期末复习卷（含解析）-2023-2024学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册

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期末复习卷-2023-2024学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．-3 B．3 C．-2 D．2
2．已知函数在上单调递增，则的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．
3．函数在区间上存在最大值与最小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知等差数列的前项和为，，且，则取最大值时，（ ）．
A．9 B．10 C．9或10 D．10或11
5．已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．的大小关系不确定
6．已知等比数列中所有项均为正数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
8．拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有，使得．已知函数，那么实数的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．0
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列求函数的导数正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知数列满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．数列可能为常数列
B．数列可能为等比数列
C．若，则
D．若，记是数列的前项积，则的最大值为
11．已知函数，下列选项正确的是（ ）
A．若在区间上单调递减，则a的取值范围为
B．若在区间上有极小值，则a的取值范围为
C．当时，若经过点可以作出曲线的三条切线，则实数m的取值范围为
D．若曲线的对称中心为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设点在曲线上，点在曲线上，若的最小值为，则 ．
13．设无穷等比数列的公比为，若，则
14．在数列中，，. 设数列的前项和为，若存在，使得不等式，则实数的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数，其导函数为．
(1)求在处的切线方程；
(2)求的单调区间．
16．已知是等比数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
17．在等差数列（）中，，.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，证明.
18．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设函数的图象在点处的切线为，求与坐标轴围成的三角形面积的最小值；
(3)设的零点为，比较与2的大小，并说明理由.
19．如果有穷数列（m为正整数）满足条件，，，即，我们称其为“对称数列”.例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”
(1)若是项数为7的“对称数列”，其中是等差数列，且，，依次写出的每一项；
(2)若是49项的“对称数列”，其中是首项为1，公比为2的等比数列，求各项的和S；
(3)设的前n项和为，且满足，其中是项数为100的“对称数列”的前50项，求的前n项和.
参考答案：
1．B
【分析】根据递推关系，赋值即可求解．
【详解】若，，变形得到，，
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
故选：B.
2．C
【分析】由题意可得恒成立，进而可得出答案.
【详解】，
因为函数在上单调递增，
所以恒成立，
则，解得，
所以的最大值为.
故选：C.
3．B
【分析】首先求函数导数，并由最值确定函数在区间的单调性，再利用数形结合确定实数的取值范围.
【详解】，得或，
因为区间的端点是开区间，所以函数在区间上存在最大值和最小值，
只能是极值点处取得最大值和最小值，
的变化情况如下表，
单调递减 单调递增 单调递减
当，得或，
当，得，或，
则，得.
故选：B
4．C
【分析】先根据利用等差数列前项和公式，得出和的关系，判断出数列是单调递减数列，再利用抛物线的性质即可求得.
【详解】设等差数列的公差为，
由等差数列前项和公式，
得：，，
又，
，
即，
又，
，
由此可知，数列是单调递减数列，
点在开口向下的抛物线上，
又，
点与点关于直线对称，
当或时，最大.
故选：C
5．A
【分析】先利用导数判断函数在上的单调区间，再根据函数的单调性即可得解.
【详解】，
当时，，所以函数在上单调递增，
又因为，所以.
故选：A.
6．A
【分析】由已知结合等比数列的性质可求m，n，代入到所求式子即可判断．
【详解】因为等比数列中所有项均为正数，
若，则，
可知或或或或，
代入可得：或或或或，
所以当，时，取最小值．
故选：A．
7．B
【分析】由题意可得的边长，结合图形求得周长，计算并化简，求得即得.
【详解】由，
可得，，，，
所以，
所以，
所以前项和，
所以.
故选：B.
8．C
【分析】利用导数判断单调性，求解出值
【详解】因为函数在上连续，且在上可导，则必有一，使得，
又函数，可得，
所以，此时，
又，所以，因为，且，所以，
不妨设，函数定义域为，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值，
则当时，λ取得最大值，最大值为．
故选：C．
9．BC
【分析】利用导数的运算法则逐个分析判断即可.
【详解】对于A，，所以A错误，
对于B，，所以B正确，
对于C，，所以C正确，
对于D，，所以D错误；
故选：BC.
10．ABD
【分析】根据常数列的定义，结合条件，判断A；根据等比数列的定义，判断为常数，判断B；根据数列的公比，并求数列的首项，利用等比数列的前项和公式判断C；结合数列的通项公式，并判断数列的单调性，即可判断D.
【详解】A.当时，，得或（舍），
此时为常数列，故A正确；
B.，，
，
若时，此时，不是等比数列，
若时，，此时数列为公比为2的等比数列，故B正确；
C.若，，所以，故C错误；
D.若，，数列是首项为，公比为的等比数列，
，数列单调递减，，
当时，，当时，，
所以的最大值为，故D正确.
故选：ABD
11．BCD
【分析】利用导数研究三次函数的单调区间，极值，切线，对称中心问题.
【详解】令
若在区间上单调递减,
则在区间上小于或者等于零恒成立，
即恒成立，
即，又在区间单调递增，
则
所以a的取值范围为，故选项A错误.
若在区间上有极小值,
则在区间上有零点，且在零点左端小于零，在零点右端大于零，
则
解得a的取值范围为.故选项B正确.
当时,设经过点作出曲线的三条切线切点为，则切线斜率为
切线为又切线经过点，
则有三解，即有三解，
令
则当时函数取极值，
则实数m的取值范围为，故选项C正确.
若曲线的对称中心为,则即
解得.
故选：BCD.
12．
【分析】由于曲线与曲线互为反函数，其图象关于对称，所以转化为的最小值为曲线上的点到直线的最小距离的两倍，然后利用导数的几何意义求出与直线平行且与相切的直线与曲线的切点，再列方程可求得结果.
【详解】因为曲线与曲线互为反函数，其图象关于对称，
所以的最小值为曲线上的点到直线的最小距离的两倍，
设与直线平行的直线与相切于点，
由，得，
所以，得，所以切点，
所以，解得或，
当时，，由，得，，
令，因为，，
所以在上至少有一个零点，
所以曲线与直线的最小距离为0，所以不合题意，舍去，
当，，由，得，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，所以曲线与直线没有交点，
所以符合题意，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是将问题转化为的最小值为曲线上的点到直线的最小距离的两倍，从而得解.
13．
【分析】由题意可得公比满足，由通项公式可得关于的方程，解方程可得．
【详解】由题意可得公比满足，因为，
所以，即，
所以，整理可得，解得或（舍去）.
故答案为：.
14．
【分析】先利用递推式证得是等差数列，从而求得，再利用裂项相消法求得，证得，从而得解.
【详解】由已知有
，故，
又，所以是等差数列，所以，
所以，
则
，
所以，
因为存在，使得不等式，
所以，所以实数的取值范围是.
故答案为：.
15．(1)
(2)单调递增区间为，单调递减区间为
【分析】（1）利用导数的几何意义即可得解；
（2）利用导数与函数单调性的关系即可得解.
【详解】（1）因为的导数为，
所以在处的切线斜率为，而
故所求的切线方程为，即．
（2）因为，定义域为
所以
解得，解得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
16．(1)
(2).
【分析】（1）利用已知是等比数列可得答案；
（2）利用错位相减可得答案.
【详解】（1）设，则，则，
所以是首项为，公比也为的等比数列，
所以，则；
（2），
则，
则，
所以两式相减可得
故.
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出等差数列的首项与公差，即可得解；
（2）利用裂项相消法求出，进而可得出结论.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由，即，解得，
所以，
所以数列的通项公式为；
（2）∵，∴，
（方法一）
，
∴
化简得：，
∴.
（方法二）
，
∴
.
18．(1)在上单调递增；在上单调递减.
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）按照求单调区间的步骤求解即可；
（2）求导后将切线方程用t表示出来，坐标轴上的截距也用t表示，面积看作t的一个函数，后用导数知识来求最值即可；
（3）构造函数，利用导数与换元法研究函数的单调性，再用复合函数单调性得到的单调性，从而得解.
【详解】（1）的定义域，，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减.
（2）.
切线的方程为.
令，得；令，得.
所以与坐标轴围成的三角形面积，
.
当时，单调递减；当时，单调递增.
故当时，取得最小值，且最小值为.
（3）不妨设，由（1）可知，则.
令，则
.
当时，设，
则，
换元写成，，
当时，单调递减；当时，单调递增.
因为在上是增函数，所以在上先减后增.
因为，所以.
且
.
又因为，所以，即，
所以，即.
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2，利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3，适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论；
4，构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
19．(1)2，5，8，11，8，5，2；
(2)67108861；
(3)
【分析】（1）由等差数列的通项公式可得，即可得到结果；
（2）由等比数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果；
（3）根据题意，由递推公式可得，然后结合等比数列的求和公式，代入计算，即可求解.
【详解】（1）设数列的公差为d，则，解得，
则数列为2，5，8，11，8，5，2.
（2）
（3），，，
当时，，，
，
当时，，
当时，，
.
.
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