期末模拟卷（含答案）-2023-2024学年高中数学苏教版2019必修第二册

期末模拟卷-2023-2024学年高中数学苏教版2019必修第二册
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设，则＝（　　）
A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4
2．已知，为单位向量，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．甲、乙、丙三位棋手按如下规则进行比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，由第一局的胜者与丙进行第二局比赛，败者轮空，使用这种方式一直进行到其中一人连胜两局为止，此人成为整场比赛的优胜者．甲、乙、丙胜各局的概率均为 ， 且各局胜负相互独立．若比赛至多进行四局，则甲获得优胜者的概率是 （　　）
A． B． C． D．
4．若，，则(　　)
A． B． C． D．
5．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝（　　）
A．10 B．9 C．8 D．5
6． 毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体，下半部分圆柱的高为2.5米；上半部分圆锥的母线长为米，轴截面（过圆锥轴的截面）是面积为平方米的等腰钝角三角形，则建造该毡帐（不含底面）需要毛毡（　　）平方米．
A． B．
C． D．
7．对任意两个非零的平面向量和，定义：；.若平面向量，满足，且和都在集合中，则(　　)
A．1 B． C．1或 D．1或
8．如图，在直三棱柱中，所有棱长都相等，分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下面给出的关系式中，正确的是(　　)
A． B．
C． D．
10．从标有1，2，3，…，10的10张卡片中，有放回地抽取两张，依次得到数字，，记点，，，则（　　）
A．是锐角的概率为
B．是锐角的概率为
C．是锐角三角形的概率为
D．的面积不大于5的概率为
11．在正三棱锥中，，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则二面角是
B．若二面角是，则正三棱锥的体积是
C．荅，则正三棱锥内切球的半径是.
D．若，则正三梭锥外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量，且，则实数　 　．
13．已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是　 　．
14．某同学将一张圆心角为的扇形纸壳裁成扇环如图后，制成了简易笔筒如图的侧面，已知，则制成的简易笔筒的高为　 　．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15． 设复数＝2+ai（其中a∈R），＝3﹣4i．
（1）若+是实数，求z1?的值；
（2）若是纯虚数，求的虚部及||．
16．已知向量，满足，，，，的夹角为.
（1）；
（2）若，求实数；
（3）若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围.
17．近年来，由于互联网的普及，直播带货已经成为推动消费的一种营销形式.某直播平台工作人员在问询了解了本平台600个直播商家的利润状况后，随机抽取了100个商家的取均日利润（单位：百元）进行统计，所得的频率分布直方图如图所示.
（1）求的值，并估计该直播平台商家平均日利润的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）与中位数.
（2）以样本估计总体，该直播平台为了鼓励直播带货，提出了两种奖淤方案，方案一是对平均日利润超过78百元的商家进行奖励，方案二是对平均日利润从高到低排名在前的商家进行奖励，两种奖励方案只选择一种，你觉得哪种方案受到奖励的商家更多？并说明理由.
18．如图所示，在中，，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图所示是线段的中点，是上的点，平面．
（1）求的值．
（2）证明：平面平面．
（3）求点到平面的距离．
19．个有次序的实数，，，所组成的有序数组，，，称为一个维向量，其中，2，，称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，，，称为维信号向量．设，，则和的内积定义为，且．
（1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量．
（2）证明：不存在6个两两垂直的6维信号向量．
（3）已知个两两垂直的2024维信号向量，，，满足它们的前个分量都是相同的，求证：．
答案解析部分
1．C
2．C
3．B
4．D
5．D
6．A
7．C
8．B
9．A,D
10．A,C,D
11．A,B,D
12．2
13．（0，15）
14．
15．（1）∵复数＝2+ai（其中a∈R），＝3﹣4i，i为虚数单位，
∴+＝5+（a﹣4）i，
∵+是实数，
∴a﹣4＝0，解得a＝4，
∴?＝（2+4i）（3﹣4i）＝22+4i；
（2）∵是纯虚数，
即＝＝＝+i是纯虚数，
∴，解得a＝，
则z1＝2+i，
则z1的虚部为，
|z1|＝＝．
16．（1）解：因为，，，的夹角为 ，所以，
所以，
则；
（2）解：因为，所以
所以，即，解得；
（3）解： 因为与的夹角为钝角，所以，且，
由，可得，
故实数的取值范围为且.
17．（1）由题意可知，解得.
由，解得，所以中位数约为74，
平均数约为.
（2）由题意可知，方案一受到奖励的商家的个数为，
方案二受到奖励的商家的个数为，
因为，所以方案一受到奖励的商家更多.
18．（1）解：令平面交棱于点，连接，如图所示：
由，平面，平面，
则平面，而平面平面，平面，于是，
又平面，平面平面，平面，于是，
因此四边形是平行四边形，，而，，
所以.
（2）证明：在图①的中，由，得，
于是，而，则，，
又M是线段的中点，则，，
由（1）得，则，，
则有，，因此，
显然，平面，则平面，
而，因此平面，又平面，则，
又平面，从而平面，又，
则平面，而平面，
所以平面平面.
（3）解：由（1）知，又平面，平面，则平面，
即点到平面的距离等于点到平面的距离，
所以点P到平面的距离为.
19．（1）解：由题意，可写出4个两两垂直的4维信号向量为：
，，，．
（2）证明：假设存在6个两两垂直的6维信号向量，
因为将这6个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，
所以不妨设，
因为，所以有3个分量为，
设的前3个分量中有个，则后3个分量中有个，，
则，
，则，矛盾，
所以不存在6个两两垂直的6维信号向量．
（3）证明：任取，计算内积，
将所有这些内积求和得到，则，
设的第个分量之和为，
则从每个分量的角度考虑，每个分量为的贡献为，
所以，
则，所以，故.