期末模拟卷（含答案）-2023-2024学年高中数学苏教版2019选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 期末模拟卷（含答案）-2023-2024学年高中数学苏教版2019选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 872.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-07 10:27:13 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
期末模拟卷-2023-2024学年高中数学苏教版2019选择性必修第一册
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知等差数列中，为数列的前项和，则（ ）
A．115 B．110 C． D．
2．已知函数，若，则下列式子大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为（ ）
A．2 B．1 C． D．
4．设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线交椭圆于A，B两点，则的周长为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
5．一质点沿直线运动，位移（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系为，则质点在秒时的瞬时速度为（ ）
A．1米/秒 B．2米/秒 C．3米/秒 D．4米/秒
6．函数的导函数的部分图象如图所示，则的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知二次函数与轴交于，两点，点，圆过，，三点，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则该定值为（ ）
A． B． C． D．
8．设，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过且斜率为的直线与右支交于点，与左支交于点，点满足，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知m∈R，n∈R，且mn≠0，x＝1为函数的极小值点，则下列不等式可以成立的有（ ）
A． B．
C． D．
10．已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A．若是等差数列，，则使的最大正整数的值为15
B．若是等比数列，（为常数），则必有
C．若是等比数列，则
D．若，则数列为递增等差数列
11．已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上的动点，过点作两渐近线的垂线，垂足分别为，.若圆与双曲线的渐近线相切，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．双曲线的离心率
C．当点异于双曲线的顶点时，的内切圆的圆心总在直线上
D．为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．直线l：x+y＝0被圆C：（x﹣2）2+y2＝2截得的弦长为 ．
13．数列是等比数列，和是方程的两根，则 .
14．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间[a，b]上连续，在开区间内可导，且存在点，使得，则称为函数在闭区间[a，b]上的中值点．若函数在区间上的“中值点”的个数为，函数在区间[0，1]上的“中值点”的个数为，则 。（参考数据：）
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知数列的前n项和为，，
（1）证明：是等比数列，并求出的通项公式；
（2）已知，求数列的前n项和．
16．已知函数
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求证：当时，．
17．设为数列的前n项和，已知是首项为，公差为的等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）令，为数列的前n项积，证明：.
18．已知椭圆的离心率为，且过点.过椭圆上的点作圆的两条切线，其中一条切线与椭圆相交于点，与圆相切于点，两条切线与轴分别交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）线段是否为定值，若是，请求出的值；若不是，请说明理由：
（3）若椭圆上点，求面积的取值范围.
19．对于一个函数和一个点，定义，若存在，使是的最小值，则称点P是函数到点M的“最近点”.
（1）对于（x＞0），求证，对于点，存在点P，使得P是到点M的“最近点”；
（2）对于，，请判断是否存在一个点P，它是到点M的“最近点”，且直线MP与在点P处的切线垂直；
（3）已知f（x）存在导函数f'（x），函数g（x）恒大于零，对于点M1（t-1，f（t）-g（t）），点M2（t+1，f（t）+g（t）），若对任意t∈R，存在点P同时是f（x）到点M1与点M2的“最近点”，试判断f（x）的单调性．
答案解析部分
1．D
2．A
3．D
4．C
5．C
6．B
7．B
8．B
9．B,D
10．B,D
11．A,B,C
12．2
13．
14．2
15．（1）解：因为，
当n＝1时，，，∴；
当n≥2时，，，两式相减得，
又∵，
∴数列是首项为3，公比为2的等比数列，
∴
（2）解：
∴
16．（1）解：因为，所以，所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为；
（2）解：令
那么
当
所以，
当．
所以，当时，．
17．（1）由是首项为，公差为的等差数列，
故，
即，
当时，，
故
，
当n=1时，，符合上式，
故；
（2）由an=n2， Sn=，所以bn===
则Tn=b1b2bn=
因为（2n+1）(n+1)
所以
18．（1）解：，又，
则，
；
（2）解：由题意知切线与轴有交点，的斜率存在，设直线方程为：，设，
消去得，
，
又，
当时，①，
直线与圆相切，圆心到直线的距离
代入①得，
，
当，易得，则，
，直线AB过椭圆的上或下顶点与左或右顶点，
，
在Rt中，
，由射影定理知，
故为定值2；
（3）解：设过点的切线方程为（斜率一定存在），
圆心到直线的距离为：（平方化简），
，设直线AE，AF的斜率分别为，
因为，令，同理可得，
在椭圆上，，代入化简得：
，
令，
，
令，
令，
在上单调递减，在上单调递增，，
在[2，4]上单调递减，，
故面积的取值范围为．
19．（1）解：当时，，
当且仅当，即时等号成立，
故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”．
（2）解：函数，，由定义可得：定义域为，
，易知在上单调递增，当时，解得，
当时，；当时，，
故，此时，
，则函数在点处的切线方程为，
而，故，故直线与在点处的切线垂直．
（3）解：由题意可得，，
，，
若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，
设，则既是的最小值点，也是的最小值点，
因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，则存在，使得，
即①
②
由①②相等得，即，
即，又因为函数在定义域上恒正，则恒成立，
再证明，
因为既是的最小值点，也是的最小值点，
则，
即，③
，④
③④得
即，因为
则，解得，
则恒成立，故函数严格单调递减.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
期末模拟卷-2023-2024学年高中数学苏教版2019选择性必修第一册
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知等差数列中，为数列的前项和，则（ ）
A．115 B．110 C． D．
2．已知函数，若，则下列式子大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为（ ）
A．2 B．1 C． D．
4．设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线交椭圆于A，B两点，则的周长为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
5．一质点沿直线运动，位移（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系为，则质点在秒时的瞬时速度为（ ）
A．1米/秒 B．2米/秒 C．3米/秒 D．4米/秒
6．函数的导函数的部分图象如图所示，则的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知二次函数与轴交于，两点，点，圆过，，三点，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则该定值为（ ）
A． B． C． D．
8．设，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过且斜率为的直线与右支交于点，与左支交于点，点满足，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知m∈R，n∈R，且mn≠0，x＝1为函数的极小值点，则下列不等式可以成立的有（ ）
A． B．
C． D．
10．已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A．若是等差数列，，则使的最大正整数的值为15
B．若是等比数列，（为常数），则必有
C．若是等比数列，则
D．若，则数列为递增等差数列
11．已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上的动点，过点作两渐近线的垂线，垂足分别为，.若圆与双曲线的渐近线相切，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．双曲线的离心率
C．当点异于双曲线的顶点时，的内切圆的圆心总在直线上
D．为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．直线l：x+y＝0被圆C：（x﹣2）2+y2＝2截得的弦长为 ．
13．数列是等比数列，和是方程的两根，则 .
14．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间[a，b]上连续，在开区间内可导，且存在点，使得，则称为函数在闭区间[a，b]上的中值点．若函数在区间上的“中值点”的个数为，函数在区间[0，1]上的“中值点”的个数为，则 。（参考数据：）
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知数列的前n项和为，，
（1）证明：是等比数列，并求出的通项公式；
（2）已知，求数列的前n项和．
16．已知函数
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求证：当时，．
17．设为数列的前n项和，已知是首项为，公差为的等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）令，为数列的前n项积，证明：.
18．已知椭圆的离心率为，且过点.过椭圆上的点作圆的两条切线，其中一条切线与椭圆相交于点，与圆相切于点，两条切线与轴分别交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）线段是否为定值，若是，请求出的值；若不是，请说明理由：
（3）若椭圆上点，求面积的取值范围.
19．对于一个函数和一个点，定义，若存在，使是的最小值，则称点P是函数到点M的“最近点”.
（1）对于（x＞0），求证，对于点，存在点P，使得P是到点M的“最近点”；
（2）对于，，请判断是否存在一个点P，它是到点M的“最近点”，且直线MP与在点P处的切线垂直；
（3）已知f（x）存在导函数f'（x），函数g（x）恒大于零，对于点M1（t-1，f（t）-g（t）），点M2（t+1，f（t）+g（t）），若对任意t∈R，存在点P同时是f（x）到点M1与点M2的“最近点”，试判断f（x）的单调性．
答案解析部分
1．D
2．A
3．D
4．C
5．C
6．B
7．B
8．B
9．B,D
10．B,D
11．A,B,C
12．2
13．
14．2
15．（1）解：因为，
当n＝1时，，，∴；
当n≥2时，，，两式相减得，
又∵，
∴数列是首项为3，公比为2的等比数列，
∴
（2）解：
∴
16．（1）解：因为，所以，所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为；
（2）解：令
那么
当
所以，
当．
所以，当时，．
17．（1）由是首项为，公差为的等差数列，
故，
即，
当时，，
故
，
当n=1时，，符合上式，
故；
（2）由an=n2， Sn=，所以bn===
则Tn=b1b2bn=
因为（2n+1）(n+1)
所以
18．（1）解：，又，
则，
；
（2）解：由题意知切线与轴有交点，的斜率存在，设直线方程为：，设，
消去得，
，
又，
当时，①，
直线与圆相切，圆心到直线的距离
代入①得，
，
当，易得，则，
，直线AB过椭圆的上或下顶点与左或右顶点，
，
在Rt中，
，由射影定理知，
故为定值2；
（3）解：设过点的切线方程为（斜率一定存在），
圆心到直线的距离为：（平方化简），
，设直线AE，AF的斜率分别为，
因为，令，同理可得，
在椭圆上，，代入化简得：
，
令，
，
令，
令，
在上单调递减，在上单调递增，，
在[2，4]上单调递减，，
故面积的取值范围为．
19．（1）解：当时，，
当且仅当，即时等号成立，
故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”．
（2）解：函数，，由定义可得：定义域为，
，易知在上单调递增，当时，解得，
当时，；当时，，
故，此时，
，则函数在点处的切线方程为，
而，故，故直线与在点处的切线垂直．
（3）解：由题意可得，，
，，
若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，
设，则既是的最小值点，也是的最小值点，
因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，则存在，使得，
即①
②
由①②相等得，即，
即，又因为函数在定义域上恒正，则恒成立，
再证明，
因为既是的最小值点，也是的最小值点，
则，
即，③
，④
③④得
即，因为
则，解得，
则恒成立，故函数严格单调递减.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)