【高中数学苏教版（2019）必修第一册同步练习】 6.3对数函数 （含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
【高中数学苏教版（2019）必修第一册同步练习】
6.3对数函数
一、单选题
1．已知函数①y=2x；②y=log2x；③y=x-1；④.则下列函数图象（在第一象限部分）从左到右依次与函数序号的正确对应顺序是(　　)
A．②①③④ B．②③①④ C．④①③② D．④③①②
2．函数 与函数 在同一平面直角坐标系内的图像可能是（　　）
A． B．
C． D．
3．若，，，则（　　）
A． B． C． D．
4．函数 在 上的最大值和最小值之和为 ，则 的值为
A． B． C． D．
5．已知函数是上的增函数（其中且），则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
6．已知函数 ， ，若正实数 互不相等，且 ，则 的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
7．下列大小关系正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德 牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，例如： ， .已知函数 ，函数 ，以下结论正确的是（　　）
A． 在 上是增函数 B． 是偶函数
C． 是奇函数 D． 的值域是
三、填空题
9．若 ，则 的取值范围是　 　．
10．欧巴老师布置给时镇同学这样一份数学作业：在同一个直角坐标系中画出四个对数函数的图象，使它们的底数分别为 和 ．时镇同学为了和暮烟同学出去玩，问大英同学借了作业本很快就抄好了，详见如图．第二天，欧巴老师当堂质问时镇同学：“你画的四条曲线中，哪条是底数为e的对数函数图象？”时镇同学无言以对，憋得满脸通红，眼看时镇同学就要被欧巴老师训斥一番，聪明睿智的你能不能帮他一把，回答这个问题呢？曲线　 　才是底数为e的对数函数的图象．
11．已知函数 （ 且 ）恒过定点 ，则 　 　．
12．若函数 是幂函数，且其图象过点 ，则函数 的单调增区间为　 　.
13．已知函数，若对任意，存在使得恒成立，则实数a的取值范围为　 　．
14．已知是在定义域上的单调函数，且对任意都满足：，则满足不等式的的取值范围是　 　.
四、解答题
15．已知对数函数f（x）=（m2–m–1）logm+1x．
（1）求m的值；
（2）求f（27）．
16．对于等式，如果将视为自变量，视为常数，为关于（即）的函数，记为，那么，是幂函数；如果将视为常数，视为自变量，为关于（即）的函数，记为，那么，是指数函数；如果将视为常数，视为自变量为关于（即）的函数，记为，那么，是对数函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．例如，如果为常数（为自然对数的底数），将视为自变量，则为的函数，记为．
（1）试将表示成的函数；
（2）函数的性质通常指函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，请根据你学习到的函数知识直接写出该函数的性质，不必证明．并尝试在所给坐标系中画出函数的图象．
17．已知：函数f（x）=loga（2+x）﹣loga（2﹣x）（a＞0且a≠1）
（Ⅰ）求f（x）定义域；
（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（Ⅲ）求使f（x）＞0的x的解集．
18．已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1﹣x）（a＞0，且a≠1）．设F（x）=f（x）+g（x），G（x）=f（x）﹣g（x），解决下列问题：
（1）求函数F（x）的定义域；
（2）证明F（x）为偶函数；并求F（x）的值域；
（3）证明G（x）为奇函数；并判断函数G（x）的单调性．
19．已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若的最大值是，求的值；
（3）已知，，当的定义域为时，的值域为，求实数的取值范围.
20．已知函数 ， 的图象如图所示点 ， 在函数 的图象上，点 在函数 图象上，且线段 平行于 轴．
（1）证明： ；
（2）若 为以角 为直角的等腰直角三角形，求点 的坐标．
说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；幂函数的图象与性质
2．【答案】B
【知识点】函数的图象与图象变化；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
3．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
4．【答案】B
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
5．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；对数函数的图象与性质；对数函数图象与性质的综合应用
6．【答案】A
【知识点】对数函数的图象与性质
7．【答案】A,B,D
【知识点】指数函数单调性的应用；对数的性质与运算法则；利用对数函数的单调性比较大小
8．【答案】A,C,D
【知识点】复合函数的单调性；对数函数的单调性与特殊点
9．【答案】
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
10．【答案】C1
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
11．【答案】
【知识点】对数函数的图象与性质
12．【答案】
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
13．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点
14．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的单调性与特殊点
15．【答案】（1）解： 是对数函数，
解得
（2）解：由（1）可得 ,
【知识点】函数的值；对数函数的概念与表示
16．【答案】（1）解：依题意因为，，
两边取以为底的对数得，
所以将y表示为x的函数，则，（，），
即，（，）；
（2）解：函数性质：
函数的定义域为，
函数的值域，
函数是非奇非偶函数，
函数的在上单调递减，在上单调递减．
函数的图象：
【知识点】对数函数的图象与性质
17．【答案】解：（Ⅰ）由题意得 ，即﹣2＜x＜2．∴f（x）的定义域为（﹣2，2）；（Ⅱ）∵对任意的x∈（﹣2，2），﹣x∈（﹣2，2）f（﹣x）=loga（2﹣x）﹣loga（2+x）=﹣f（x），∴f（x）=loga（2+x）﹣loga（2﹣x）是奇函数；（Ⅲ）f（x）=loga（2+x）﹣loga（2﹣x）＞0，即loga（2+x）＞loga（2﹣x），∴当a∈（0，1）时，可得2+x＜2﹣x，即﹣2＜x＜0．当a∈（1，+∞）时，可得2+x＞2﹣x，即x∈（0，2）
【知识点】函数的奇偶性；对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点
18．【答案】（1）解：F（x）=f（x）+g（x）=loga（x+1）+loga（1﹣x），
由对数函数的定义得： ，解得：﹣1＜x＜1，
故F（x）的定义域是（﹣1，1）
（2）解：证明：F（x）=f（x）+g（x）=loga（x+1）+loga（1﹣x），
F（﹣x）=loga（﹣x+1）+loga（1+x）=F（x），
F（x）的定义域是（﹣1，1），关于原点对称，
故F（x）是偶函数；
x=0时，F（0）=0，
x＞0时，F（x）=loga（﹣x2+1），
a＞1时，F（x）在（0，1）递减，x→1时，F（x）→﹣∞，
故x＞0时，F（x）∈（﹣∞，0），
根据函数F（x）是偶函数得：
x＜0时，F（x）∈（﹣∞，0），
故f（x）的值域是（﹣∞，0]
（3）解：证明：G（x）=f（x）﹣g（x）=loga（x+1）﹣g（x）=loga（1﹣x），
G（x）的定义域是（﹣1，1），关于原点对称，
G（﹣x）=loga（﹣x+1）﹣loga（1+x）=﹣G（x），
故函数G（x）在（﹣1，1）是奇函数；
G′（x）= ﹣ = ，
a＞1时，G′（x）＜0，G（x）在（﹣1，1）递减，
0＜a＜1时，G′（x）＞0，G（x）在（﹣1，1）递增
【知识点】对数函数的图象与性质
19．【答案】（1）当时，，
则，解得，
故不等式的解集为.
（2）当时，，不合题意；
时，设，令.
①若开口向上没有最大值，故无最大值，不合题意；
②当时，此时对称轴，函数的最大值是，
所以，
解得或(舍)，
所以.
（3）当时，设，
而的对称轴，
所以当时，为增函数，故为增函数.
因为函数的定义域为时，的值域为，
，
；，
所以为方程的两根.
故有两个大于1的不同实根.
所以，
解得，
所以实数的取值范围是.
【知识点】函数的值域；函数的最大（小）值；利用对数函数的单调性比较大小；一元二次方程的根与系数的关系
20．【答案】（1）证明：因为线段 平行于 轴，所以 ，
又 ， ，
则
（2）解：由等腰直角三角形，和 ，且 平行于 轴，
所以 ，且 ，
又 ， ，
则 ，解得 ，
所以 ，
所以点 的坐标为
【知识点】对数函数图象与性质的综合应用
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)