上存在一点P，使＝，则双曲线的离心率的取值范围是 ．
四、解答题：本大题有5小题，共77分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．(13分)某省食品药品监管局对15个大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估，满分为10分，大部分大学食堂的评分在7～10分之间，以下表格记录了它们的评分情况：
分数段 [0,7) [7,8) [8,9) [9,10]
食堂个数 1 3 8 3
(1)现从15个大学食堂中随机抽取3个，求至多有1个大学食堂的评分不低于9分的概率；
(2)以这15个大学食堂的评分数据评估全国的大学食堂的评分情况，若从全国的大学食堂中任选3个，记X表示抽到评分不低于9分的食堂个数，求X的分布列及均值．
16．(15分)已知等比数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式．
（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．
17．(15分)已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
18．(17分)如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF对折至，使得．
（1）证明：；
（2）求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值．
19．(17分)设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（1）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
（2）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
数学答案
一、单项选择题：1．A. 2．A. .3．C 4．B 5．D 6．B 7．A. 8．C
【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得
，即，令得，
故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，
设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小，
，此时.故选：C
二、多项选择题：
9．ACD 10．ABD 11. AD
【详解】A选项，，由于，故时，故在上单调递增，时，，单调递减，则在处取到极大值，在处取到极小值，由，，则，根据零点存在定理在上有一个零点，
又，，则，则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；
B选项，，时，，单调递减，时，单调递增，此时在处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，即存在这样的使得，即，根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；
D选项，，若存在这样的，使得为的对称中心，则，事实上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.故选：AD
三、填空题：12．60 13．23 000元 14．(1，＋1)
14．解　分析知P不是双曲线的顶点．在△PF1F2中，由正弦定理，得＝.又＝，
所以＝，即|PF1|＝|PF2|，所以点P在双曲线的右支上，
由双曲线的定义，知|PF1|－|PF2|＝2a，即|PF2|－|PF2|＝2a，得|PF2|＝.由双曲线的几何性质，知|PF2|>c－a，
则>c－a，即c2－2ac－a2<0，所以e2－2e－1<0，解得－＋1又e>1，所以双曲线离心率的取值范围为(1，＋1)．
四、解答题：
15．解　(1)设“至多有1个大学食堂的评分不低于9分”为事件A，则P(A)＝＝.
所以至多有1个大学食堂的评分不低于9分的概率为.
(2)任意一个大学食堂，其评分不低于9分的概率为＝，故X～B，X的可能取值为0,1,2,3，
所以P(X＝0)＝C×3＝，P(X＝1)＝C×2×＝，P(X＝2)＝C××2＝，P(X＝3)＝C×3＝，
X 0 1 2 3
P
所以X的分布列为
故E(X)＝3×＝.
16．【详解】（1）由题意知：当时： ①，当时： ②
联立①②，解得.所以数列的通项公式.
（2）由（1）知，.所以.所以.
设数列中存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列.则，
所以，即.
又因为m，k，p成等差数列,所以，所以，化简得
所以，又，所以与已知矛盾.
所以在数列中不存在3项，，成等比数列.
17．【小问1详解】当时，则，，可得，，
即切点坐标为，切线斜率，所以切线方程为，即.
【小问2详解】因为的定义域为，且，
若，则对任意恒成立，可知在上单调递增，无极值，不合题意；
若，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则有极小值，无极大值，由题意可得：，即，构建，则，可知在内单调递增，且，不等式等价于，解得，所以a的取值范围为；
18．【小问1详解】由，得，又，在中，
由余弦定理得,
所以，则，即，所以，又平面，
所以平面，又平面，故；
【小问2详解】连接，由，则，在中，，得，所以，由（1）知，又平面，所以平面，又平面，所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系，则，由是的中点，得，所以，
设平面和平面的一个法向量分别为，
则，，
令，得，所以，
所以，设平面和平面所成角为，则，
即平面和平面所成角的正弦值为.
19．【详解】（I）圆心为，圆的半径为，，，又，，，.所以点E的轨迹是以点和点为焦点，以4为长轴长的椭圆，即，所以点E的轨迹方程为：.
（II）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，，，此时四边形MPNQ面积为；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，与椭圆联立得：
，设，则，，
直线方程为，即
所以圆心到直线的距离为，
综上可知四边形MPNQ面积的取值范围为
成都市玉林中学高2022级零诊模拟试题（一）
数学
（考试时间：120分钟；总分：150分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（　　）
A. B.
C. D.
【详解】由图象可知函数是单调递增的，所以，，均为正. 从图中还可以看出函数切线的斜率是随着自变量的增大而逐渐减小的，因此该函数的导函数是单调递减的，所以有.
故选：A.
2．在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，则点到直线的距离是（　　）
A. B. C. D.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
则
因为，
所以.
所以点到直线的距离为.
3．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗一头细．在粗的一端截下一尺，重四斤；在细的一端截下一尺，重二斤．问依次每一尺各重几斤？”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，则中间三尺的质量为(　　)
A．3斤 B．6斤 C．9斤 D．12斤
解析　由题意可知金箠每尺的质量(单位：斤)构成等差数列{an}，设细的一端一尺的质量为a1斤，粗的一端一尺的质量为a5斤，则a1＝2，a5＝4，根据等差数列的性质可知a1＋a5＝2a3＝6，解得a3＝3，
所以中间三尺的质量为a2＋a3＋a4＝3a3＝9(斤)．答案　C
4．设X，Y为随机变量，且E(X )＝2，E(X 2 )＝6，Y＝2X－1，则D(Y )等于(　　)
A．9 B．8 C．5 D．4
解析　由题意，D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝6－4＝2，故D(Y)＝D(2X－1)＝22D(X)＝8.答案　B
5．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)
A．144 B．120 C．72 D．24
解析　先将3把空椅子隔开摆放，此时3把空椅子中间和两边共有4个空隙供3人(不妨记为甲、乙、丙)选择就座，因此可分三步：甲从4个空隙中任选一个空隙，有4种不同的选择；乙从余下的3个空隙中任选一个空隙，有3种不同的选择；丙从余下的2个空隙中任选一个空隙，有2种不同的选择．根据分步乘法计数原理，得任何两人不相邻的坐法种数为4×3×2＝24.答案　D
6．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－]∪[，＋∞) B．[－，]
C．(－∞，－)∪(，＋∞) D．(－，)
解析　f′(x)＝－3x2＋2ax－1，由题意，可知f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在R上恒成立，
∴(2a)2－4×(－3)×(－1)≤0，解得－≤a≤.答案　B
7．已知小黄每天步行上学的概率为0.6，骑自行车上学的概率为0.4，且步行上学有0.05的概率迟到，骑自行车上学有0.02的概率迟到．若小明今天上学迟到了，则他今天骑自行车上学的概率为（　　）
A. B. C. D.
解析　设A＝“小明步行上学”，B＝“小明骑自行车上学”，C＝“小明迟到”，
由已知得P(A)＝0.6，P(B)＝0.4，P(C|A)＝0.05，P(C|B)＝0.02，
由全概率公式可知P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝0.6×0.05＋0.4×0.02＝0.038，
利用条件概率可得P(B|C)＝＝＝＝，
即小明今天骑自行车上学的概率为.
8．已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D.
【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得
，即，令得，
故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，
设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小，
，此时.
故选：C
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的按比例得分，有错选的得0分.
9．在一个袋中装有大小相同的4个黑球、6个白球，现从中任取3个球，设取出的3个球中白球的个数为X，则下列结论正确的是(　　)
A．随机变量X服从超几何分布 B．随机变量X服从二项分布
C．P(X＝2)＝ D．E(X)＝
答案　ACD
解析　由题意知，随机变量X服从超几何分布，且N＝10，M＝6，n＝3，故A正确，B错误；
P(X＝2)＝＝，故C正确；E(X)＝＝＝，故D正确．
10．抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A. l与相切 B. 当P，A，B三点共线时，
C. 当时， D. 满足的点有且仅有2个
【答案】ABD
【详解】A选项，抛物线的准线为，的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，
故准线和相切，A选项正确；
B选项，三点共线时，即，则的纵坐标，由，得到，故，
此时切线长，B选项正确；
C选项，当时，，此时，故或，当时，，，，不满足；
当时，，，，不满足；
于是不成立，C选项错误；
D选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义，，这里，于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题，，中点，中垂线的斜率为，于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得，，即的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个点，使得，D选项正确.
方法二：（设点直接求解）设，由可得，又，又，根据两点间的距离公式，，整理得，，则关于的方程有两个解，
即存在两个这样的点，D选项正确.
故选：ABD
11. 设函数，则（ ）
A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点
C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴 D. 存在a，使得点为曲线的对称中心
【答案】AD
【详解】A选项，，由于，故时，故在上单调递增，时，，单调递减，则在处取到极大值，在处取到极小值，由，，则，根据零点存在定理在上有一个零点，
又，，则，则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；
B选项，，时，，单调递减，时，单调递增，此时在处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，即存在这样的使得，即，根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的，使得为的对称中心，则，事实上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，，，由，于是该三次函数的对称中心为，由题意也是对称中心，故，
即存在使得是的对称中心，D选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心
三、填空题：本大题共3小题,每小题5分,共15分.
12．的展开式中的常数项为 ．
解析　6的展开式中的常数项为C()4·2＝60.
13．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销量为Q，销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出) ．
解析　设毛利润为L(P)．则L(P)＝PQ－20Q＝(8 300－170P－P2)(P－20)＝－P3－150P2＋11 700P－166 000，
所以L′(P)＝－3P2－300P＋11 700.令L′(P)＝0，解得P＝30或P＝－130(舍去)．此时，L(30)＝23 000.
根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元．
14．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若双曲线上存在一点P，使＝，则双曲线的离心率的取值范围是 ．
解　分析知P不是双曲线的顶点．在△PF1F2中，由正弦定理，得＝.又＝，
所以＝，即|PF1|＝|PF2|，所以点P在双曲线的右支上，
由双曲线的定义，知|PF1|－|PF2|＝2a，即|PF2|－|PF2|＝2a，得|PF2|＝.由双曲线的几何性质，知|PF2|>c－a，
则>c－a，即c2－2ac－a2<0，所以e2－2e－1<0，解得－＋1又e>1，所以双曲线离心率的取值范围为(1，＋1)．
四、解答题：本大题有5小题，共77分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．(13分)某省食品药品监管局对15个大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估，满分为10分，大部分大学食堂的评分在7～10分之间，以下表格记录了它们的评分情况：
分数段 [0,7) [7,8) [8,9) [9,10]
食堂个数 1 3 8 3
(1)现从15个大学食堂中随机抽取3个，求至多有1个大学食堂的评分不低于9分的概率；
(2)以这15个大学食堂的评分数据评估全国的大学食堂的评分情况，若从全国的大学食堂中任选3个，记X表示抽到评分不低于9分的食堂个数，求X的分布列及均值．
解　(1)设“至多有1个大学食堂的评分不低于9分”为事件A，则P(A)＝＝.
所以至多有1个大学食堂的评分不低于9分的概率为.
(2)任意一个大学食堂，其评分不低于9分的概率为＝，故X～B，X的可能取值为0,1,2,3，
所以P(X＝0)＝C×3＝，P(X＝1)＝C×2×＝，P(X＝2)＝C××2＝，P(X＝3)＝C×3＝，
X 0 1 2 3
P
所以X的分布列为
故E(X)＝3×＝.
16．(15分)已知等比数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式．
（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．
【详解】（1）由题意知：当时： ①，当时： ②
联立①②，解得.所以数列的通项公式.
（2）由（1）知，.所以.所以.
设数列中存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列.则，
所以，即.
又因为m，k，p成等差数列,所以，所以，化简得
所以，又，所以与已知矛盾.
所以在数列中不存在3项，，成等比数列.
17．(15分)已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
【答案】（1） （2）
【小问1详解】当时，则，，可得，，
即切点坐标为，切线斜率，所以切线方程为，即.
【小问2详解】
解法一：因为的定义域为，且，
若，则对任意恒成立，可知在上单调递增，无极值，不合题意；
若，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则有极小值，无极大值，由题意可得：，即，
构建，则，可知在内单调递增，且，
不等式等价于，解得，所以a的取值范围为；
解法二：因为的定义域为，且，若有极小值，则有零点，
令，可得，可知与有交点，则，
若，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则有极小值，无极大值，符合题意，
由题意可得：，即，
构建，因为则在内单调递增，可知在内单调递增，且，不等式等价于，解得，
所以a的取值范围为.
18．(17分)如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF对折至，使得．
（1）证明：；
（2）求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值．
【小问1详解】
由，得，又，在中，
由余弦定理得,
所以，则，即，所以，又平面，
所以平面，又平面，故；
【小问2详解】
连接，由，则，在中，，得，所以，由（1）知，又平面，
所以平面，又平面，所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系，则，由是的中点，得，
所以，
设平面和平面的一个法向量分别为，
则，，
令，得，所以，
所以，设平面和平面所成角为，则，
即平面和平面所成角的正弦值为.
19．(17分)设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（1）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
（2）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
【详解】（I）圆心为，圆的半径为，，
，又，，
，.
所以点E的轨迹是以点和点为焦点，以4为长轴长的椭圆，即，
所以点E的轨迹方程为：.
（II）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，，，此时四边形MPNQ面积为；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，与椭圆联立得：
，设，则
，，
直线方程为，即
所以圆心到直线的距离为，
综上可知四边形MPNQ面积的取值范围为