【举一反三题型总结】苏教版六上 第一单元 长方体和正方体的表面积（知识点+例题+变式题）
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| 名称 | 【举一反三题型总结】苏教版六上 第一单元 长方体和正方体的表面积（知识点+例题+变式题） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-04 16:15:50 | ||
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文档简介
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长方体与正方体表面积知识点梳理+题型总结
知识点1：长方体和正方体的表面积
（1）表面积：长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。
（2）长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 用字母表示：S=（ab＋ah＋bh）×2
（3）正方体的表面积= 棱长×棱长×6 用字母表示：S=6a
（4）表面积单位：平方厘米、平方分米、平方米 1m =100dm 1dm =100cm
前面面积=后面面积；左面面积=右面面积；上面面积=下面面积
【例题】 计算下列长方体和正方体的表面积。
答案：7平方米，486平方厘米
【变式1】 做一个这样的纸箱，至少需要多少平方分米的硬纸板
答案：94平方分米
【例题】 用玻璃做一个长为12分米、宽为5分米、高为8分米的长方体金鱼缸(无盖)，至少需要多少平方分米的玻璃
答案：322平方分米
【变式1】一个长方体的无盖铁皮水桶，长和宽都是3分米，深5分米。做一对这样的水桶，至少需要多少平方分米铁皮？
答案：138平方分米
【例题】 一个房间的长6米，宽3.5米，高3米，门窗面积是8平方米。现在要把这个房间的四壁和顶面粉刷水泥，粉刷水泥的面积是多少平方米？如果每平方米需要水泥4千克，一共要水泥多少千克？
答案：粉刷面积是70平方米，一共要水泥280千克。
【变式1】一间教室长8米，宽6米，高4米。
（1)这间教室的占地面积是多少平方米
(2)现在要粉刷这间教室的顶面和四面墙壁(门窗和黑板的面积一共有24平方米)，粉刷的面积有多少平方米
答案：（1）48平方米 （2）136平方米
知识点2：棱长的表面引起表面积的变化
正方体
正方体的棱长扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍
长方体
长方体的长宽高同时扩大2倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4倍
长方体的长宽高同时扩大3倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9倍
长方体的长宽同时扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，
【例题】 正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的面积就扩大到原来的（ ）倍。
答案：9倍
【变式1】把正方体的棱长扩大4倍，它的表面积扩大（ ）
A．4倍 B．8倍 C．12倍 D．16倍
答案：D
【变式2】一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的5倍，表面积就扩大到原来的（ ）倍．
A．25 B．15 C．5
答案：A
重难点一：展开图求表面积问题
【例题】 左下图是一个无盖长方体纸盒的展开图，请算出这个长方体纸盒的表面积。
答案：224平方厘米
【变式1】下图是一个长方体的展开图，请根据图中提供的数据计算出它的表面积。
答案：208平方分米
重难点二：长方体和正方体中挖的问题
【例题】 在棱长1分米的正方体的顶点处挖去一个棱长1厘米的小正方体，剩下物体的表面积是多少？
答案：1×1×6=6平方分米
【变式1】 用8个小正方体木块拼成一个大的正方体，如果拿走1个小方块，它的表面积和原来比（ ）。
A增加了 B减少了 C没有变化 D无法判断
答案：C A A
【变式2】 如图，有一个长方体，中间挖去一个正方体，则剩下物体的表面积是多少平方厘米
答案：316平方厘米
重难点三：通风管问题
【例题】 做一节长12分米，宽和高都是10厘米的通风管，至少需要铁皮多少平方厘米？做12节这样的通风管呢？
答案：120×10×4=4800平方厘米 4800×12=57600平方厘米
【变式1】一种通风管，长1.6米，它的横截面是边长2分米的正方形。做50个这样的通风管至少需要多少平方米的铁皮
答案：2分米=0.2米，0.2×4×1.6×50=64平方米
重难点四：裁剪问题
【例题】 如图,从长为13厘米,宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉2厘米的正方形,然后,沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的表面积是多少平方厘米.
答案：长是13-2×2=9厘米，宽是9-2×2=5厘米，高是2厘米，
表面积是9×5+9×2×2+5×2×2=101平方厘米
或者13×9-2×2×4=101平方厘米
【变式1】 有一块正方形铁皮，从四个顶点分别剪下一个边长5厘米的正方形后，所剩部分正好焊接成一个无盖的正方体铁皮盒。原来正方形铁皮的面积是多少平方厘米？
答案：3×5=15厘米，15×15=225平方厘米
重难点五：拼组图形的表面积问题
【例题】 下图是由棱长为1厘米的小正方体积木拼成的物体。
（1）分别画出从前面、上面和右边看到的图形
这个物体的表面积是多少？
答案：图略，表面积=46平方厘米
【变式1】下图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的，求它的表面积。
答案：48平方厘米
【变式2】如下图的几何体，每个小正方作的棱长是1分米。
这个几何体的表面积是________平方分米；
（2）如果在上图的基础上增加一些相同的小正方体，至少要增加________个小正方体
答案：（1）从前面，上面和右面一共能看到15个面，那整个立体图形的表面积就是30个小正方形的面积，30×1×1=30平方厘米，（2）19个
拓展点一：长方体与正方体的拼切
1、立体图形的切割：（切割会使表面积增加，因此存在表面积增加最多或最少的问题）
长方体
沿与原来长方体最大面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最多。
沿与原来长方体最小面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最少。
而且每切一刀增加两个完全相同的面，切两刀增加四个完全相同的面，依次类推。
正方体
无论沿那个面平行的方向切，都将增加两个正方形的面，增加的面积均为2a2不存在增加最多最少的问题。
2、立体图形的组合（组合只会使表面积减少，因此存在减少最多或最少的问题）
长方体
将原来长方体的最大面组合在一起，其表面积比原来减少的最多。
将原来长方体的最小面组合在一起，其表面积比原来减少的最少。
而且两个组合将减少两个完全相同的面，三个组合减少四个完全相同的面，依次类推。
正方体
无论沿那个面组合，都将减少两个正方形的面，减少的面积均为2a2不存在增加最多最少的问题。
切的问题
【例题】 一个正方体的表面积是48平方厘米，将它平均分成两个小长方体，每个小长方体的表面积是多少？
答案：48÷6+48÷2=32平方厘米
【变式1】 一个正方体的表面积是96平方厘米，将它平均分成两个小长方体，每个小长方体的表面积是多少立方厘米？
答案：96÷6×4=64平方厘米
【变式2】 一个长方体正好能切成两个大小相同的正方体，正方体的棱长是a米，这个长方体的表面积是（ ）平方米。
A.12a B.12a2 C.10a D.10a2
答案：D
拼的问题
【例题】 如图，把5个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是198平方厘米。求一个正方体的表面积。
答案：54平方厘米
【变式1】 把两个棱长是5厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？
答案：5×5×6×2-5×5×2=250平方厘米
【变式2】 用3个完全一样的小正方体拼成一个长方体，表面积减少了100平方厘米，求原每个小正方体的表面积是多少？
答案：每个正方体的表面积是150平方厘米
拓展点二：涂色类问题
（1）把一个涂色的大正方体平均分成若干个同样大的小正方体。有三个面涂色的小正方体都在大正方体( )的位置，都是( )个。有两个面涂色的小正方体都在大正方体( )的位置。个数都是( ）的倍数有一个面涂色的小正方体都在大正方体的（ ）的中心位置个数都是( )的倍数。
（2）如果用n表示把大正方体的棱平均分的份数，用a、b、c分别表示2面涂色、1面涂色和6面都不涂色的小正方体的个数，那么a=
b= c=
（3) 把一个外表面涂有黄色涂料的正方体木块平均分成若干个同样大的小正方体，至少分成（ ）个小正方体才会出现6个面都不涂色的小正方形。
答案：（1）顶点；8；棱；12；面；6
（2）12（n-2）；6（n-2）2 ；（n-2）×（n-2）×（n-2）
（3）27
【例题】 下图是由27个小正方体拼成的大正方体，把它的表面全部涂成绿色。
（1）没有涂成绿色的小正方体有几个
一面涂成绿色的小正方体有几个
两面涂成绿色的小正方体有几个
（4）三面涂成绿色的小正方体有几个
答案：（1）1个 （2）6个 （3）12个 （4）8个
【变式1】 右图是由125块大小相同的小正方体拼成的大正方体模型。将其表面涂上红色。
三面涂色的有（ ）个，两面涂色的有（ ）个，一面涂色的有（ ）个，没有涂色的有( ）个。
答案：8，36，54，27
三面涂色的小正方体都在顶点处，一共有8个；
两面涂色的有:(5-2)x12=36(个)；
一面涂色的有:(5-2)x(5-2)x6=54 (个)；
没有涂色的有:(5-2)x(5-2)x(5-2)=27(个)；
【变式2】 将64个棱长1厘米的白色小正方体拼成一个大正方体，再将这个大正方体的表面涂色。
（1）有2个面涂色的小正方体有多少个
（2）有3个面涂色的小正方体有多少个
6个面都没有涂色的小正方体有几个
答案：（1）24个 （2）8个 （3）8个
拓展点三：高的变化引起表面积的变化
【例题】 一个长方体，如果高增加2厘米就成了正方体，而且表面积要增加56平方厘米，原来这个长方体的表面积是多少平方厘米？
答案：正方体棱长：56÷4÷2=7(厘米)
7x7x6-56=294-56=238(平方厘米)
答:原来长方体的表面积是238平方厘米
【变式1】 一个长方体，如果高减少2厘米就成了正方体，而且表面积要减少56平方厘米，原来这个长方体的表面积是多少平方厘米？
答案：56÷4=14(平方厘米) 14÷2=7(厘米) 7+2=9(厘米)
7x7x2+7x9x4=350(平方厘米)
【变式2】 一个长40厘米，截面是正方形的长方体，如果长增加5厘米，表面积就增加80平方厘米，求原长方体的表面积。
答案：80÷5÷4=16÷4=4(厘米)
(4×4+4×40+4×40)×2=(16+160+160)×2=336x2=672（平方厘米）
答: 原来长方体的表面积是672平方厘米
一、选择题
1．聪聪看到平放在桌子上的一摞练习本乱了，就把它们摆放整齐（如图），这个过程中，这一摞练习本的体积和表面积的变化分别为（ ）。
A．变小，变大 B．不变，不变 C．不变，变小
2．佳佳房间的四面墙壁要重新粉刷，房间长4米，宽3米，高3米，门窗面积4.5平方米，每平方米用涂料0.6千克。一共需要（ ）千克涂料。
A．37.5 B．22.5 C．49.5 D．29.7
3．下边的长方体正好可以截成3个棱长1厘米的正方体。截开后，三个正方体表面积的和与原来长方体相比，（ ）。
A．不变 B．增加2平方厘米 C．增加4平方厘米 D．增加6平方厘米
4．如图，从一个较大的长方体木块中挖掉一个小正方体，现在它的表面积（ ）。
A．比原来大 B．与原来相等 C．比原来小 D．无法比较
5．把两个表面积都是54cm2的小正方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积是（ ）。
A．81cm2 B．90cm2 C．99cm2 D．108cm2
二、填空题
6．写出表中的物体是正方体还是长方体，再计算表面积。
名称 长/ 宽/ 高/ 表面积/
12 12 12
12 12 18
12 10 18
7．一个长方体，高截去了2分米，表面积就减少了48平方分米，剩下部分为一个正方体，原来长方体的表面积是( )。
8．有2厘米和3厘米长的小棒若干根，要做一个底面是边长3厘米的正方形、高是4厘米的长方体框架，需要选( )根2厘米长的小棒和( )根3厘米长的小棒；给这个框架表面糊上牛皮纸，需要( )平方厘米的牛皮纸。（接头处忽略不计）
9．一块长方体木料，长6cm，宽4cm，高3cm，把这块长方体木料平均切割成2个长方体，它的表面积最多可增加( )cm2，最少可增加( )cm2。
10．王老师从下面的材料中选择12根铁条焊接成了一个长方体框架，他一共用了( ) 分米铁条，在这个框架外表面糊上彩纸，一共需要( )平方分米彩纸（粘贴处忽略不计）。
铁条长度/厘米 25 20 12 8
铁条根数/根 5 7 3 4
11．一个长方体的棱长总和是84厘米，长是10厘米，宽是4厘米，高是( )厘米，这个长方体的表面积是( )平方厘米。
12．如图所示，一个长方体是由三个同样的正方体拼成的，如果去掉上面一个正方体，表面积就比原来减少32平方厘米。原来长方体的表面积是( )平方厘米。
13．老师为同学们准备了5厘米长的小棒2根，3厘米长的小棒5根，4厘米长的小棒9根。用这些小棒搭成一个长方体，这个长方体的棱长总和是( )厘米，表面积是( )平方厘米。
14．把一根长方体材料沿着横截面锯成3段（如下图），表面积就比原来增加3.6dm2，如果锯成4段，表面积比原来增加( )dm2；原来这根木料的体积是( )dm3。
15．一个长方体的金鱼缸，长是8分米，宽是5分米，高是6分米，一不小心后面的玻璃被打坏了，修理时配上的玻璃的面积是( )平方分米。
16．用三个表面积都是36平方厘米的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的表面积是( )平方厘米。
17．一间教室，长8米，宽5米，高4米。粉刷它的四周和顶面，去除门窗面积22平方米，需要粉刷的面积是( )平方米。
18．先观察再填空。（注：每个小正方体棱长是1厘米）
层数 1 2 3 4 5 …
正方体个数 1 3 6 10 15 …
表面积（平方厘米） 6 14 24 36 50 …
照这样摆放6层，搭成物体的个数是( )，表面积是( )平方厘米，摆放10层的表面积是( )平方厘米。
19．把两个棱长为9厘米的小正方体拼成一个长方体，表面积减少了( )平方厘米。
20．如图，至少再加( )个小正方体，就能变成一个大正方体。
三、计算题
21．计算长方体和正方体的表面积。
22．求下面图形的表面积。
四、解答题
23．一个花坛（如图），高0.9米，底面是边长1.2米的正方形，四周用木条围成。
（1）这个花坛占地多少平方米？
（2）用泥土填满这个花坛，大约需要泥土多少立方米？（木条的厚度忽略不计）
（3）做这样一个花坛，四周大约需要木条多少平方米？
24．一节长方体通风管的长是130厘米，宽和高都是8厘米，做10节这样的通风管需要多少平方米的铁皮？
25．小红用如图所示的一张硬纸折成一个无盖长方体纸盒。你能根据图中给出的数据，求出这张纸的面积是多少平方分米吗？先写出你的想法，再解答。
26．找一个长方体火柴盒，测量有关数据，算出它的内盒和外盒至少各用硬纸多少平方厘米。（接头处忽略不计）
27．一个长方体铁盒，长25厘米，宽20厘米，高15厘米。做这个铁盒至少要用铁皮多少平方厘米？
28．我校建一个长方体游泳池，长60米，宽25米，深2米。请你算一算。
（1）游泳池的占地面积是多少平方米？
（2）在游泳池底面和内壁抹一层水泥，抹水泥面积是多少平方米？
（3）如果每平方米用水泥25千克，共用水泥多少千克？
29．只列式不计算。
做一个长60分米，宽50分米，高45分米的长方体玻璃鱼缸（无盖）。至少需要多少平方分米的玻璃？
30．一间多功能教室长10米、宽8米，高3.5米，门窗和黑板的面积是45平方米。若要粉刷这间教室的墙壁和天花板。
（1）需要粉刷的面积是多少平方米？
（2）如果每平方米需要35元，粉刷完这个多功能教室需要多少元？
31．一个长方体按以下三种方法分割成了两个长方体，表面积分别增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米，体积是多少立方厘米？
32．一块长方体木块，沿着高锯掉2厘米后，成为一个正方体，表面积减少40平方厘米，求原来长方体木块的体积。
参考答案：
1．C
【分析】根据体积的意义，物体所占空间的大小叫做物体的体积，所以这个过程中练习本的体积不变；摆放整齐的过程中，前后、左右四个面的面积不变；左图上下面露出的部分比右图要多，由此可以判断摆放整齐后练习本的表面积变小。据此解答。
【详解】观察两种摆放状态前后、左右四个面的的面积不变，左图上下面露出的部分比右图多，也就是摆放整齐后表面积变小；两种摆放方式的体积都是这摞练习本的体积，所以体积也不变。
故答案为：C
【点睛】关键是理解掌握体积和表面积的意义及应用。
2．B
【分析】根据题意，四面墙壁的面积＝（长×高＋宽×高）×2，据此代入数据求出四面墙壁的面积，再减去门窗面积即可求出需要粉刷的面积，最后用每平方米用涂料的质量乘粉刷面积即可求出粉刷小林房间需要多少涂料。
【详解】（4×3＋3×3）×2－4.5
＝21×2－4.5
＝42－4.5
＝37.5（平方米）
0.6×37.5＝22.5（千克）
一共需要22.5千克涂料。
故答案为：B
【点睛】本题主要考查长方体表面积的应用。灵活运用长方体的表面积公式是解题的关键。
3．C
【分析】把长方体截成3个棱长1厘米的正方体，则三个正方体表面积的比原来长方体多4个正方体的面的面积，据此解答即可。
【详解】1×1×4
＝1×4
＝4（平方厘米）
则三个正方体表面积的比原来长方体多4平方厘米。
故答案为：C
【点睛】本题考查长方体和正方体的表面积，明确表面积的定义是解题的关键。
4．B
【分析】根据图意可知，从一个顶点处沿着长宽高挖掉一个小正方体，减少的面与增加的面个数是相等的都是3个面，所以长方体的表面积没发生变化。
【详解】因为在长方体的顶点上挖掉一个小正方体后，对于这个图形减少的面与增加的面个数是相等，都是3个，所以长方体的表面积没发生变化。
故答案为：B
【点睛】本题考查了关于长方体的表面积的问题，考查了学生观察，分析，解决问题的能力。
5．B
【分析】如下图：把两个表面积都是54cm2的小正方体拼成一个大长方体，表面积减少了小正方体的2个面。先用54÷6求出小正方体1个面的面积；再用2个小正方体的表面积减去小正方体2个面的面积，即可求出大长方体的表面积。
【详解】54÷6＝9（cm2）
54×2－9×2
＝108－18
＝90（cm2）
所以，这个大长方体的表面积是90cm2。
故答案为：B
6．正方体；864；
长方体；1152；
长方体；1032
【分析】由题意可知：长、宽、高相等的是正方体，否则是长方体；根据长方体的表面积公式S＝（ab＋ah＋bh）×2，及正方体的表面积公式：S＝6a2代入数据计算即可。
【详解】正方体：12×12×6＝864（cm2）
长方体：（12×12＋12×18＋12×18）×2
＝（144＋216＋216）×2
＝576×2
＝1152（cm2）
长方体：（12×10＋12×18＋10×18）×2
＝（120＋216＋180）×2
＝516×2
＝1032（cm2）
填表如下：
名称 长/ 宽/ 高/ 表面积/
正方体 12 12 12 864
长方体 12 12 18 1152
长方体 12 10 18 1032
7．264平方分米/264dm2
【分析】长方体的高截去2分米，表面积减少了48平方分米，减少的表面积实际上是4个侧面的面积之和；因为剩下部分成为一个正方体，说明原来长方体的长和宽相等，因此减少的4个侧面是完全相同的长方形；用减少的面积除以4求出一个侧面的面积；再用一个面的面积除以2分米，即可求出原来长方体的长；最后用正方体的表面积加上减少的48平方分米就是原来长方体的表面积。
【详解】原来长方体的长为：48÷4÷2＝6（分米）
原来长方体的长和宽相等均为6分米。
剩余正方体的表面积为：6×6×6＝216（平方分米）
原来长方体的表面积为：216＋48＝264（平方分米）
因此原来长方体的表面积是264平方分米。
8． 8 8 66
【分析】长方体有12条棱，其中有4条长，4条宽，4条高。从“底面是边长3厘米的正方形”可知，长和宽相等，那么需要8根3厘米的小棒；从“高是4厘米”可知，一条高要两根长2厘米的小棒，那么4条高就需要8根长2厘米的小棒。从“框架表面糊上牛皮纸”可知，牛皮纸的大小就是长方体的表面积。因为底面是正方形，那么上下面都是正方形，4×4即一个正方形的面积；长和宽相等，则前、后、左、右四个面是完全一样的长方形，3×4即一个长方形的面积。根据长方体的表面积是6个面的面积之和，列式计算即可求出牛皮纸的面积。据此解答。
【详解】高需要2厘米的小棒：4÷2×4＝8（根）
长和宽共需要3厘米的小棒：4×2＝8（根）
3×3×2＋3×4×4
＝18＋48
＝66（平方厘米）
因此需要8根2厘米长的小棒和8根3厘米长的小棒；给这个框架表面糊上牛皮纸，需要66平方厘米的牛皮纸。
9． 48 24
【分析】根据题意可知：要想使表面积增加的最多，需要对长方体横切，则表面积增加两个底面积的大小；要想使表面积增加的最小，需沿着高纵切，此时表面积增加两个侧面的大小。据此解答。
【详解】表面积增加最多：
＝
＝(平方厘米）
表面积增加最少：
＝
＝24(平方厘米）
它的表面积最多可增加（48）cm2，最少可增加（24）cm2。
【点睛】
10． 21.2 17.2
【分析】长方体有12条棱，，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱。据此确定能焊接成长方体框架的铁条。根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式计算即可，注意统一单位。
【详解】12厘米长的铁条只有3根，不能用，选择25厘米、20厘米和8厘米长的铁条各4根，可以焊接成了一个长方体框架，即长方体的长宽高分别是25厘米、20厘米和8厘米。
（25＋20＋8）×4
＝53×4
＝212（厘米）
＝21.2（分米）
（25×20＋25×8＋20×8）×2
＝（500＋200＋160）×2
＝860×2
＝1720（平方厘米）
＝17.2（平方分米）
他一共用了21.2分米铁条，在这个框架外表面糊上彩纸，一共需要17.2平方分米彩纸。
11． 7 276
【分析】根据棱长和＝（长＋宽＋高）×4，则高＝棱长和÷4－长－宽；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，带入求解即可。
【详解】84÷4－10－4
＝21－10－4
＝11－4
＝7（厘米）
（10×4＋10×7＋4×7）×2
＝（40＋70＋28）×2
＝（110＋28）×2
＝138×2
＝276（平方厘米）
即高是7厘米。这个长方体的表面积是276平方厘米。
12．112
【分析】观察图形可知，如果去掉上面一个正方体，表面积就比原来减少了4个正方形的面积，据此用32除以4即可求出一个正方形的面积。原来的长方体上、下面一共有2个正方形，四个侧面一共有12个正方形，则表面积等于14个正方形的面积之和，据此用一个正方形的面积乘14，即可求出原来长方体的表面积。
【详解】32÷4×（12＋2）
＝8×14
＝112（平方厘米）
则原来长方体的表面积是112平方厘米。
13． 44 80
【分析】长方体有12条棱，相对的棱长度相等，因此这12条棱可以分成3组，每组4条棱，5厘米长的小棒2根不能用，选择3厘米长的小棒4根，4厘米长的小棒8根，即这个长方体的长、宽、高分别是3厘米、4厘米、4厘米。根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式计算即可。
【详解】（3＋4＋4）×4
＝11×4
＝44（厘米）
（3×4＋3×4＋4×4）×2
＝（12＋12＋16）×2
＝40×2
＝80（平方厘米）
这个长方体的棱长总和是44厘米，表面积是80平方厘米。
14． 5.4 21.6
【分析】图中把一根长方体材料沿着横截面锯成3段，表面积就比原来增加了4个横截面面积，据此用3.6除以4即可求出一个横截面的面积。如果锯成4段，表面积比原来增加了6个横截面的面积，用一个横截面面积乘6即可求出增加的面积。
长方体的体积＝底面积×高＝横截面面积×长，据此解答。
【详解】3.6÷4×6
＝0.9×6
＝5.4（dm2）
3.6÷4×24
＝0.9×24
＝21.6（dm3）
则如果锯成4段，表面积比原来增加5.4dm2；原来这根木料的体积是21.6dm3。
15．48
【分析】由长方体的表面积可知，需要修理的鱼缸后面玻璃是一个长方形，长方形的长是长方体的长，长方形的宽是长方体的高，然后根据“长方形的面积＝长×宽”，代入计算即可。
【详解】8×6＝48（平方分米）
所以，修理时配上的玻璃的面积是48平方分米。
16．84
【分析】一个正方体有6个正方形的面，3个正方体就有6×3＝18个正方形的面，3个正方体拼成一个长方体，有两个拼接处，就减少了2×2＝4个正方形的面，这个长方体的表面积就是18－4＝14个正方形的面积。从“表面积都是36平方厘米的正方体”可知，用36÷6，就可求出正方体一个面的面积，再求14个面的面积即可。
【详解】根据分析，拼图解答如下：
36÷6×（6×3－2×2）
＝6×（18－4）
＝6×14
＝84（平方厘米）
这个长方体的表面积是84平方厘米。
17．122
【分析】根据题意可知，粉刷的面积＝上、左、右、前、后面的面积－门窗的面积，据此用8×4×2＋5×4×2＋8×5－22即可求出粉刷的面积，据此解答。
【详解】8×4×2＋5×4×2＋8×5－22
＝64＋40＋40－22
＝122（平方米）
需要粉刷的面积是122平方米。
18． 21 66 150
【分析】搭成物体的个数：
摆放1层物体需要正方体的个数是1个，可以写成：1×（1＋1）÷2；
摆放2层物体需要正方体的个数是3个，可以写成：2×（2＋1）÷2；
摆放3层物体需要正方体的个数是6个，可以写成：3×（3＋1）÷2；
……
由此可知，摆放n层物体需要正方体的个数是：n×（n＋1）÷2，求出摆6层需要正方体的个数；
根据图中给出的表面积，搭成物体的表面积：
摆放1层物体表面积是6平方厘米，可以写成：5×1＋1×1；
摆放2层物体表面积是14平方厘米，可以写成：5×2＋2×2；
摆放3层层物体表面积是24平方厘米，可以写成：5×3＋3×3；
……
由此可知，摆放n层物体表面积是5×n＋n×n；由此可以求出摆6层物体的表面积，摆10层物体的表面积，据此解答。
【详解】根据分析可知，摆放6层，需要正方体的个数：
6×（6＋1）÷2
＝6×7÷2
＝42÷2
＝21（个）
表面积：5×6＋6×6
＝30＋36
＝66（平方厘米）
摆放10层的表面积：
5×10＋10×10
＝50＋100
＝150（平方厘米）
摆放6层，搭成物体的个数是21个，表面积是66平方厘米，摆放10层的表面积是150平方厘米。
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，关键是根据给的表格找出对应的规律是解题的关键。
19．162
【分析】把两个小正方体拼成一个长方体，表面积减少了2个正方形的面，正方体棱长×棱长×2＝减少的表面积，据此列式计算。
【详解】9×9×2＝162（平方厘米）
表面积减少了162平方厘米。
20．56
【分析】观察图形可知，拼组后的大正方体的每条棱长至少是由4个小正方体组成，这个大正方体最少有个小正方体，图中已有8个小正方体，所以要变成一个大正方体，至少需要再加个小正方体，据此解答。
【详解】
（个）
即至少再加56个小正方体，就能变成一个大正方体。
21．85cm2；96cm2
【分析】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据解答即可。
【详解】（5×4＋5×2.5＋4×2.5）×2
＝（20＋12.5＋10）×2
＝（32.5＋10）×2
＝42.5×2
＝85（cm2）
4×4×6
＝16×6
＝96（cm2）
长方体的表面积是85cm2，正方体的表面积是96cm2。
22．1266cm2
【分析】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体表面积＝棱长×棱长×6。由于题中正方体和长方体相接，那么组合体的表面积比长方体和正方体的表面积之和少两个正方体面的面积，即只需要求正方体四个面的面积。据此解题。
【详解】（25×15＋25×4＋15×4）×2＋7×7×4
＝（375＋100＋60）×2＋196
＝535×2＋196
＝1070＋196
＝1266（cm2）
23．（1）1.44平方米；（2）1.296立方米；（3）4.32平方米
【分析】（1）求这个花坛占地多少平方米，求占地面积即是求底面积，底面是边长1.2米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算即可；
（2）大约需要泥土多少立方米，求的是花坛的容积，根据长方体的体积＝底面积×高，代入数据计算即可；
（3）求四周大约需要木条多少平方米，即求花坛四周的面积，底面是边长1.2米的正方形，所以四周为4个相同的长方形，根据公式：长方形的面积＝长×宽，代入数据求解即可。
【详解】（1）1.2×1.2＝1.44（平方米）
答：这个花坛占地1.44平方米。
（2）1.44×0.9＝1.296（立方米）
答：用泥土填满这个花坛，大约需要泥土1.296立方米。
（3）1.2×0.9×4
＝1.08×4
＝4.32（平方米）
答：做这样一个花坛，四周大约需要木条4.32平方米。
24．4.16平方米
【分析】通风管没有上下两个面，用（长×宽＋长×高）×2，求出1节通风管需要的铁皮面积，再乘10，即可解答，注意单位名数的换算。
【详解】（130×8＋130×8）×2×10
＝（1040＋1040）×2×10
＝2080×2×10
＝4160×10
＝41600（平方厘米）
41600平方厘米＝4.16平方米
答：做10节这样的通风管需要4.16平方米的铁皮。
25．想法见详解；1.22平方分米
【分析】看图可知，折成的无盖长方体纸盒有前、后、左、右、下面5个面，求出这个长方体纸盒的表面积即可。长方体纸盒的长5厘米，宽2厘米，高8厘米，用长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，即可求出表面积，注意统一单位。
【详解】我的想法：求这张纸的面积是多少平方分米，就是求折成的无盖长方体纸盒5个面面积的和。
5×2＋5×8×2＋2×8×2
＝10＋80＋32
＝122（平方厘米）
＝1.22（平方分米）
答：这张纸的面积是1.22平方分米。
26．内盒32.78平方厘米；外盒43.2平方厘米
【分析】火柴盒内盒所用的硬纸的面积是内盒前后、左右，上面共5个面的面积；外盒所用的硬纸的面积是上下、前后共4个面的面积；找一个长方体火柴盒，测量出内盒长、宽、高及外盒的长、宽、高，最后代入长方体表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，求出内盒5个面的面积及外盒4个面的面积；据此解答。
【详解】经测量内盒长、宽、高分别为：4.4厘米、3.5厘米、1.1厘米；外盒长、宽、高分别为：4.5厘米、3.6厘米、1.2厘米。
内盒用硬纸面积：4.4×3.5＋4.4×1.1×2＋3.5×1.1×2
＝15.4＋9.68＋7.7
＝32.78（平方厘米）
外盒用硬纸面积：4.5×3.6×2＋4.5×1.2×2
＝32.4＋10.8
＝43.2（平方厘米）
答：它的内盒用硬纸32.78平方厘米，外盒用硬纸43.2平方厘米。（数据及答案不唯一）
27．2350平方厘米
【分析】做这个铁盒至少要用铁皮多少平方厘米，就是求这个长方体的表面积，将数据代入长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2计算即可。
【详解】（25×20＋25×15＋20×15）×2
＝（500＋375＋300）×2
＝1175×2
＝2350（平方厘米）
答：做这个铁盒至少要用铁皮2350平方厘米。
28．（1）1500平方米；
（2）1840平方米；
（3）46000千克
【分析】（1）游泳池的占地面积就是这个长方体游泳池的底面积，即是长是60米，宽是25米的长方形的面积。
（2）求水泥的面积就是求这个长方体的五个面的面积，即水泥的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2。
（3）水泥的千克数＝水泥的平方米×每平方米的千克数。
【详解】（1）60×25＝1500（平方米）
答：游泳池的占地面积是1500平方米。
（2）60×25＋60×2×2＋25×2×2
＝1500＋240＋100
＝1840（平方米）
答：抹水泥面积是1840平方米。
（3）1840×25＝46000（千克）
答：共用水泥46000千克。
【点睛】
29．
【分析】无盖长方体，要求至少需要多少面积的玻璃，可将鱼缸无盖的一面看作是长、宽组成的面。则需要玻璃的面积＝（长×高＋宽×高）×2＋长×宽，由此解答本题。
【详解】需要玻璃：
（平方分米）
答：至少需要12900平方分米的玻璃。
30．（1）161平方米
（2）5635元
【分析】（1）粉刷的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2－门窗和黑板面积，据此列式解答。
（2）每平方米费用×粉刷面积＝需要的总钱数，据此列式解答。
【详解】（1）10×8＋10×3.5×2＋8×3.5×2－45
＝80＋70＋56－45
＝161（平方米）
答：需要粉刷的面积是161平方米。
（2）35×161＝5635（元）
答：粉刷完这个多功能教室需要5635元。
31．94平方厘米；60立方厘米
【分析】表面积分别增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米，增加的面积和就是原来长方体的面积；根据长×高×2＝40，长×宽×2＝30，宽×高×2＝24，由此求出长方体的体积。
【详解】40＋30＋24
＝70＋24
＝94（平方厘米）
答：原来长方体的表面积是94平方厘米。
长×高×2＝40，即长×高＝20＝5×4，
长×宽×2＝30，即长×宽＝15＝5×3，
宽×高×2＝24，即宽×高＝12＝4×3，
即长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米。
5×4×3
＝20×3
＝60（立方厘米）
答：体积是60立方厘米。
【点睛】考查了立体图形的切拼，解题的关键是根据分解质因数求出长、宽、高。
32．175立方厘米
【分析】首先关注长方体沿高锯掉2厘米前后的变化——表面积减少40平方厘米，实际上，减少的是与原长方体同长同宽，但高为2里面的那部分长方体的侧面积。这个侧面积有前、后、左、右4个面，4个面面积为40平方厘米，则一个面的面积可求，而一个面的宽（即锯掉长方体的高）为2厘米，则每个面的长也可求，列式为40÷4÷2，由于锯掉一部分后变成了正方体，则宽与长相等，都是5厘米。因为是沿高锯掉的，原长方体的长与宽并没有改变，只是高减少了2厘米，则原长方体的体积＝5×5×（5＋2），计算即可。
【详解】40÷4÷2
＝10÷2
＝5（厘米）
5×5×（5＋2）
＝25×7
＝175（立方厘米）
答：原来长方体木块的体积是175立方厘米。
【点睛】长方体中有6个面，其中只有一组相对的面可以为正方形。本题涉及到的长方体就是这种类型。沿高锯掉2厘米成为正方体，则要从锯掉那部分长方体减少的面积入手，层层突破，解决问题。
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试卷第1页，共3页
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长方体与正方体表面积知识点梳理+题型总结
知识点1：长方体和正方体的表面积
（1）表面积：长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。
（2）长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 用字母表示：S=（ab＋ah＋bh）×2
（3）正方体的表面积= 棱长×棱长×6 用字母表示：S=6a
（4）表面积单位：平方厘米、平方分米、平方米 1m =100dm 1dm =100cm
前面面积=后面面积；左面面积=右面面积；上面面积=下面面积
【例题】 计算下列长方体和正方体的表面积。
答案：7平方米，486平方厘米
【变式1】 做一个这样的纸箱，至少需要多少平方分米的硬纸板
答案：94平方分米
【例题】 用玻璃做一个长为12分米、宽为5分米、高为8分米的长方体金鱼缸(无盖)，至少需要多少平方分米的玻璃
答案：322平方分米
【变式1】一个长方体的无盖铁皮水桶，长和宽都是3分米，深5分米。做一对这样的水桶，至少需要多少平方分米铁皮？
答案：138平方分米
【例题】 一个房间的长6米，宽3.5米，高3米，门窗面积是8平方米。现在要把这个房间的四壁和顶面粉刷水泥，粉刷水泥的面积是多少平方米？如果每平方米需要水泥4千克，一共要水泥多少千克？
答案：粉刷面积是70平方米，一共要水泥280千克。
【变式1】一间教室长8米，宽6米，高4米。
（1)这间教室的占地面积是多少平方米
(2)现在要粉刷这间教室的顶面和四面墙壁(门窗和黑板的面积一共有24平方米)，粉刷的面积有多少平方米
答案：（1）48平方米 （2）136平方米
知识点2：棱长的表面引起表面积的变化
正方体
正方体的棱长扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍
长方体
长方体的长宽高同时扩大2倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4倍
长方体的长宽高同时扩大3倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9倍
长方体的长宽同时扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，
【例题】 正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的面积就扩大到原来的（ ）倍。
答案：9倍
【变式1】把正方体的棱长扩大4倍，它的表面积扩大（ ）
A．4倍 B．8倍 C．12倍 D．16倍
答案：D
【变式2】一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的5倍，表面积就扩大到原来的（ ）倍．
A．25 B．15 C．5
答案：A
重难点一：展开图求表面积问题
【例题】 左下图是一个无盖长方体纸盒的展开图，请算出这个长方体纸盒的表面积。
答案：224平方厘米
【变式1】下图是一个长方体的展开图，请根据图中提供的数据计算出它的表面积。
答案：208平方分米
重难点二：长方体和正方体中挖的问题
【例题】 在棱长1分米的正方体的顶点处挖去一个棱长1厘米的小正方体，剩下物体的表面积是多少？
答案：1×1×6=6平方分米
【变式1】 用8个小正方体木块拼成一个大的正方体，如果拿走1个小方块，它的表面积和原来比（ ）。
A增加了 B减少了 C没有变化 D无法判断
答案：C A A
【变式2】 如图，有一个长方体，中间挖去一个正方体，则剩下物体的表面积是多少平方厘米
答案：316平方厘米
重难点三：通风管问题
【例题】 做一节长12分米，宽和高都是10厘米的通风管，至少需要铁皮多少平方厘米？做12节这样的通风管呢？
答案：120×10×4=4800平方厘米 4800×12=57600平方厘米
【变式1】一种通风管，长1.6米，它的横截面是边长2分米的正方形。做50个这样的通风管至少需要多少平方米的铁皮
答案：2分米=0.2米，0.2×4×1.6×50=64平方米
重难点四：裁剪问题
【例题】 如图,从长为13厘米,宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉2厘米的正方形,然后,沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的表面积是多少平方厘米.
答案：长是13-2×2=9厘米，宽是9-2×2=5厘米，高是2厘米，
表面积是9×5+9×2×2+5×2×2=101平方厘米
或者13×9-2×2×4=101平方厘米
【变式1】 有一块正方形铁皮，从四个顶点分别剪下一个边长5厘米的正方形后，所剩部分正好焊接成一个无盖的正方体铁皮盒。原来正方形铁皮的面积是多少平方厘米？
答案：3×5=15厘米，15×15=225平方厘米
重难点五：拼组图形的表面积问题
【例题】 下图是由棱长为1厘米的小正方体积木拼成的物体。
（1）分别画出从前面、上面和右边看到的图形
这个物体的表面积是多少？
答案：图略，表面积=46平方厘米
【变式1】下图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的，求它的表面积。
答案：48平方厘米
【变式2】如下图的几何体，每个小正方作的棱长是1分米。
这个几何体的表面积是________平方分米；
（2）如果在上图的基础上增加一些相同的小正方体，至少要增加________个小正方体
答案：（1）从前面，上面和右面一共能看到15个面，那整个立体图形的表面积就是30个小正方形的面积，30×1×1=30平方厘米，（2）19个
拓展点一：长方体与正方体的拼切
1、立体图形的切割：（切割会使表面积增加，因此存在表面积增加最多或最少的问题）
长方体
沿与原来长方体最大面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最多。
沿与原来长方体最小面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最少。
而且每切一刀增加两个完全相同的面，切两刀增加四个完全相同的面，依次类推。
正方体
无论沿那个面平行的方向切，都将增加两个正方形的面，增加的面积均为2a2不存在增加最多最少的问题。
2、立体图形的组合（组合只会使表面积减少，因此存在减少最多或最少的问题）
长方体
将原来长方体的最大面组合在一起，其表面积比原来减少的最多。
将原来长方体的最小面组合在一起，其表面积比原来减少的最少。
而且两个组合将减少两个完全相同的面，三个组合减少四个完全相同的面，依次类推。
正方体
无论沿那个面组合，都将减少两个正方形的面，减少的面积均为2a2不存在增加最多最少的问题。
切的问题
【例题】 一个正方体的表面积是48平方厘米，将它平均分成两个小长方体，每个小长方体的表面积是多少？
答案：48÷6+48÷2=32平方厘米
【变式1】 一个正方体的表面积是96平方厘米，将它平均分成两个小长方体，每个小长方体的表面积是多少立方厘米？
答案：96÷6×4=64平方厘米
【变式2】 一个长方体正好能切成两个大小相同的正方体，正方体的棱长是a米，这个长方体的表面积是（ ）平方米。
A.12a B.12a2 C.10a D.10a2
答案：D
拼的问题
【例题】 如图，把5个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是198平方厘米。求一个正方体的表面积。
答案：54平方厘米
【变式1】 把两个棱长是5厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？
答案：5×5×6×2-5×5×2=250平方厘米
【变式2】 用3个完全一样的小正方体拼成一个长方体，表面积减少了100平方厘米，求原每个小正方体的表面积是多少？
答案：每个正方体的表面积是150平方厘米
拓展点二：涂色类问题
（1）把一个涂色的大正方体平均分成若干个同样大的小正方体。有三个面涂色的小正方体都在大正方体( )的位置，都是( )个。有两个面涂色的小正方体都在大正方体( )的位置。个数都是( ）的倍数有一个面涂色的小正方体都在大正方体的（ ）的中心位置个数都是( )的倍数。
（2）如果用n表示把大正方体的棱平均分的份数，用a、b、c分别表示2面涂色、1面涂色和6面都不涂色的小正方体的个数，那么a=
b= c=
（3) 把一个外表面涂有黄色涂料的正方体木块平均分成若干个同样大的小正方体，至少分成（ ）个小正方体才会出现6个面都不涂色的小正方形。
答案：（1）顶点；8；棱；12；面；6
（2）12（n-2）；6（n-2）2 ；（n-2）×（n-2）×（n-2）
（3）27
【例题】 下图是由27个小正方体拼成的大正方体，把它的表面全部涂成绿色。
（1）没有涂成绿色的小正方体有几个
一面涂成绿色的小正方体有几个
两面涂成绿色的小正方体有几个
（4）三面涂成绿色的小正方体有几个
答案：（1）1个 （2）6个 （3）12个 （4）8个
【变式1】 右图是由125块大小相同的小正方体拼成的大正方体模型。将其表面涂上红色。
三面涂色的有（ ）个，两面涂色的有（ ）个，一面涂色的有（ ）个，没有涂色的有( ）个。
答案：8，36，54，27
三面涂色的小正方体都在顶点处，一共有8个；
两面涂色的有:(5-2)x12=36(个)；
一面涂色的有:(5-2)x(5-2)x6=54 (个)；
没有涂色的有:(5-2)x(5-2)x(5-2)=27(个)；
【变式2】 将64个棱长1厘米的白色小正方体拼成一个大正方体，再将这个大正方体的表面涂色。
（1）有2个面涂色的小正方体有多少个
（2）有3个面涂色的小正方体有多少个
6个面都没有涂色的小正方体有几个
答案：（1）24个 （2）8个 （3）8个
拓展点三：高的变化引起表面积的变化
【例题】 一个长方体，如果高增加2厘米就成了正方体，而且表面积要增加56平方厘米，原来这个长方体的表面积是多少平方厘米？
答案：正方体棱长：56÷4÷2=7(厘米)
7x7x6-56=294-56=238(平方厘米)
答:原来长方体的表面积是238平方厘米
【变式1】 一个长方体，如果高减少2厘米就成了正方体，而且表面积要减少56平方厘米，原来这个长方体的表面积是多少平方厘米？
答案：56÷4=14(平方厘米) 14÷2=7(厘米) 7+2=9(厘米)
7x7x2+7x9x4=350(平方厘米)
【变式2】 一个长40厘米，截面是正方形的长方体，如果长增加5厘米，表面积就增加80平方厘米，求原长方体的表面积。
答案：80÷5÷4=16÷4=4(厘米)
(4×4+4×40+4×40)×2=(16+160+160)×2=336x2=672（平方厘米）
答: 原来长方体的表面积是672平方厘米
一、选择题
1．聪聪看到平放在桌子上的一摞练习本乱了，就把它们摆放整齐（如图），这个过程中，这一摞练习本的体积和表面积的变化分别为（ ）。
A．变小，变大 B．不变，不变 C．不变，变小
2．佳佳房间的四面墙壁要重新粉刷，房间长4米，宽3米，高3米，门窗面积4.5平方米，每平方米用涂料0.6千克。一共需要（ ）千克涂料。
A．37.5 B．22.5 C．49.5 D．29.7
3．下边的长方体正好可以截成3个棱长1厘米的正方体。截开后，三个正方体表面积的和与原来长方体相比，（ ）。
A．不变 B．增加2平方厘米 C．增加4平方厘米 D．增加6平方厘米
4．如图，从一个较大的长方体木块中挖掉一个小正方体，现在它的表面积（ ）。
A．比原来大 B．与原来相等 C．比原来小 D．无法比较
5．把两个表面积都是54cm2的小正方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积是（ ）。
A．81cm2 B．90cm2 C．99cm2 D．108cm2
二、填空题
6．写出表中的物体是正方体还是长方体，再计算表面积。
名称 长/ 宽/ 高/ 表面积/
12 12 12
12 12 18
12 10 18
7．一个长方体，高截去了2分米，表面积就减少了48平方分米，剩下部分为一个正方体，原来长方体的表面积是( )。
8．有2厘米和3厘米长的小棒若干根，要做一个底面是边长3厘米的正方形、高是4厘米的长方体框架，需要选( )根2厘米长的小棒和( )根3厘米长的小棒；给这个框架表面糊上牛皮纸，需要( )平方厘米的牛皮纸。（接头处忽略不计）
9．一块长方体木料，长6cm，宽4cm，高3cm，把这块长方体木料平均切割成2个长方体，它的表面积最多可增加( )cm2，最少可增加( )cm2。
10．王老师从下面的材料中选择12根铁条焊接成了一个长方体框架，他一共用了( ) 分米铁条，在这个框架外表面糊上彩纸，一共需要( )平方分米彩纸（粘贴处忽略不计）。
铁条长度/厘米 25 20 12 8
铁条根数/根 5 7 3 4
11．一个长方体的棱长总和是84厘米，长是10厘米，宽是4厘米，高是( )厘米，这个长方体的表面积是( )平方厘米。
12．如图所示，一个长方体是由三个同样的正方体拼成的，如果去掉上面一个正方体，表面积就比原来减少32平方厘米。原来长方体的表面积是( )平方厘米。
13．老师为同学们准备了5厘米长的小棒2根，3厘米长的小棒5根，4厘米长的小棒9根。用这些小棒搭成一个长方体，这个长方体的棱长总和是( )厘米，表面积是( )平方厘米。
14．把一根长方体材料沿着横截面锯成3段（如下图），表面积就比原来增加3.6dm2，如果锯成4段，表面积比原来增加( )dm2；原来这根木料的体积是( )dm3。
15．一个长方体的金鱼缸，长是8分米，宽是5分米，高是6分米，一不小心后面的玻璃被打坏了，修理时配上的玻璃的面积是( )平方分米。
16．用三个表面积都是36平方厘米的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的表面积是( )平方厘米。
17．一间教室，长8米，宽5米，高4米。粉刷它的四周和顶面，去除门窗面积22平方米，需要粉刷的面积是( )平方米。
18．先观察再填空。（注：每个小正方体棱长是1厘米）
层数 1 2 3 4 5 …
正方体个数 1 3 6 10 15 …
表面积（平方厘米） 6 14 24 36 50 …
照这样摆放6层，搭成物体的个数是( )，表面积是( )平方厘米，摆放10层的表面积是( )平方厘米。
19．把两个棱长为9厘米的小正方体拼成一个长方体，表面积减少了( )平方厘米。
20．如图，至少再加( )个小正方体，就能变成一个大正方体。
三、计算题
21．计算长方体和正方体的表面积。
22．求下面图形的表面积。
四、解答题
23．一个花坛（如图），高0.9米，底面是边长1.2米的正方形，四周用木条围成。
（1）这个花坛占地多少平方米？
（2）用泥土填满这个花坛，大约需要泥土多少立方米？（木条的厚度忽略不计）
（3）做这样一个花坛，四周大约需要木条多少平方米？
24．一节长方体通风管的长是130厘米，宽和高都是8厘米，做10节这样的通风管需要多少平方米的铁皮？
25．小红用如图所示的一张硬纸折成一个无盖长方体纸盒。你能根据图中给出的数据，求出这张纸的面积是多少平方分米吗？先写出你的想法，再解答。
26．找一个长方体火柴盒，测量有关数据，算出它的内盒和外盒至少各用硬纸多少平方厘米。（接头处忽略不计）
27．一个长方体铁盒，长25厘米，宽20厘米，高15厘米。做这个铁盒至少要用铁皮多少平方厘米？
28．我校建一个长方体游泳池，长60米，宽25米，深2米。请你算一算。
（1）游泳池的占地面积是多少平方米？
（2）在游泳池底面和内壁抹一层水泥，抹水泥面积是多少平方米？
（3）如果每平方米用水泥25千克，共用水泥多少千克？
29．只列式不计算。
做一个长60分米，宽50分米，高45分米的长方体玻璃鱼缸（无盖）。至少需要多少平方分米的玻璃？
30．一间多功能教室长10米、宽8米，高3.5米，门窗和黑板的面积是45平方米。若要粉刷这间教室的墙壁和天花板。
（1）需要粉刷的面积是多少平方米？
（2）如果每平方米需要35元，粉刷完这个多功能教室需要多少元？
31．一个长方体按以下三种方法分割成了两个长方体，表面积分别增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米，体积是多少立方厘米？
32．一块长方体木块，沿着高锯掉2厘米后，成为一个正方体，表面积减少40平方厘米，求原来长方体木块的体积。
参考答案：
1．C
【分析】根据体积的意义，物体所占空间的大小叫做物体的体积，所以这个过程中练习本的体积不变；摆放整齐的过程中，前后、左右四个面的面积不变；左图上下面露出的部分比右图要多，由此可以判断摆放整齐后练习本的表面积变小。据此解答。
【详解】观察两种摆放状态前后、左右四个面的的面积不变，左图上下面露出的部分比右图多，也就是摆放整齐后表面积变小；两种摆放方式的体积都是这摞练习本的体积，所以体积也不变。
故答案为：C
【点睛】关键是理解掌握体积和表面积的意义及应用。
2．B
【分析】根据题意，四面墙壁的面积＝（长×高＋宽×高）×2，据此代入数据求出四面墙壁的面积，再减去门窗面积即可求出需要粉刷的面积，最后用每平方米用涂料的质量乘粉刷面积即可求出粉刷小林房间需要多少涂料。
【详解】（4×3＋3×3）×2－4.5
＝21×2－4.5
＝42－4.5
＝37.5（平方米）
0.6×37.5＝22.5（千克）
一共需要22.5千克涂料。
故答案为：B
【点睛】本题主要考查长方体表面积的应用。灵活运用长方体的表面积公式是解题的关键。
3．C
【分析】把长方体截成3个棱长1厘米的正方体，则三个正方体表面积的比原来长方体多4个正方体的面的面积，据此解答即可。
【详解】1×1×4
＝1×4
＝4（平方厘米）
则三个正方体表面积的比原来长方体多4平方厘米。
故答案为：C
【点睛】本题考查长方体和正方体的表面积，明确表面积的定义是解题的关键。
4．B
【分析】根据图意可知，从一个顶点处沿着长宽高挖掉一个小正方体，减少的面与增加的面个数是相等的都是3个面，所以长方体的表面积没发生变化。
【详解】因为在长方体的顶点上挖掉一个小正方体后，对于这个图形减少的面与增加的面个数是相等，都是3个，所以长方体的表面积没发生变化。
故答案为：B
【点睛】本题考查了关于长方体的表面积的问题，考查了学生观察，分析，解决问题的能力。
5．B
【分析】如下图：把两个表面积都是54cm2的小正方体拼成一个大长方体，表面积减少了小正方体的2个面。先用54÷6求出小正方体1个面的面积；再用2个小正方体的表面积减去小正方体2个面的面积，即可求出大长方体的表面积。
【详解】54÷6＝9（cm2）
54×2－9×2
＝108－18
＝90（cm2）
所以，这个大长方体的表面积是90cm2。
故答案为：B
6．正方体；864；
长方体；1152；
长方体；1032
【分析】由题意可知：长、宽、高相等的是正方体，否则是长方体；根据长方体的表面积公式S＝（ab＋ah＋bh）×2，及正方体的表面积公式：S＝6a2代入数据计算即可。
【详解】正方体：12×12×6＝864（cm2）
长方体：（12×12＋12×18＋12×18）×2
＝（144＋216＋216）×2
＝576×2
＝1152（cm2）
长方体：（12×10＋12×18＋10×18）×2
＝（120＋216＋180）×2
＝516×2
＝1032（cm2）
填表如下：
名称 长/ 宽/ 高/ 表面积/
正方体 12 12 12 864
长方体 12 12 18 1152
长方体 12 10 18 1032
7．264平方分米/264dm2
【分析】长方体的高截去2分米，表面积减少了48平方分米，减少的表面积实际上是4个侧面的面积之和；因为剩下部分成为一个正方体，说明原来长方体的长和宽相等，因此减少的4个侧面是完全相同的长方形；用减少的面积除以4求出一个侧面的面积；再用一个面的面积除以2分米，即可求出原来长方体的长；最后用正方体的表面积加上减少的48平方分米就是原来长方体的表面积。
【详解】原来长方体的长为：48÷4÷2＝6（分米）
原来长方体的长和宽相等均为6分米。
剩余正方体的表面积为：6×6×6＝216（平方分米）
原来长方体的表面积为：216＋48＝264（平方分米）
因此原来长方体的表面积是264平方分米。
8． 8 8 66
【分析】长方体有12条棱，其中有4条长，4条宽，4条高。从“底面是边长3厘米的正方形”可知，长和宽相等，那么需要8根3厘米的小棒；从“高是4厘米”可知，一条高要两根长2厘米的小棒，那么4条高就需要8根长2厘米的小棒。从“框架表面糊上牛皮纸”可知，牛皮纸的大小就是长方体的表面积。因为底面是正方形，那么上下面都是正方形，4×4即一个正方形的面积；长和宽相等，则前、后、左、右四个面是完全一样的长方形，3×4即一个长方形的面积。根据长方体的表面积是6个面的面积之和，列式计算即可求出牛皮纸的面积。据此解答。
【详解】高需要2厘米的小棒：4÷2×4＝8（根）
长和宽共需要3厘米的小棒：4×2＝8（根）
3×3×2＋3×4×4
＝18＋48
＝66（平方厘米）
因此需要8根2厘米长的小棒和8根3厘米长的小棒；给这个框架表面糊上牛皮纸，需要66平方厘米的牛皮纸。
9． 48 24
【分析】根据题意可知：要想使表面积增加的最多，需要对长方体横切，则表面积增加两个底面积的大小；要想使表面积增加的最小，需沿着高纵切，此时表面积增加两个侧面的大小。据此解答。
【详解】表面积增加最多：
＝
＝(平方厘米）
表面积增加最少：
＝
＝24(平方厘米）
它的表面积最多可增加（48）cm2，最少可增加（24）cm2。
【点睛】
10． 21.2 17.2
【分析】长方体有12条棱，，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱。据此确定能焊接成长方体框架的铁条。根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式计算即可，注意统一单位。
【详解】12厘米长的铁条只有3根，不能用，选择25厘米、20厘米和8厘米长的铁条各4根，可以焊接成了一个长方体框架，即长方体的长宽高分别是25厘米、20厘米和8厘米。
（25＋20＋8）×4
＝53×4
＝212（厘米）
＝21.2（分米）
（25×20＋25×8＋20×8）×2
＝（500＋200＋160）×2
＝860×2
＝1720（平方厘米）
＝17.2（平方分米）
他一共用了21.2分米铁条，在这个框架外表面糊上彩纸，一共需要17.2平方分米彩纸。
11． 7 276
【分析】根据棱长和＝（长＋宽＋高）×4，则高＝棱长和÷4－长－宽；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，带入求解即可。
【详解】84÷4－10－4
＝21－10－4
＝11－4
＝7（厘米）
（10×4＋10×7＋4×7）×2
＝（40＋70＋28）×2
＝（110＋28）×2
＝138×2
＝276（平方厘米）
即高是7厘米。这个长方体的表面积是276平方厘米。
12．112
【分析】观察图形可知，如果去掉上面一个正方体，表面积就比原来减少了4个正方形的面积，据此用32除以4即可求出一个正方形的面积。原来的长方体上、下面一共有2个正方形，四个侧面一共有12个正方形，则表面积等于14个正方形的面积之和，据此用一个正方形的面积乘14，即可求出原来长方体的表面积。
【详解】32÷4×（12＋2）
＝8×14
＝112（平方厘米）
则原来长方体的表面积是112平方厘米。
13． 44 80
【分析】长方体有12条棱，相对的棱长度相等，因此这12条棱可以分成3组，每组4条棱，5厘米长的小棒2根不能用，选择3厘米长的小棒4根，4厘米长的小棒8根，即这个长方体的长、宽、高分别是3厘米、4厘米、4厘米。根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式计算即可。
【详解】（3＋4＋4）×4
＝11×4
＝44（厘米）
（3×4＋3×4＋4×4）×2
＝（12＋12＋16）×2
＝40×2
＝80（平方厘米）
这个长方体的棱长总和是44厘米，表面积是80平方厘米。
14． 5.4 21.6
【分析】图中把一根长方体材料沿着横截面锯成3段，表面积就比原来增加了4个横截面面积，据此用3.6除以4即可求出一个横截面的面积。如果锯成4段，表面积比原来增加了6个横截面的面积，用一个横截面面积乘6即可求出增加的面积。
长方体的体积＝底面积×高＝横截面面积×长，据此解答。
【详解】3.6÷4×6
＝0.9×6
＝5.4（dm2）
3.6÷4×24
＝0.9×24
＝21.6（dm3）
则如果锯成4段，表面积比原来增加5.4dm2；原来这根木料的体积是21.6dm3。
15．48
【分析】由长方体的表面积可知，需要修理的鱼缸后面玻璃是一个长方形，长方形的长是长方体的长，长方形的宽是长方体的高，然后根据“长方形的面积＝长×宽”，代入计算即可。
【详解】8×6＝48（平方分米）
所以，修理时配上的玻璃的面积是48平方分米。
16．84
【分析】一个正方体有6个正方形的面，3个正方体就有6×3＝18个正方形的面，3个正方体拼成一个长方体，有两个拼接处，就减少了2×2＝4个正方形的面，这个长方体的表面积就是18－4＝14个正方形的面积。从“表面积都是36平方厘米的正方体”可知，用36÷6，就可求出正方体一个面的面积，再求14个面的面积即可。
【详解】根据分析，拼图解答如下：
36÷6×（6×3－2×2）
＝6×（18－4）
＝6×14
＝84（平方厘米）
这个长方体的表面积是84平方厘米。
17．122
【分析】根据题意可知，粉刷的面积＝上、左、右、前、后面的面积－门窗的面积，据此用8×4×2＋5×4×2＋8×5－22即可求出粉刷的面积，据此解答。
【详解】8×4×2＋5×4×2＋8×5－22
＝64＋40＋40－22
＝122（平方米）
需要粉刷的面积是122平方米。
18． 21 66 150
【分析】搭成物体的个数：
摆放1层物体需要正方体的个数是1个，可以写成：1×（1＋1）÷2；
摆放2层物体需要正方体的个数是3个，可以写成：2×（2＋1）÷2；
摆放3层物体需要正方体的个数是6个，可以写成：3×（3＋1）÷2；
……
由此可知，摆放n层物体需要正方体的个数是：n×（n＋1）÷2，求出摆6层需要正方体的个数；
根据图中给出的表面积，搭成物体的表面积：
摆放1层物体表面积是6平方厘米，可以写成：5×1＋1×1；
摆放2层物体表面积是14平方厘米，可以写成：5×2＋2×2；
摆放3层层物体表面积是24平方厘米，可以写成：5×3＋3×3；
……
由此可知，摆放n层物体表面积是5×n＋n×n；由此可以求出摆6层物体的表面积，摆10层物体的表面积，据此解答。
【详解】根据分析可知，摆放6层，需要正方体的个数：
6×（6＋1）÷2
＝6×7÷2
＝42÷2
＝21（个）
表面积：5×6＋6×6
＝30＋36
＝66（平方厘米）
摆放10层的表面积：
5×10＋10×10
＝50＋100
＝150（平方厘米）
摆放6层，搭成物体的个数是21个，表面积是66平方厘米，摆放10层的表面积是150平方厘米。
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，关键是根据给的表格找出对应的规律是解题的关键。
19．162
【分析】把两个小正方体拼成一个长方体，表面积减少了2个正方形的面，正方体棱长×棱长×2＝减少的表面积，据此列式计算。
【详解】9×9×2＝162（平方厘米）
表面积减少了162平方厘米。
20．56
【分析】观察图形可知，拼组后的大正方体的每条棱长至少是由4个小正方体组成，这个大正方体最少有个小正方体，图中已有8个小正方体，所以要变成一个大正方体，至少需要再加个小正方体，据此解答。
【详解】
（个）
即至少再加56个小正方体，就能变成一个大正方体。
21．85cm2；96cm2
【分析】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据解答即可。
【详解】（5×4＋5×2.5＋4×2.5）×2
＝（20＋12.5＋10）×2
＝（32.5＋10）×2
＝42.5×2
＝85（cm2）
4×4×6
＝16×6
＝96（cm2）
长方体的表面积是85cm2，正方体的表面积是96cm2。
22．1266cm2
【分析】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体表面积＝棱长×棱长×6。由于题中正方体和长方体相接，那么组合体的表面积比长方体和正方体的表面积之和少两个正方体面的面积，即只需要求正方体四个面的面积。据此解题。
【详解】（25×15＋25×4＋15×4）×2＋7×7×4
＝（375＋100＋60）×2＋196
＝535×2＋196
＝1070＋196
＝1266（cm2）
23．（1）1.44平方米；（2）1.296立方米；（3）4.32平方米
【分析】（1）求这个花坛占地多少平方米，求占地面积即是求底面积，底面是边长1.2米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算即可；
（2）大约需要泥土多少立方米，求的是花坛的容积，根据长方体的体积＝底面积×高，代入数据计算即可；
（3）求四周大约需要木条多少平方米，即求花坛四周的面积，底面是边长1.2米的正方形，所以四周为4个相同的长方形，根据公式：长方形的面积＝长×宽，代入数据求解即可。
【详解】（1）1.2×1.2＝1.44（平方米）
答：这个花坛占地1.44平方米。
（2）1.44×0.9＝1.296（立方米）
答：用泥土填满这个花坛，大约需要泥土1.296立方米。
（3）1.2×0.9×4
＝1.08×4
＝4.32（平方米）
答：做这样一个花坛，四周大约需要木条4.32平方米。
24．4.16平方米
【分析】通风管没有上下两个面，用（长×宽＋长×高）×2，求出1节通风管需要的铁皮面积，再乘10，即可解答，注意单位名数的换算。
【详解】（130×8＋130×8）×2×10
＝（1040＋1040）×2×10
＝2080×2×10
＝4160×10
＝41600（平方厘米）
41600平方厘米＝4.16平方米
答：做10节这样的通风管需要4.16平方米的铁皮。
25．想法见详解；1.22平方分米
【分析】看图可知，折成的无盖长方体纸盒有前、后、左、右、下面5个面，求出这个长方体纸盒的表面积即可。长方体纸盒的长5厘米，宽2厘米，高8厘米，用长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，即可求出表面积，注意统一单位。
【详解】我的想法：求这张纸的面积是多少平方分米，就是求折成的无盖长方体纸盒5个面面积的和。
5×2＋5×8×2＋2×8×2
＝10＋80＋32
＝122（平方厘米）
＝1.22（平方分米）
答：这张纸的面积是1.22平方分米。
26．内盒32.78平方厘米；外盒43.2平方厘米
【分析】火柴盒内盒所用的硬纸的面积是内盒前后、左右，上面共5个面的面积；外盒所用的硬纸的面积是上下、前后共4个面的面积；找一个长方体火柴盒，测量出内盒长、宽、高及外盒的长、宽、高，最后代入长方体表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，求出内盒5个面的面积及外盒4个面的面积；据此解答。
【详解】经测量内盒长、宽、高分别为：4.4厘米、3.5厘米、1.1厘米；外盒长、宽、高分别为：4.5厘米、3.6厘米、1.2厘米。
内盒用硬纸面积：4.4×3.5＋4.4×1.1×2＋3.5×1.1×2
＝15.4＋9.68＋7.7
＝32.78（平方厘米）
外盒用硬纸面积：4.5×3.6×2＋4.5×1.2×2
＝32.4＋10.8
＝43.2（平方厘米）
答：它的内盒用硬纸32.78平方厘米，外盒用硬纸43.2平方厘米。（数据及答案不唯一）
27．2350平方厘米
【分析】做这个铁盒至少要用铁皮多少平方厘米，就是求这个长方体的表面积，将数据代入长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2计算即可。
【详解】（25×20＋25×15＋20×15）×2
＝（500＋375＋300）×2
＝1175×2
＝2350（平方厘米）
答：做这个铁盒至少要用铁皮2350平方厘米。
28．（1）1500平方米；
（2）1840平方米；
（3）46000千克
【分析】（1）游泳池的占地面积就是这个长方体游泳池的底面积，即是长是60米，宽是25米的长方形的面积。
（2）求水泥的面积就是求这个长方体的五个面的面积，即水泥的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2。
（3）水泥的千克数＝水泥的平方米×每平方米的千克数。
【详解】（1）60×25＝1500（平方米）
答：游泳池的占地面积是1500平方米。
（2）60×25＋60×2×2＋25×2×2
＝1500＋240＋100
＝1840（平方米）
答：抹水泥面积是1840平方米。
（3）1840×25＝46000（千克）
答：共用水泥46000千克。
【点睛】
29．
【分析】无盖长方体，要求至少需要多少面积的玻璃，可将鱼缸无盖的一面看作是长、宽组成的面。则需要玻璃的面积＝（长×高＋宽×高）×2＋长×宽，由此解答本题。
【详解】需要玻璃：
（平方分米）
答：至少需要12900平方分米的玻璃。
30．（1）161平方米
（2）5635元
【分析】（1）粉刷的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2－门窗和黑板面积，据此列式解答。
（2）每平方米费用×粉刷面积＝需要的总钱数，据此列式解答。
【详解】（1）10×8＋10×3.5×2＋8×3.5×2－45
＝80＋70＋56－45
＝161（平方米）
答：需要粉刷的面积是161平方米。
（2）35×161＝5635（元）
答：粉刷完这个多功能教室需要5635元。
31．94平方厘米；60立方厘米
【分析】表面积分别增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米，增加的面积和就是原来长方体的面积；根据长×高×2＝40，长×宽×2＝30，宽×高×2＝24，由此求出长方体的体积。
【详解】40＋30＋24
＝70＋24
＝94（平方厘米）
答：原来长方体的表面积是94平方厘米。
长×高×2＝40，即长×高＝20＝5×4，
长×宽×2＝30，即长×宽＝15＝5×3，
宽×高×2＝24，即宽×高＝12＝4×3，
即长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米。
5×4×3
＝20×3
＝60（立方厘米）
答：体积是60立方厘米。
【点睛】考查了立体图形的切拼，解题的关键是根据分解质因数求出长、宽、高。
32．175立方厘米
【分析】首先关注长方体沿高锯掉2厘米前后的变化——表面积减少40平方厘米，实际上，减少的是与原长方体同长同宽，但高为2里面的那部分长方体的侧面积。这个侧面积有前、后、左、右4个面，4个面面积为40平方厘米，则一个面的面积可求，而一个面的宽（即锯掉长方体的高）为2厘米，则每个面的长也可求，列式为40÷4÷2，由于锯掉一部分后变成了正方体，则宽与长相等，都是5厘米。因为是沿高锯掉的，原长方体的长与宽并没有改变，只是高减少了2厘米，则原长方体的体积＝5×5×（5＋2），计算即可。
【详解】40÷4÷2
＝10÷2
＝5（厘米）
5×5×（5＋2）
＝25×7
＝175（立方厘米）
答：原来长方体木块的体积是175立方厘米。
【点睛】长方体中有6个面，其中只有一组相对的面可以为正方形。本题涉及到的长方体就是这种类型。沿高锯掉2厘米成为正方体，则要从锯掉那部分长方体减少的面积入手，层层突破，解决问题。
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