【高中数学苏教版（2019）必修第一册同步练习】第六章幂函数指数函数和对数函数综合题 （含答案）

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【高中数学苏教版（2019）必修第一册同步练习】
第六章幂函数指数函数和对数函数综合题
一、单选题
1．已知 ， ， ，则（　　）
A． B． C． D．
2．设a，b，c均为正数，且， 则(　　)
A．a3．若 ， ， ，则实数 ， ， 的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
4．已知 ， ， ，则（　　）
A． B． C． D．
5．若a＝ ，b＝ ，c＝ ，则（　　）
A．a6．函数 的部分图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
7．已知函数 ，若正实数m，n（ ）满足 ，且 在区间 上的最大值为4，则 （　　）
A． B． C． D．
二、多选题
8．若a＞0，a≠1，则下列说法不正确的是（　　）
A．若logaM＝logaN，则M＝N B．若M＝N，则logaM＝logaN
C．若logaM2＝logaN2，则M＝N D．若M＝N，则logaM2＝logaN2
9．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， 的图象如图所示，那么满足不等式 的x的可能取值是（　　）
A．-4 B．-1 C． D．2
三、填空题
10．比较两个值的大小：　 　（请用“>”，“=”“<”填空）
11．函数 的定义域为　 　．
12．指数函数y=（）x的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx的顶点的横坐标的取值范围是 　 　．
13．已知函数 是指数函数，如果 ，那么 　 　 （请在横线上填写“ ”，“ ”或“ ”）
14．19世纪，美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期望值的3倍，并提出本福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．根据本福特定律，若，则n的最大值为　 　．
15．若 ，则 的值为　 　；若 （ 且 ），则实数 的取值范围为　 　．
16．在沪教版教材必修第一册第四章的章首语中有这样一段话：“通过固定等式中的三个量中的一个量，研究另两个量的相互关系和变化规律，定义三种基本而应用广泛的函数——幂函数 指数函数和对数函数”.若令（是自然对数的底数），将视为自变量，则为的函数，记作，若不等式对任意的恒成立，则实数的值为　 　.
四、解答题
17．已知函数（且）的图象经过点和．
（1）求函数的解析式；
（2）令，求的最小值及取最小值时x的值．
18．已知函数f（x）=loga（1﹣x）+loga（x+3）（a＞0，且a≠1）
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）若函数 f（x）有最小值为﹣2，求a的值．
19．已知幂函数在上是减函数，．
（1）求的解析式；
（2）若， 求的取值范围．
20．已知函数f（x）=loga（1﹣x）+loga（x+3）（0＜a＜1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的零点；
（3）若函数f（x）的最小值为﹣2，求a的值．
21．已知函数 ， ，其中 ， ．当 时， 的最大值与最小值之和为 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ，记函数 ，求当 时 的最小值 ；
22．已知函数f（x）=，且f（4）=．
（1）求m的值；
（2）判定f（x）的奇偶性；
（3）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．
23．已知函数，其中．
（1）若直线为曲线的一条切线，求实数的值；
（2）若对任意两个不相等的正实数，均有，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点
2．【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
3．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
4．【答案】C
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点
5．【答案】C
【知识点】换底公式的应用；对数函数的单调性与特殊点
6．【答案】D
【知识点】函数的图象；指数函数的图象与性质
7．【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值；对数函数的值域与最值
8．【答案】B,C,D
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点
9．【答案】A,C
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性；指数函数的图象与性质
10．【答案】>
【知识点】指数函数单调性的应用；幂函数的图象与性质
11．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的概念与表示
12．【答案】（﹣，0）
【知识点】指数函数的图象与性质
13．【答案】>
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
14．【答案】3
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点
15．【答案】；
【知识点】指数式与对数式的互化；对数函数的单调性与特殊点
16．【答案】
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；换底公式的应用；对数函数的概念与表示；幂函数的概念与表示
17．【答案】（1）解：依题意可得，解得，所以
（2）解：由（1）知，，所以，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
又，所以，此时.
所以的最小值为，且取最小值时x的值为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点；基本不等式
18．【答案】（1）解：由 ，得﹣3＜x＜1，∴函数的定义域{x|﹣3＜x＜1}，f（x）=loga（1﹣x）（x+3），
设t=（1﹣x）（x+3）=4﹣（x+1）2，∴t≤4，又t＞0，则0＜t≤4．
当a＞1时，y≤loga4，值域为{y|y≤loga4}．
当0＜a＜1时，y≥loga4，值域为{y|y≥loga4}．
（2）解：由题设及（1）知：
当0＜a＜1时，函数有最小值，∴loga4=﹣2，解得 ．
【知识点】对数函数图象与性质的综合应用
19．【答案】（1）解：由函数为幂函数得，解得或，
又函数在上是减函数，则，即，
所以，
；
（2）解：由（1）得，
所以不等式为，
设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减，
所以，解得，
所以的取值范围是.
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
20．【答案】解：（1）要使函数有意义：则有，解之得：﹣3＜x＜1，
所以函数的定义域为：（﹣3，1）
（2）函数可化为f（x）=loga（1﹣x）（x+3）=loga（﹣x2﹣2x+3），
由f（x）=0，得﹣x2﹣2x+3=1，
即x2+2x﹣2=0，
解得x=﹣1，
∵x=﹣1∈（﹣3，1），
∴f（x）的零点是﹣1；
（3）函数可化为：函数可化为f（x）=loga（1﹣x）（x+3）=loga（﹣x2﹣2x+3）=loga[﹣（x+1）2+4]，
∵﹣3＜x＜1，
∴0＜﹣（x+1）2+4≤4，
∵0＜a＜1，
∴loga[﹣（x+1）2+4]≥loga4
即f（x）min=loga4，
由题知，loga4=﹣2，
∴a﹣2=4
∴a=
【知识点】对数函数图象与性质的综合应用
21．【答案】解：（Ⅰ） 在 上为单调函数，
的最大值与最小值之和为 ，
.
（Ⅱ） 即
令 ，∵ 时，∴ ，
，对称轴为
当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
综上所述，
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值；指数函数单调性的应用
22．【答案】解：（1）因为f（4）=，所以，所以m=1．
（2）因为f（x）的定义域为{x|x≠0}，又，
所以f（x）是奇函数．
（3）任取x1＞x2＞0，则，
因为x1＞x2＞0，所以，所以f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．
【知识点】函数单调性的判断与证明；指数函数的概念与表示
23．【答案】（1）解：设直线与曲线切于点，
则由题意有，即，
消去，整理得．（*）
令，则且为增函数，
由此，方程（*）存在唯一解，
综上，实数的值为．
（2）解：不妨设，原不等式即，
约去，整理得，
令，则由题意，．
．
令，则在区间内单调递增．
①若，即，则当时，，从而，
在区间内单调递增，所以，当时，，符合题意．
②若，即，则，且．
由零点存在性定理及的单调性知，存在，使得，
且当时，在内单调递减．
由此，当时，，与已知矛盾．
综上，实数的取值范围为．
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点
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