【高中数学苏教版（2019）必修第一册同步练习】 第七章三角函数综合题 （含答案）

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【高中数学苏教版（2019）必修第一册同步练习】
第七章三角函数综合题
一、单选题
1．如图所示的时钟显示的时刻为4：30，设半个小时后时针与分针的夹角为，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知函数 ，为了得到函数 的图象，只要将 的图象（　　）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
3．已知函数 的最小正周期为 ，将其图象向右平移 个单位后得函数 的图象，则函数 的图象（　　）
A．关于直线 对称 B．关于直线 对称
C．关于点 对称 D．关于点 对称
4．函数 为增函数的区间是（　　）
A． B．
C． D．
5．函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣3≤x≤5）的图象所有交点的横坐标之和等于（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．已知函数 的图象关于直线 对称，且 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
7．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的图象过点 ，且在（ ， ）上单调，同时f（x）的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当 ，且x1≠x2时，f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（　　）
A．﹣ B．﹣1 C．1 D．
二、多选题
8．函数 的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A． 的最小正周期是
B．当 时，
C．将 的图象向右平移 个单位长度后得到的函数图象关于 对称
D．若 ，且 ，则
9．如图是函数 的部分图象，若 在 内有且只有一个最小值点， 的值可以为（　　）
A． B． C．1 D．2
三、填空题
10．若点 是角 终边上的一点，且 ，则 　 　.
11．若点 与点 关于 轴对称，写出一个符合题意的 　 　．
12．下列函数中：① ；② ；③ ，其图象仅通过向左 或向右 平移就能与函数 的图象重合的是　 　 填上符合要求的函数对应的序号
13．若 ， ，则x的取值范围是　 　；若 ，则x的取值范围是　 　.
14．已知函数 在 上单调，且 ，则正数 的值为　 　．
15．已知函数 ， 的部分图象如图所示，且 ，对不同的 ，若 ，有 ，则 　 　.
16．已知函数 ，若 恒成立，则正数 的最小值是　 　.
四、解答题
17．化简下列各式：
（1） ；
（2） .
18．已知 ，且 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
19．
（1）化简： ．
（2）求函数 的定义域．
20．已知π＜α＜ ，sinα=﹣ ．
（Ⅰ）求cosα的值；
（Ⅱ）求sin2α+3tanα的值．
21．设函数 、 满足关系 ，其中 是常数.
（1）设 ， ，求 的解析式；
（2）是否存在函数 及常数 （ ）使得 恒成立？若存在，请你设计出函数 及常数 ；不存在，请说明理由；
（3）已知 时，总有 成立，设函数 （ ）且 ，对任意 ，试比较 与 的大小.
22．已知函数 ， ，函数 ，若 的图象上相邻两条对称轴的距离为 ，图象过点 .
（1）求 表达式和 的单调增区间；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，若函数 在区间 上有且只有一个零点，求实数 的取值范围.
23．已知函数 ．任取t∈R，若函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），记g（t）=M（t）﹣m（t）．
（1）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程；
（2）当t∈[﹣2，0]时，求函数g（t）的解析式；
（3）设函数h（x）=2|x﹣k|，H（x）=x|x﹣k|+2k﹣8，其中实数k为参数，且满足关于t的不等式 有解，若对任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（﹣∞，4]，使得h（x2）=H（x1）成立，求实数k的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】弧度制、角度制及其之间的换算
2．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
3．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
4．【答案】C
【知识点】复合函数的单调性；正弦函数的性质
5．【答案】D
【知识点】函数的图象；正弦函数的图象
6．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
7．【答案】A
【知识点】正弦函数的图象
8．【答案】A,C,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
9．【答案】B,C
【知识点】函数的最大（小）值；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
10．【答案】-4
【知识点】任意角三角函数的定义
11．【答案】 （满足 即可）
【知识点】诱导公式
12．【答案】①②
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
13．【答案】； ，
【知识点】正弦函数的性质
14．【答案】 或
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
15．【答案】
【知识点】正弦函数的性质
16．【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；运用诱导公式化简求值
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
【知识点】运用诱导公式化简求值
18．【答案】（1）解：由 ，因为 ，解得 ，所以
（2）解： .
【知识点】同角三角函数间的基本关系
19．【答案】（1）解：当 时，
=0
当 时，
=0
综上所述：
（2）解：求题意可知： ，
，
所以函数函数 的定义域为
【知识点】函数的定义域及其求法；余弦函数的性质；诱导公式
20．【答案】解：解：（Ⅰ）因为π＜α＜ ，sinα=﹣ ，
故cosα=﹣ =﹣ ．
（Ⅱ）sin2α+3tanα=2sinαcosα+3× =2×（﹣ ）×（﹣ ）+3× =4 ．
【知识点】同角三角函数基本关系的运用
21．【答案】（1）解：∵f（x）＝cosx+sinx，
∴f（x+α）＝cosx﹣sinx；
∴g（x）＝f（x） f（x+α）＝（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）
＝cos2x﹣sin2x＝cos2x；
（2）解：∵g（x） sin2x＝2sinxcosx，
若f（x）＝ sinx，则f（x+α）＝ sin（x+α）＝ cosx
∴f（x）＝ sinx，常数 ；
也可以设f（x）＝ cosx，则f（x+α）＝ cos（x+α）＝ sinx
∴f（x）＝ cosx，常数 ；
∴当 时， ；当 时， ；
（3）解：由题意g（x）＝kx，sin[g（x）]＝sinkx，g（sinx）＝ksinx
又0＜k＜1，所以 ，
则 ，所以sinkx＞ksinx，
即sin[g（x）]＞g（sinx）．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；正弦函数的性质
22．【答案】（1）解： ，
，
的最小正周期为 ，∴ ，
∵ 的图象过点 ，∴ .
∴ ，即 ，
令 ， ，求得 ， ，
故 的单调增区间为 ，
（2）解：将函数 的图象向右平移 个单位，可得
的图象；
再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数
的图象.
在区间 上， ，∴ ，
故 在区间 上的值域为 ，
若函数 在区间 上有且只有一个零点，
由题意可得，函数 的图象和直线 有且只有一个零点，并根据图象可知， 或
【知识点】三角函数模型的简单应用
23．【答案】（1）解：函数 ，
则f（x）的最小正周期为 ；
令 ，解得f（x）的对称轴方程为x=2k+1（x∈Z）；
（2）解：①当 时，在区间[t，t+1]上， ，
m（t）=f（﹣1）=﹣1，
∴ ；
②当 时，在区间[t，t+1]上， ，
m（t）=f（﹣1）=﹣1，
∴ ；
③当t∈[﹣1，0]时，在区间[t，t+1]上， ，
，
∴ ；
∴当t∈[﹣2，0]时，函数 ；
（3）解：∵ 的最小正周期T=4，
∴M（t+4）=M（t），m（t+4）=m（t），
∴g（t+4）=M（t+4）﹣m（t+4）=M（t）﹣m（t）=g（t）；
∴g（t）是周期为4的函数，研究函数g（t）的性质，只须研究函数g（t）在t∈[﹣2，2]时的性质即可；
仿照（2），可得 ；
画出函数g（t）的部分图象，如图所示，
∴函数g（t）的值域为 ；
已知 有解，即 k≤4g（t）max=4 ，
∴k≤4；
若对任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（﹣∞，4]，使得h（x2）=H（x1）成立，
即H（x）在[4，+∞）的值域是h（x）在（﹣∞，4]的值域的子集．
∵ ，
当k≤4时，∵h（x）在（﹣∞，k）上单调递减，在[k，4]上单调递增，
∴h（x）min=h（k）=1，
∵H（x）=x|x﹣k|+2k﹣8在[4，+∞）上单调递增，
∴H（x）min=H（4）=8﹣2k，
∴8﹣2k≥1，即 ；
综上，实数的取值范围是 ．
【知识点】正弦函数的图象
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