【高中数学苏教版（2019）必修第一册同步练习】 6.2指数函数 （含答案）

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【高中数学苏教版（2019）必修第一册同步练习】
6.2指数函数
一、单选题
1．2006年7月13日，河南安阳殷墟通过了世界遗产委员会的认可，成为世界文化遗产．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量 随时间t（单位：年）的衰变规律满足 （ 表示碳14原有的质量），经过测定，殷墟遗址某文物样本中碳14的质量约是原来的 ，据此推测此文物存在的时期距今约（　　）（参考数据： ， ）
A．1719年 B．2870年 C．3075年 D．4775年
2．记 ，则 的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
3．已知曲线 且 过定点 ，若 且 ，则 的最小值为（　　）.
A． B．9 C．5 D．
4．已知指数函数y=(a+2)x，则实数a的取值范围是（　　）.
A．(-2，+∞) B．[-2，+∞)
C．(-2，-1) （-1，+∞） D．(1，2)∪(2，+∞)
5．设点集 { 是指数函数与幂函数图象的公共点或对数函数与幂函数图象的公共点}下列选项中的点是集合 的元素的为（　　）
A． B． C． D．
6．已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
7．下列式子不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．下列结论中，正确的是（　　）
A．函数是指数函数
B．函数的单调增区间是
C．若则
D．函数的图像必过定点
三、填空题
9．函数且的图像恒过定点　 　．
10．函数 的单调递增区间为　 　.
11．已知，，，则a，b，c三者的大小关系　 　．
12．若关于 的方程 | 且 有两个不等实根，则 的取值范围是　 　.
13． 设，函数，给出下列四个结论：
①当时，的最小值为；
②存在，使得只有一个零点；
③存在，使得有三个不同零点；
④，在上是单调递增函数.
其中所有正确结论的序号是　 　.
14．函数 的定义域为　 　，值域为　 　．
四、解答题
15．已知函数 为奇函数.
（1）求 的值；
（2）求函数 的值域.
16．已知函数f（x）=
（1）作出函数f（x）的图象；
（2）直接写出函数f（x）的值域；
（3）求 f[f（﹣1）]的值．
17．已知指数函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）图象过点(3，)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）利用第（1）的结论，比较a﹣0.1与a﹣0.2的大小．
18．已知指数函数 且 的图象经过点 ．
（1）求指数函数 的解析式；
（2）求满足不等式 的实数 的取值范围．
19．某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量y（μg）与服药后的时间t（h）之间近似满足如图所示的曲线．其中OA是线段，曲线段AB是函数y=k at（t≥1，a＞0，k，a是常数）的图象．
（1）写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；
（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2（μg）时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？
（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后在过3h，该病人每毫升血液中含药量为多少μg？（精确到0.1μg）
20．在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）.
（1）计算的值；
（2）类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式： ，并加以证明；
（3）若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】指数函数的实际应用
2．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
3．【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质；基本不等式在最值问题中的应用
4．【答案】C
【知识点】指数函数的概念与表示
5．【答案】D
【知识点】元素与集合的关系；指数函数的图象与性质；幂函数的图象与性质
6．【答案】C
【知识点】指数函数单调性的应用；对数的性质与运算法则；换底公式的应用
7．【答案】A,B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
8．【答案】B,D
【知识点】复合函数的单调性；指数函数的概念与表示；指数函数的单调性与特殊点；指数函数单调性的应用
9．【答案】
【知识点】指数函数的图象与性质
10．【答案】（0，+∞）（或写成[0,+∞））
【知识点】复合函数的单调性；指数函数的单调性与特殊点
11．【答案】
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
12．【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；指数函数的图象变换
13．【答案】②③
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的最大（小）值；指数函数的图象与性质
14．【答案】（﹣∞，0）∪（0，+∞）；（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；指数函数的概念与表示
15．【答案】（1）解： 函数 为奇函数，则 ，
因为 ，即 ，
对任意的 恒成立，故
（2）解： ，设 ，可得 ，
由 ，解得 或 .
因此，函数 的值域为
【知识点】函数的值域；奇函数与偶函数的性质；指数函数的概念与表示
16．【答案】（1）解：当x≥0时，函数为y=（ ）x；
当x＜0时，函数为y=（2）﹣x=2x，其图象由y=（ ）x（x≥0）和y=2x（x＜0）的图象合并而成．
而y=（ ）x（x≥0）和y=2x（x＜0）的图象关于y轴对称，所以原函数图象关于y轴对称，
图象如图：
（2）解：由图象可知，值域是（0，1]
（3）解：f[f（﹣1）]=f（ ）= = ．
【知识点】指数函数的概念与表示
17．【答案】解：（1）∵设f（x）=ax（a＞0，且a≠1）
∵图象过点(3，)，
∴a3=，∴a=
∴f(x)=
（2）由（1）知a=，∴f(x)= 在R上是减函数．
∵﹣0.1＞﹣0.2，
∴a﹣0.1＜a﹣0.2．
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
18．【答案】（1）因为 且 的图象经过点 ，所以 ， ，得 ，
所以 .
（2）由题可得 ，即 ，得 ， 或
【知识点】指数函数的概念与表示；指数函数的单调性与特殊点
19．【答案】解：（1）当0≤t＜1时，y=8t；
当t≥1时，把A（1，8）、B（7，1）代入y=kat，得，解得，
故
（2）设第一次服药后最迟过t小时服第二次药，则，解得t=5，即第一次服药后5h后服第二次药，也即上午11：00服药；
（3）第二次服药3h后，每毫升血液中含第一次服药后的剩余量为：
含第二次服药量为：
所以此时两次服药剩余的量为
故该病人每毫升血液中的含药量为4.7μg
【知识点】指数函数的实际应用
20．【答案】（1）由已知可得，，，
所以，，
所以，.
（2）.
证明如下：
左边，
右边.
所以，左边=右边，
所以，.
（3）原题可转化为方程有解，即有解.
令，，，
因为在上单调递增，，，
所以，.
又，当且仅当，即时等号成立，
所以，即有最大值.
则要使有解，应有，
即，所以.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数函数的单调性与特殊点；基本不等式
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