上海市实验学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（A）（含答案）

上海实验2023学年第二学期高一年级数学期末
2024.06
一、填空题（本大题满分40分,共有10题，只要求直接填写结果，每题填对得4分）
1. 复数，，若为实数，则________．
2. 已知为单位向量，, 与的夹角为，则在方向上的投影是 .
3．数列中，且满足 求数列的通项公式____．
4．，若，，则_________.
5．已知（用反正弦表示），则 .
6．已知等差数列中，，公差，则使前项和取最大值的________．
7．若关于x的实系数方程有两实部为1的共轭虚根，则_____.
8．已知为等边三角形，，所在平面内的点满足，的最小值为________．
9．在△中，，，则的取值范围是_______.
10．已知数列均为等差数列，设，且，，则使成立的的最大值为_____.
二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分。）
11．△ABC中，已知，且，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
12．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．设等差数列的公差为，其前项和为，且，，则使得的正整数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
14．假设实数满足，，，则的取值（ ）
A. 是唯一确定的 B. 不唯一，但有限多
C. 有无穷多 D. 不存在符合题意的
三、解答题(本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤)
15. （本题满分10分, 第（1）题4分，第（2）题6分）
已知复数．
(1)若，求m的值；
(2)若z是纯虚数，求的值．
16．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
函数的部分图象如图所示.
(1)求A，，的值；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，且，求的值.
17.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）
在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F
（1）求的值；
（2）求的最小值．
18.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）
设数列的前项和是，且满足，其中为实数，.
（1）求证：是等比数列.
（2）当，时，另一数列的通项公式是（其中常数是整数），对于任意，都有成立，求整数的最小值.
（3）当，时，记集合，，将中所有元素按从小到大的顺序排列为一个新数列，求使成立的最小的的值.
四、附加题
19．（本题满分10分）平面直角坐标系内有一圆心位于原点的圆，半径为，已知点A、B、C分别是角的终边与该圆的交点（始边均为轴正半轴）.
（1）写出点A、B、C的坐标；
（2）若原点O为的重心，试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
20．（本题满分10分）
已知二次函数满足：对任意实数，有恒成立；
数列满足．
（1）求函数的解析式；
（2）设，是否存在非零整数，使得对任意，都有
恒成立？若存在，求出所有符合的；若不存在，说明理由.
上实验2023学年第二学期高一年级数学期末A卷
2024.06
一、填空题（本大题满分40分,共有10题，只要求直接填写结果，每题填对得4分）
1. 复数，，若为实数，则________．
【答案】
2. 已知为单位向量，, 与的夹角为，则在方向上的投影是 .
【答案】
3．数列中，且满足 求数列的通项公式_______．
【答案】
4．，若，，则_________.
【答案】
5．已知（用反正弦表示），则 .
【答案】
6．已知等差数列中，，公差，则使前项和取最大值的________．
【答案】
7．若关于x的实系数方程有两实部为1的共轭虚根，则_____.
【答案】
8．已知为等边三角形，，所在平面内的点满足，的最小值为________．
【答案】
9．在△中，，，则的取值范围是_______.
【答案】
【详解】，
所以，显然又有
则，
其中，
故
故的取值范围是.
10．已知数列均为等差数列，设，且，，则使成立的的最大值为_____.
【答案】33
【解析】由等差数列通项的性质，必为关于的二次函数.
又因为，，故为的顶点.
故设，代入得，解得.
所以.计算得且，故.
二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分。）
11．△ABC中，已知，且，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】B
12．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
13．设等差数列的公差为，其前项和为，且，，则使得的正整数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
14．假设实数满足，，，则的取值（ ）
A. 是唯一确定的 B. 不唯一，但有限多
C. 有无穷多 D. 不存在符合题意的
【答案】B
【解析】在平面直角坐标系内，设点，，则由题意，
可推出，可推出，
可推出由，围成的△的面积.
记，则，解得
所以，
故的取值可能为或，选B.
三、解答题(本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤)
15. （本题满分10分, 第（1）题4分，第（2）题6分）
已知复数．
(1)若，求m的值；
(2)若z是纯虚数，求的值．
【答案】(1)(2)4或100
【解析】(1)因为，所以，所以，所以或．
①当时，，符合题意；②当时，，舍去．
综上可知：．
(2)因为z是纯虚数，所以，所以或,
所以，或,所以或,
所以或100．
16．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
函数的部分图象如图所示.
(1)求A，，的值；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
若，且，求的值.
【答案】(1)，， (2)或
【解析】(1)由图可知，，，所以，即，所以.
将点代入得，，又，所以；
(2)由（1）知，由题意有，所以，即，因为，
所以，所以或，即或，
所以的值为或.
17.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）
在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F
（1）求的值；
（2）求的最小值．
【答案】（1）1 （2）
【解析】（1）设，，为边长为1的等边三角形，，
，
，为边长为的等边三角形，，
，
，
（2）
，
所以当时，的最小值为.
18.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）
设数列的前项和是，且满足，其中为实数，.
（1）求证：是等比数列.
（2）当，时，另一数列的通项公式是（其中常数是整数），对于任意，都有成立，求整数的最小值.
（3）当，时，记集合，，将中所有元素按从小到大的顺序排列为一个新数列，求使成立的最小的的值.
【答案】（1）见解析 （2）14 （3）36
【解析】（1）证：时，，作差得
即，由题，，故（且）
而时，，即也成立
由易得，故，即是以为公比的等比数列.
（2）由（1），是以1为首项，为公比的等比数列，所以.
，由题意，，
，所以时，，单调递增；
时，，单调递减，，，
由题意只需，即，所以整数的最小值为14.
（3）由（1），，，故.
对于数列的项，其前面的项1，3，5，…，，共有项，，共有项，所以为数列的项，
且.
可算得（项），，，
因为，，，所以，，. ，
因此所求的最小值为36.
四、附加题
19．（本题满分10分）平面直角坐标系内有一圆心位于原点的圆，半径为，已知点A、B、C分别是角的终边与该圆的交点（始边均为轴正半轴）.
（1）写出点A、B、C的坐标；
（2）若原点O为的重心，试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】（1），，
（2）先证明一个引理：若，则．
因为，所以，
所以，所以：
回到原题，连结、、，则：
．
由三角形的重心为原点得即
所以两式平方相加可得，所以，
同理，
所以，
故三角形面积为定值．
20．（本题满分10分）
已知二次函数满足：对任意实数，有恒成立；
数列满足．
（1）求函数的解析式；
（2）设，是否存在非零整数，使得对任意，都有
恒成立？若存在，求出所有符合的；若不存在，说明理由.
【答案】（1） （2）存在，
【解析】（1）取，则，即；
设，则①，
恒成立，即恒成立，②
恒成立，即恒成立，③
联立①②③，解得，，，
（2）配方：，即；
令，则有且；
从而有，可得，
所以数列是为首项，公比为的等比数列，
从而得，即，所以，
所以，所以，
所以.
即，所以，恒成立
当为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为．
当为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值为．
∴对任意，有．又非零整数，