九江市 2023—2024 学年度下学期期末考试
高一数学试题卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
2 i
1.复数 z 在复平面内对应的点在(D)
2i
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2 i (2 i)( i) 1
解: z i ， z 在复平面内对应的点在第四象限，故选 D.
2i 2i( i) 2
2.已知cos 2 5sin 3，则sin (A)
1 1 3 3
A. B. C. D.
2 2 2 2
1
解:依题意，得1 2sin
2 5sin 3，即2sin
2 5sin 2 0 ，解得sin ，故选 A.
2
3.已知m, n 是两条不重合的直线， , 是两个不重合的平面，则下列命题正确的是(C)
A.若m//n ， n// ，则m// B.若n ， n m ，m ，则 //
C.若 // ，m ，则m D.若 ，m ，则m
4.已知a,b满足| a | |b | 5 ，a b 3，则cos a,a b (B)
2 5 5 2 5 5
A. B. C. D.
5 5 5 5
2 2 2
解: a (a b) a a b 5 3 2， | a b | a 2a b b 5 6 5 2，
a (a b) 2 5
cos a,a b ，故选 B.
| a | | a b | 5 2 5
5.△ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为a,b,c ，已知a asinC b cosC ，则(D)
A. cos B sin C B. sin B cosC C. cos A sin B D. sin A cos B
{#{QQABCYKAogiAAIAAAQhCUQHqCkCQkBCAAagOgBAAoAAAAQNABAA=}#}
解:由正弦定理，得sin A sin AsinC sin B cosC ， sin(B C) sin AsinC sin B cosC ，
cos B sin C sin AsinC ，即sin A cos B ，故选 D.
6.如图，单位圆M 与数轴相切于原点O ，把数轴看成一个“皮尺”，对于任意一个正数a，它对应正半轴
上的点 A ，把线段OA按逆时针方向缠绕到圆 M 上,点 A 对应单位圆上点 A ,这样就得到一个以点M 为
顶点，以 MO 为始边，经过逆时针旋转以MA 为终边的圆心角 ,该角的弧度数为a .若扇形OMA 面积
π
为 ，则OA OA (A)
6
3 3
A. π B. π
6 3
O 1 2 3 4 5 6 x
π π
C. D.
3 6
1 2 1 π π π π π π解:由于扇形OMA 面积 S R ， ，OA 1， AOA = ，OA ，
2 2 6 3 2 3 6 3
π π 3
OA OA OA OA cos AOA 1 cos π，故选 A.
3 6 6
π
7.如图，已知圆锥顶点为 P ，底面直径为 AB ， AB 4 ， APB ，以 AB 为
6
直径的球O 与圆锥相交的曲线记为Ω (异于圆锥的底面)，则曲线Ω的长为(A)
A. 2 3π B.3π .
7
C. 2π D. π
3
解:曲线Ω是圆O1 .球O 与母线 PA ， PB 分别交于点M ， N ，则MN 为圆O1的
直径， PA PB， PAB PBA. OA OM ， OMA OAM ，
π π
O1MO MOA APB ， MO1 OM cos O MO 2 cos 3 ， 1 6 6
圆O1的周长 l 2π MO1 2 3π，故选 A.
y
8.已知函数 f (x) Asin( x ) ( A 0 ， 0 )的部
x
2
x
分图象如图.若 x1 2x2 0，则cos 2 (C)
1 O x
1 3 1 3
A. B. C. D.
2 2 2 2
2kπ
解:由图知 f (x1) f (x2 ) 0， x1 2kπ， x2 2kπ π， x ， 1
2kπ π 2kπ 2kπ π 2
x ，由2 x1 2x2 2 0，得 π 2kπ .
3
{#{QQABCYKAogiAAIAAAQhCUQHqCkCQkBCAAagOgBAAoAAAAQNABAA=}#}
2 1
cos 2 cos 2( π 2kπ) ，故选 C.
3 2
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得 6分，部分选对的得 3分，有选错的得 0分.
9.已知复数 z1, z2 ，则下列命题中正确的是(BC)
A.若 z z ，则 z2 z1 B. z z z z 1 2 1 2 1 2
C.若 z z ，则 | z1 | | z2 | D.若 z1 z2 z1 z ，则 z1z2 02 2 1
解 A选项，令 z1 1， z2 i，则 z z 1，但不满足 z2 z1，A错误； 1 2
B 选项，设 z1 a bi ， z2 c di ( a,b,c, d R )，则 z1 z2 (ac bd ) (ad bc)i ，
z1 z2 (ac bd ) (ad bc)i，z1 z2 (a bi)(c di) (ac bd ) (ad bc)i ， z1 z2 z1 z ，B正2
确；
C 选项，设 z1 a bi (a,b R )，则 z2 a bi | z
2
，则 1 | | z2 | a b
2
， | z1 | | z2 |，C正确；
D 选项，令 z1 1， z2 i，则 z z z z 2 ，但不满足 z1z2 0，D错误. 1 2 1 2
故选 BC.
1 π
10.把函数 y f (x) 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个
2 3
2 π
单位长度，得到函数 y sin (x ) 的图象，则 f (x) (BCD)
4
A.最小正周期为 π B.值域为[0,1]
π π 5π
C.图象关于直线 x 对称 D.在[ , ]上单调递增
6 6 6
2 π
解:由已知得函数 y sin (x ) 逆向变换.
4
π 2 π π 2 π
第一步：向左平移 个单位长度，得到 y sin (x ) sin (x )的图象，
3 3 4 12
2 1 π
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变，得到 y sin ( x )的图象，
2 12
1 1 π
即为 y f (x) 的图象， f (x) cos(x ) .故选 BCD.
2 2 6
11.四棱锥 P ABCD 的底面为正方形，PA 平面 ABCD，PA 2 ，AB 1，动点M 在线段PC 上(不
含端点)，点M 到平面 ABCD和平面PAD 的距离分别为d1, d2 ，则（ACD）
A.过M ,A,D三点的截面为直角梯形
{#{QQABCYKAogiAAIAAAQhCUQHqCkCQkBCAAagOgBAAoAAAAQNABAA=}#}
6
B.△BDM 的面积最小值为
3
C.四棱锥 P ABCD 外接球的表面积为6π
D. d1 2d2 为定值.
PN PM
解:A选项，取 PB 上一点 N ,使 ,连接 AN ，MN ，
NB MC
则MN / /BC / / AD，且MN AD . PA 平面 ABCD，
AD PA .又底面 ABCD是正方形， AD AB ， AD 平面 PAB ，
AD AN ， 截面MNAD
为直角梯形，A正确；
B 选项，设 AC BD O ，则 BD AC ， BD PA ， BD 平面PAC ，
1 2 OH OC
OM BD , S△BDM BD OM OM .过点O 作PC 垂线，垂足为 H ，则 ，
2 2 PA PC
3 2 2 6
解得OH , S△BDM OM ≤ OH ，B错误；
3 2 2 6
C 选项，易知△PAC ，△PBC ，△PDC 均为直角三角形，故四棱锥P ABCD 外接球的直径为PC ，
1 1 6 2
半径 R PC 22 12 12 ，四棱锥P ABCD 外接球的表面积为 S 4πR 6π，C 正确；
2 2 2
D选项，过点M 作MM1 AC ，垂足为M1 ，则 MM1 平面 ABCD，d1 MM1 .过点M 作MM 2 PD ，
垂足为M ，则 MM 平面 PAD2 2 ，则d2 MM 2 .
CM MM CM
设 t ， △CMM1∽△CPA，△PMM 2∽ △PCD ，
1 t ， d1 tPA 2t ，
CP PA CP
MM 2 PM 1 t ， d2 (1 t)CD 1 t ， d1 2d2 2t 2(1 t) 2 ，D正确.
CD PC
故选 ACD．
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．其中第 14题第 1问 2分，第 2问 3分.
12.已知向量a (cos ,sin )，b (3, 1) .若a b，则 tan 的值为 3 .
解: a b ， a b 3cos sin 0， tan 3 .
13.如图“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转、连接而成，
且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点.
若下底面正方形边长为 4，“四角反棱台”高为 3，则该几何体体积为 40 ．
解:依题意，将该“四角反棱台”还原成长方体，知该几何体为长方体截取
{#{QQABCYKAogiAAIAAAQhCUQHqCkCQkBCAAagOgBAAoAAAAQNABAA=}#}
四个相同大小的四棱锥，如图.则该几何体体积为
1 1
V 4 4 3 4 2 2 3 40 .
3 2
π π
14.已知 , 是函数 f (x) 13sin(2x ) 12 在 (0, ) 上的两个零点，
3 2
π 5
且 ，则 ，sin( ) .
6 13
2 2
π 12 12
解:由 f (x) 0 ，得sin(2x ) ， sin(2 ) sin(2 ) ， 3 3 ，
3 13 3 3 13 2 2
π
， sin( ) sin(2 ) sin(2 ) cos(2 ) .
6 6 3 2 3
π π π 5
0 ， 0 2 ， sin = .
2 3 2 13
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本题满分 13分）
如图，已知正四棱台 ABCD A1B1C1D1 ， AB 2A1B1 4，侧棱 AA1 2 2 .
(1)求证: AA1∥平面 BDC1 ；
(2)求证:平面 A1BC 平面 BDC 1 .
解:(1)证明：连接 AC ， AC AC BD O1 1 ，设 ，
连接OC1………1分
由正四棱台 ABCD A1B1C1D1 ，知 A1C1∥AC ………2分
AB 2A1B1 4， A1C1=AO 2 2 ………3分
四边形 A1C1OA为平行四边形………4分
AA1∥OC1，又 AA1 平面 BDC1 ，OC1 平面BDC1 ，
AA1∥平面 BDC1 ………5 分
(2)连接 A1O，同理可得四边形 A1C1CO 为平行四边形………6 分
又 A1C1=CC1 2 2 ， 四边形 A1C1CO 为棱形， A1C OC1………8分
由正四棱台 ABCD A1B1C1D1 ，知 BD 平面 AA1C1C ，
又 A1C 平面 AA1C1C ， A1C BD ………10分
{#{QQABCYKAogiAAIAAAQhCUQHqCkCQkBCAAagOgBAAoAAAAQNABAA=}#}
又OC1 BD O ，OC1, BD 平面 BDC1 ， A1C 平面BDC1 ………11分
又 A1C 平面 A1BC ， 平面 A1BC 平面 BDC1 ………13分
16.(本题满分 15分)
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，单位圆O 与 x 轴正半轴的交点为 A ，点 B , C 在单位圆上，且满足
y
AOB ， AOC ， , [0,π) .
C
4 3 π
(1)若B( , ) ，求cos( ) 的值；
5 5 B 6
π O A x
(2)若 ，求CA CB 的取值范围.
3
4 3 3 4
解:(1) B( , )， AOB ， sin ，cos ………2分
5 5 5 5
π 3 1 3 4 3
cos( ) cos sin ………5 分
6 2 2 10
2
(2)CA CB (OA OC) (OB OC) OA OB OA OC OC OB OC ………7 分
π
OA OB OC 1， AOB ， AOC ,
3
π π
CA CB cos cos cos( ) 1………9分
3 3
3 1 3 3 π
cos cos sin 3 sin( )………11分
2 2 2 2 3
π π 4π π 3
[0,π)， [ , ) ， sin( ) ( ,1]………13分
3 3 3 3 2
3
CA CB [ 3,3)………15分
2
17.(本题满分 15分）
如图，在三棱锥 A BCD 中，O 为 BD 的中点，△OCD 是边长为 1的 A
等边三角形， AB CD .
(1)证明:CD 平面 ABC ；
(2)若 AB AC ， AO 与平面 BCD所成的角为60 ，求三棱锥
A BCD 的体积. B O D
解:(1)证明： △OCD是边长为 1的等边三角形，
C
O 为 BD的中点， OB OC OD CD 1， BOC 120 ………2分
{#{QQABCYKAogiAAIAAAQhCUQHqCkCQkBCAAagOgBAAoAAAAQNABAA=}#}
BC 12 12 2 1 1 cos120 3 ， BC
2 CD2 BD2 ， CD BC ………4 分
又CD AB ， AB BC B ， AB, BC 平面 ABC ， CD 平面 ABC ………6 分
(2)由(1)知CD 平面 ABC ，且CD 平面 BCD， A
平面 ABC 平面 BCD………7 分
取 BC 的中点 E ，连接 AE,OE ………8分
AB AC ， AE BC ， AE 面 BCD………9分
B O D
AOE 即为 AO 与平面 BCD所成的角， AOE 60 ………10 分
E
1 1 C
OE 为△BCD 的中位线， OE CD ………11分
2 2
AE 3
在Rt△AOE 中， tan 60 ， AE ………13分
OE 2
1 1 1 1 3 1
故三棱锥 A BCD 的体积为 BC CD AE 3 1 ………15 分
3 2 3 2 2 4
18.(本题满分 17分)
△ABC 中，a,b,c 分别为内角 A, B,C 所对的边，已知 (a cos B bsin A)c a2 b2 ．
(1)求 A ；
(2)设 BC 的中点为 D ，a 2，求 AD 的最大值.
解:(1)解法一:由余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos A，得 (a cos B bsin A)c c2 2bc cos A………1分
a cos B bsin A c 2bcos A………2分
由正弦定理，得 sin Acos B sin Bsin A sin C 2sin Bcos A ………3分
C π (A B)， sin C sin(A B) sin Acos B cos Asin B ,
sin Acos B sin B sin A sin Acos B sin B cos A ………4分
sin B sin A sin B cos A………5分
sin B 0 ， sin A cos A ， tan A 1，
π
A (0,π) ， A ………6分
4
解法二:由正弦定理,得 (sin Acos B sin Bsin A)sin C sin2 A sin2 B ………1分
sin2 B sin A(sin A sin Bsin C sin C cos B)………2分
A π (B C)， sin A sin(B C) sin B cosC cos B sin C ,
sin2 B sin A(sin B cosC sin Bsin C) ………3分
{#{QQABCYKAogiAAIAAAQhCUQHqCkCQkBCAAagOgBAAoAAAAQNABAA=}#}
sin B 0 ， sin B sin AcosC sin Asin C ………4分
B π (A C)， sin B sin(A C) sin AcosC cos Asin C , cos Asin C sin Asin C ………5分
sin C 0 ， sin A cos A ， tan A 1，
π
A (0,π) ， A ………6分
4
π
(2)由余弦定理，得 2 2 2 ，即b2 c22 b c 2bccos 2bc 4 ………7分
4
b2 c2
4
≥ 2bc ， bc≤ 2(2 2) ………9分
2 2
1
AD (AB AC) ………11分
2
2 1 1 2 2 1 1
AD (AB AC)2 (AB 2AB AC AC ) (c2 2bc cos A b2 ) (b2 c2 2bc) ………13分
4 4 4 4
2 2 1b c2 4 2bc， AD (4 2 2bc)≤3 2 2 ………15 分
4
AD≤ 2 1，即 AD的最大值为 2 1………17分
19.(本题满分 17分)
已知定义域为R 的函数 h(x) 满足：对于任意的 x R ，都有 h(x π) h(x) h(π) ，则称函数 h(x) 具有性质
P .
(1)若一次函数 f (x) 具有性质 P ，且 f (2) 1，求 f (x) 的解析式；
(2)若函数 g(x) cos( x ) (其中 (1,3) ， (0,π) )具有性质 P ，求 g(x) 的单调递增区间；
(3)对于(1)(2)中的函数 f (x) ， g(x) ，求函数 F (x) f (x π)g(x) 1在区间[ 2π, 4π] 上的所有零点之和.
解:(1)设 f (x) ax b ( a 0 )………1分
则 f (x π) a(x π) b， f (x) f (π) ax b aπ b a(x π) 2b ，
由 f (x π) f (x) f (π)，得b 0 ………2分
1
又 f (2) 1， a ………3 分
2
1
f (x) x………4分
2
(2)由 g(x π) g(x) g(π) ，得 g(0 π) g(0) g(π)， g(0) 0 ………5分
π
cos 0 ，又 (0,π) , ………6分
2
π
g(x) cos( x ) sin x ………7 分
2
由 g(x π) g(x) g(π) ，得 g(π π) g(π) g(π)，即 g(2π) 2g(π)………8分
sin 2π 2sin π ， sin π cos π sin π ， sin π 0 或 cosπ 1………9分
又 (1,3) ， π (π,3π) ， π 2π， 2 ， g(x) sin 2x ………10 分
{#{QQABCYKAogiAAIAAAQhCUQHqCkCQkBCAAagOgBAAoAAAAQNABAA=}#}
π 3π π 3π
令 2kπ ≤ 2x≤ 2kπ ，得 kπ ≤ x≤ kπ ( k Z )，
2 2 4 4
π 3π
故 g(x) 的单调递增区间为[kπ ,kπ ]( k Z )………11 分
4 4
2 2
(3)令 F (x) 0，得 sin 2x ，问题转化为曲线 y 和 y2 sin 2x ( x [ 2π, 4π] )所有交点的横坐1
x π x π
标之和………12 分
2
曲线 y 和 y sin 2x ( x [ 2π, 4π] )均关于 (π,0)2 成中心对称………13 分 1
x π
y
画出它们的图象如图所示………14分
2
由图象可知曲线 y 和 y sin 2x ( x [ 2π, 4π]2 ) 1
x π
共有 8个交点………15分
O x
设其交点的横坐标从小到大依次为 x1, x2 , , x8 ，
则 x1 x8 x2 x7 x3 x6 x4 x5 2π ………16 分
故函数 F (x) f (x π)g(x) 1在区间[ 2π, 4π]上的所有零点之和为 4 2π 8π………17分
{#{QQABCYKAogiAAIAAAQhCUQHqCkCQkBCAAagOgBAAoAAAAQNABAA=}#}秘密★启用前
九江市2023-2024学年度下学期期末考试
高一数学试题卷
考生注意：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
密
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在
本试题卷上无效
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的
),
1复数=月
节在复平面内对应的点在
0心00如0)1Y·'04
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.已知cos2a+5sina=3,则sina=
B.-
1
2
D.-3
3.已知m,n是两条不重合的直线，a,B是两个不重合的平面，则下列命题正确的是
A.若m∥n,n∥a,则m∥a
B.若n⊥a,n⊥m,mCB,则x∥B
线
C.若a∥B,m⊥B,则m⊥e
D.若a⊥B,mCB,则m⊥a&
4.已知a,满足1a1=1b1=√5，ab=-3,则cos(a,a+)三
25
B.⑤
C.-
25
A.
5
5
5
D.
5
:>1
5.△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=asinC+bcosC,则
A.cosB=sinC
B.sinB=cosC
C.cosA sinB
:门·D.sinA=cosB人
期末试题卷高一数学（下学期)第1页（共4页)
餐用全
6.如图，单位圆M与数轴相切于原点0，把数轴看成一个“皮尺”，对于任意一个正数a,它对应
正半轴上的点A,把线段OA按逆时针方向缠绕到圆M上，点A对应单位圆上点A',这样就得
到一个以点M为顶点，以M0为始边，经过逆时针旋转以MA'为终边的圆心角α，该角的弧度
数为a.若扇形0M'面积为若，则0：0=
i
A.
6
3
.代证的0A!-9四
c号
LA
la
3
4
62
7.如图，已知圆锥顶点为P,底面直径为AB,AB=4,LAPB=石，以AB为直径的球0与圆锥相
交的曲线记为（异于圆锥的底面），则曲线2的长为
A.25m
B.3m
C.2m
无阿泉，代C日1题1品其：代共公乙园小，小无共
8.已知函数f(x)=Asin(wrx+p)(A>0,ω>0)的部分图象如图.若x1+2x2=0,则cos2p=
B.③
2
c-
大、M
歌：，瓶中文阳题出
D.、3
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分
9.已知复数，2，则下列命题中正确的是
0t::水(C)
A.若1311=12|，则32=±1
B.1·2=31·
C.若2=，则z1=2
D.若131+21=1-21，则2=0
期末试题卷〔高一数学（下学期)第2页（共4页）
餐甲
