期末复习卷（含解析）-2023-2024学年数学高二下学期人教A版2019选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 期末复习卷（含解析）-2023-2024学年数学高二下学期人教A版2019选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-07 19:53:25 | ||
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文档简介
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期末复习卷-2023-2024学年数学高二下学期人教A版2019选择性必修第二册
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知是等数列，则下列数列必为等比数列的是（ ）
A． B． C． D．
2．三个数的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
3．若等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
4．若函数 在点 处的切线的斜率为1，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数及其导数的定义域均为，对任意实数，，且当时，.不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．若对任意的 且 ，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．设数列的前项积为，满足，则（ ）
A．175 B．185 C． D．
8．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数在区间(-3，3)内有三个零点
B．函数是函数的一个极值点
C．曲线在点(-2，f(-2))处的切线斜率小于零
D．函数在区间(-1，1)上是严格减函数
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知数列的通项公式为 ，前 项积为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．在数列中，是最大项 B．在数列中， 是最小项
C．数列单调递减 D．使取得最小值的为 9
10．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，3，第1次“和扩充”后得到数列1，4，3；第2次“和扩充”后得到数列1，5，4，7，3；依次扩充，记第次“和扩充”后所得数列的项数记为，所有项的和记为，数列的前项为，则（ ）
A． B．满足的的最小值为11
C． D．
11．已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．曲线恒过定点
B．若，则的极小值为0
C．若，则
D．若，则的最大值大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若，则 ．
13．等差数列中，，，则 ．
14．已知函数，若关于的不等式的解集为且，则的极小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处切线的斜率；
(2)当时，讨论的单调性．
16．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程;
(2)当时，证明：在上恒成立.
17．记数列的前n项和为，已知．
(1)若，证明：是等比数列；
(2)若是和的等差中项，设，求数列的前n项和为．
18．已知函数
(1)若，求函数在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)设 ， 求函数在上的零点个数.
19．已知等差数列的公差d≠0，且，，成等比数列，的前n项和为，，设，数列的前n项和为，
(1)求数列的通项公式；
(2)若不等式对一切恒成立，求实数λ的最大值．
参考答案：
1．D
【分析】根据题意，当等差数列的各项都为时，即可判断ABC，再由等比数列的定义即可判断D
【详解】设等差数列的公差为，
对于A，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故A错误；
对于B，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故B错误；
对于C，当等差数列的各项都为时，无意义，故C错误；
对于D，因为为常数，所以数列一定是等比数列，故D正确；
故选：D
2．D
【分析】首先将化成统一形式，构造函数，研究单调性进而比较大小即可.
【详解】由题意得，，；
设，则，
当时，，所以单调递增，当时，，所以单调递减，
又，所以，即，所以.
故选：D
3．C
【分析】先根据等比数列部分项成等差得出公比，再结合等比数列通项求值即可.
【详解】若等比数列的各项均为正数，所以公比，
且成等差数列，可得,
即得
可得，
.
故选：C.
4．C
【分析】根据题意，，结合基本不等式求最值.
【详解】根据题意，，
则，，
因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立,
所以 的最小值为.
故选：C
5．B
【分析】构造函数，从而结合导数与所给条件得到函数的单调性与对称性，在将所给不等式中化为即可得解.
【详解】令，则，
由题意可得，当时，，即在上单调递增，
由，则，
即，故为偶函数，故在上单调递减，
则不等式可化为：，
即，则有，即，
即，即，
解得.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造函数，从而结合导数与所给条件得到函数的单调性与对称性.
6．C
【分析】根据题意易知，变形可得，故构造函数，根据函数单调性的定义可得函数在上单调递减，由即可得解.
【详解】对任意的，，且，，易知，
则，所以，
即．
令，则函数在上单调递减．
因为，由，可得，
所以函数的单调递减区间为，
所以，故，
即实数的取值范围为．
故选：C．
7．A
【分析】首先令求出，当时，即可得到，从而得到，即是以为首项，为公差的等差数列，再由等差数列求和公式计算可得.
【详解】因为，当时，解得，
当时，所以，则，
所以，又，所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以.
故选：A
8．D
【分析】根据导函数的图象,可判断原函数的单调性,进而可逐一求解.
【详解】在单调递增，在单调递减，故在区间内至多有两个零点，A错误；
在的左右两侧，故不是极值点，故B错误;
根据图像可知，故在点处的切线斜率等于零，C错误；
在恒成立，故在区间上是严格减函数，故D正确.
故选：D
9．ABD
【分析】判断数列的单调性，由此求得最大项与最小项，进而判断A,B选项，再根据项与1的大小关系判断的单调性及最值判断C，D选项即可.
【详解】，∴当时随着的增大越来越小且小于，
当时随着的增大越来越小且大于，则前项中最大项为，最小项为，
故A，B选项正确；
当时，
当时，,所以数列不是单调递减，C选项错误；
前 n 项积取得最小值时为9，故D选项正确.
故选：ABD.
10．BD
【分析】由条件可得数列满足递推关系，结合递推证明数列是等比数列，由此可求数列的通项公式，判断A，结合通项公式判断B，结合拓展规则可得，证明数列是等比数列，求数列的通项判断C，利用分组求和法求判断D.
【详解】数列1，3第次拓展后的项数为，则，，
根据拓展规则可知，，
即，又，
数列是首项为2，公比为2的等比数列
，即；故A项错误；
由，即，解得，故B项正确；
根据拓展规则可知，第次“和扩充”所新增的数的和为，
所以，
，又，
数列是首项为6，公比为3的等比数列，
，所以；故C项错误；
，故D项正确．
故选：BD.
11．ACD
【分析】对于A，求出即可；对于B，结合导数求出的极值即可；对于C，利用导数求出的单调性，结合单调性比较和的大小即可；对于D，结合导数求出的最大值为，令，利用导数的最值即可.
【详解】对于A，令，可得，所以曲线恒过，故A正确；
对于B，当时，，则，
令，解得：，当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减，所以的极大值为，
故B不正确；
对于C，，当，则，所以在上单调递增，
又，即，则，故C正确；
对于D，当时，由，解得：，
当时，，则在上单调递增，当，，
则在上单调递减，
所以，
令，则，
所以当时，，则在上单调递增，
所以，即的最大值大于，
而，故，即，所以D正确；
故选:ACD
12．
【分析】利用积的导数法则可求解.
【详解】由，可得.
故答案为：.
13．260
【分析】根据等差数列求和公式求解即可．
【详解】利用等差数列求和公式：可得，
．
故答案为：260.
14．
【分析】结合三次函数的性质可得函数解析式，借助导数可得其单调性即可得其极小值.
【详解】由题意可得，
即，
当时，，当时，，
故在、上单调递增，在上单调递减，
共有的极小值为.
故答案为：.
15．(1)
(2)在上单调递增，在上单调递减.
【分析】（1）求导并将代入，即可求出曲线在点处切线的斜率；
（2）求导并将带入，利用导数即可得出单调性.
【详解】（1）由题意，
在中，，
中，
当时，
，，
中，，
∴曲线在点处切线的斜率为
（2）由题意及（1）得，
在中，，
当时，
，
∴即，此时，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
∴函数在上单调递增，在上单调递减.
16．(1)
(2)证明见详解.
【分析】（1）先求导函数并计算，再通过点斜式求切线方程即可；
（2）通过求导函数，证明存在，使得，则函数在单调递增，在单调递减，再证明即可.
【详解】（1）当时，函数，
则，
且，
所以切线方程为，即.
（2）由题意可知，，且，
令，，
则在恒成立，
所以在单调递减，
即在单调递减，且，
令，，
所以在恒成立，
所以在单调递增，
所以，
即，
由因为，
当时，，
所以存在，有，
所以函数在单调递增，在单调递减，
又因为，
且，
所以
所以函数在恒成立.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用公式得到数列的递推公式，构造法证明是等比数列；
（2）由已知求出，裂项相消求数列的前n项和为．
【详解】（1）对①，当时，有②，
：，即，
经整理，可得，
，故是以为首项、为公比的等比数列．
（2）由（1）知，有，，
题设知，即，则，故．
而，
故.
18．(1)
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）当时，，求出，，即可写出切线方程；
（2）求出，分和时，讨论和即可得到函数的单调性；
（3）令，可得，原题等价于与在上的交点个数，通过讨论的单调性及极值，即可得到函数在上的零点个数.
【详解】（1）当时，，，且，
所以在点处的切线斜率，
故所求切线方程为，即.
（2）由，所以，
当时，，所以函数在上单调递增，
当时，由，则，若，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上所述：当时，函数在上单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减.
（3）由，所以，
令，由，所以，可得，
则原题等价于与在上的交点个数，
令，则，
令，则，
由，得，所以在上单调递增，
，即，
故在上递增，由，所以在上单调递增，
所以， 即，
当，即时，与在只有一个交点，
此时在上只有一个零点；
当或 ，即或时，与在无交点，此时在上没有零点；
综上所述：当时，在上只有一个零点；
当或时，在上没有零点.
19．(1)
(2)．
【分析】（1）根据题意，结合等差数列的通项公式和求和公式，列出方程组，求得，即可求解；
（2）利用等差数列的求和及乘公比错位相减法求和，根据题意转化为对一切恒成立，令，求得，结合数列的单调性和最值，即可求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，且，
可得，即，解得，
所以，
则
（2）由（1）知，，
可得，①
则，②
所以①－②得
，
所以，
所以，
由（1）得，所以，
因为不等式对一切恒成立，
所以且，
所以对一切恒成立，
即对一切恒成立，所以，
令，则，所以，
当时，，所以单调递减；
当时，，即；
当时，，所以单调递增；
综上可得，的最小值为，
所以，所以λ的最大值为．
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期末复习卷-2023-2024学年数学高二下学期人教A版2019选择性必修第二册
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知是等数列，则下列数列必为等比数列的是（ ）
A． B． C． D．
2．三个数的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
3．若等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
4．若函数 在点 处的切线的斜率为1，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数及其导数的定义域均为，对任意实数，，且当时，.不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．若对任意的 且 ，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．设数列的前项积为，满足，则（ ）
A．175 B．185 C． D．
8．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数在区间(-3，3)内有三个零点
B．函数是函数的一个极值点
C．曲线在点(-2，f(-2))处的切线斜率小于零
D．函数在区间(-1，1)上是严格减函数
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知数列的通项公式为 ，前 项积为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．在数列中，是最大项 B．在数列中， 是最小项
C．数列单调递减 D．使取得最小值的为 9
10．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，3，第1次“和扩充”后得到数列1，4，3；第2次“和扩充”后得到数列1，5，4，7，3；依次扩充，记第次“和扩充”后所得数列的项数记为，所有项的和记为，数列的前项为，则（ ）
A． B．满足的的最小值为11
C． D．
11．已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．曲线恒过定点
B．若，则的极小值为0
C．若，则
D．若，则的最大值大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若，则 ．
13．等差数列中，，，则 ．
14．已知函数，若关于的不等式的解集为且，则的极小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处切线的斜率；
(2)当时，讨论的单调性．
16．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程;
(2)当时，证明：在上恒成立.
17．记数列的前n项和为，已知．
(1)若，证明：是等比数列；
(2)若是和的等差中项，设，求数列的前n项和为．
18．已知函数
(1)若，求函数在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)设 ， 求函数在上的零点个数.
19．已知等差数列的公差d≠0，且，，成等比数列，的前n项和为，，设，数列的前n项和为，
(1)求数列的通项公式；
(2)若不等式对一切恒成立，求实数λ的最大值．
参考答案：
1．D
【分析】根据题意，当等差数列的各项都为时，即可判断ABC，再由等比数列的定义即可判断D
【详解】设等差数列的公差为，
对于A，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故A错误；
对于B，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故B错误；
对于C，当等差数列的各项都为时，无意义，故C错误；
对于D，因为为常数，所以数列一定是等比数列，故D正确；
故选：D
2．D
【分析】首先将化成统一形式，构造函数，研究单调性进而比较大小即可.
【详解】由题意得，，；
设，则，
当时，，所以单调递增，当时，，所以单调递减，
又，所以，即，所以.
故选：D
3．C
【分析】先根据等比数列部分项成等差得出公比，再结合等比数列通项求值即可.
【详解】若等比数列的各项均为正数，所以公比，
且成等差数列，可得,
即得
可得，
.
故选：C.
4．C
【分析】根据题意，，结合基本不等式求最值.
【详解】根据题意，，
则，，
因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立,
所以 的最小值为.
故选：C
5．B
【分析】构造函数，从而结合导数与所给条件得到函数的单调性与对称性，在将所给不等式中化为即可得解.
【详解】令，则，
由题意可得，当时，，即在上单调递增，
由，则，
即，故为偶函数，故在上单调递减，
则不等式可化为：，
即，则有，即，
即，即，
解得.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造函数，从而结合导数与所给条件得到函数的单调性与对称性.
6．C
【分析】根据题意易知，变形可得，故构造函数，根据函数单调性的定义可得函数在上单调递减，由即可得解.
【详解】对任意的，，且，，易知，
则，所以，
即．
令，则函数在上单调递减．
因为，由，可得，
所以函数的单调递减区间为，
所以，故，
即实数的取值范围为．
故选：C．
7．A
【分析】首先令求出，当时，即可得到，从而得到，即是以为首项，为公差的等差数列，再由等差数列求和公式计算可得.
【详解】因为，当时，解得，
当时，所以，则，
所以，又，所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以.
故选：A
8．D
【分析】根据导函数的图象,可判断原函数的单调性,进而可逐一求解.
【详解】在单调递增，在单调递减，故在区间内至多有两个零点，A错误；
在的左右两侧，故不是极值点，故B错误;
根据图像可知，故在点处的切线斜率等于零，C错误；
在恒成立，故在区间上是严格减函数，故D正确.
故选：D
9．ABD
【分析】判断数列的单调性，由此求得最大项与最小项，进而判断A,B选项，再根据项与1的大小关系判断的单调性及最值判断C，D选项即可.
【详解】，∴当时随着的增大越来越小且小于，
当时随着的增大越来越小且大于，则前项中最大项为，最小项为，
故A，B选项正确；
当时，
当时，,所以数列不是单调递减，C选项错误；
前 n 项积取得最小值时为9，故D选项正确.
故选：ABD.
10．BD
【分析】由条件可得数列满足递推关系，结合递推证明数列是等比数列，由此可求数列的通项公式，判断A，结合通项公式判断B，结合拓展规则可得，证明数列是等比数列，求数列的通项判断C，利用分组求和法求判断D.
【详解】数列1，3第次拓展后的项数为，则，，
根据拓展规则可知，，
即，又，
数列是首项为2，公比为2的等比数列
，即；故A项错误；
由，即，解得，故B项正确；
根据拓展规则可知，第次“和扩充”所新增的数的和为，
所以，
，又，
数列是首项为6，公比为3的等比数列，
，所以；故C项错误；
，故D项正确．
故选：BD.
11．ACD
【分析】对于A，求出即可；对于B，结合导数求出的极值即可；对于C，利用导数求出的单调性，结合单调性比较和的大小即可；对于D，结合导数求出的最大值为，令，利用导数的最值即可.
【详解】对于A，令，可得，所以曲线恒过，故A正确；
对于B，当时，，则，
令，解得：，当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减，所以的极大值为，
故B不正确；
对于C，，当，则，所以在上单调递增，
又，即，则，故C正确；
对于D，当时，由，解得：，
当时，，则在上单调递增，当，，
则在上单调递减，
所以，
令，则，
所以当时，，则在上单调递增，
所以，即的最大值大于，
而，故，即，所以D正确；
故选:ACD
12．
【分析】利用积的导数法则可求解.
【详解】由，可得.
故答案为：.
13．260
【分析】根据等差数列求和公式求解即可．
【详解】利用等差数列求和公式：可得，
．
故答案为：260.
14．
【分析】结合三次函数的性质可得函数解析式，借助导数可得其单调性即可得其极小值.
【详解】由题意可得，
即，
当时，，当时，，
故在、上单调递增，在上单调递减，
共有的极小值为.
故答案为：.
15．(1)
(2)在上单调递增，在上单调递减.
【分析】（1）求导并将代入，即可求出曲线在点处切线的斜率；
（2）求导并将带入，利用导数即可得出单调性.
【详解】（1）由题意，
在中，，
中，
当时，
，，
中，，
∴曲线在点处切线的斜率为
（2）由题意及（1）得，
在中，，
当时，
，
∴即，此时，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
∴函数在上单调递增，在上单调递减.
16．(1)
(2)证明见详解.
【分析】（1）先求导函数并计算，再通过点斜式求切线方程即可；
（2）通过求导函数，证明存在，使得，则函数在单调递增，在单调递减，再证明即可.
【详解】（1）当时，函数，
则，
且，
所以切线方程为，即.
（2）由题意可知，，且，
令，，
则在恒成立，
所以在单调递减，
即在单调递减，且，
令，，
所以在恒成立，
所以在单调递增，
所以，
即，
由因为，
当时，，
所以存在，有，
所以函数在单调递增，在单调递减，
又因为，
且，
所以
所以函数在恒成立.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用公式得到数列的递推公式，构造法证明是等比数列；
（2）由已知求出，裂项相消求数列的前n项和为．
【详解】（1）对①，当时，有②，
：，即，
经整理，可得，
，故是以为首项、为公比的等比数列．
（2）由（1）知，有，，
题设知，即，则，故．
而，
故.
18．(1)
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）当时，，求出，，即可写出切线方程；
（2）求出，分和时，讨论和即可得到函数的单调性；
（3）令，可得，原题等价于与在上的交点个数，通过讨论的单调性及极值，即可得到函数在上的零点个数.
【详解】（1）当时，，，且，
所以在点处的切线斜率，
故所求切线方程为，即.
（2）由，所以，
当时，，所以函数在上单调递增，
当时，由，则，若，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上所述：当时，函数在上单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减.
（3）由，所以，
令，由，所以，可得，
则原题等价于与在上的交点个数，
令，则，
令，则，
由，得，所以在上单调递增，
，即，
故在上递增，由，所以在上单调递增，
所以， 即，
当，即时，与在只有一个交点，
此时在上只有一个零点；
当或 ，即或时，与在无交点，此时在上没有零点；
综上所述：当时，在上只有一个零点；
当或时，在上没有零点.
19．(1)
(2)．
【分析】（1）根据题意，结合等差数列的通项公式和求和公式，列出方程组，求得，即可求解；
（2）利用等差数列的求和及乘公比错位相减法求和，根据题意转化为对一切恒成立，令，求得，结合数列的单调性和最值，即可求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，且，
可得，即，解得，
所以，
则
（2）由（1）知，，
可得，①
则，②
所以①－②得
，
所以，
所以，
由（1）得，所以，
因为不等式对一切恒成立，
所以且，
所以对一切恒成立，
即对一切恒成立，所以，
令，则，所以，
当时，，所以单调递减；
当时，，即；
当时，，所以单调递增；
综上可得，的最小值为，
所以，所以λ的最大值为．
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